Реферат: Шпаргалки по Численным методам

Вопрос №1 Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок

Вопрос №1 Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок. Абсолютная и относительная погрешности. Значащие и верные цифры. Округление чисел.

Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность.

Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок:

5 этапов:

Моделирование — осуществляется постановка задачи и построение математической модели.

Математическая постановка — точная формулировка условий и целей решения.

Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений.

Алгоритмизация — осуществляется выбор метода и разработка алгоритма.

Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке.

Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ.

Интерпретация - анализ полученных результатов.

Ошибки могут появляться на любой стадии.

Погрешность обуславливается:

Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью.

Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными — это погрешность метода.

При выполнении арифметических операций часто производиться округление.

Абсолютная и относительная погрешность:

Приближенное число «x» — число, незначительно отличающееся от точного «Х» и заменяющее последнее вычисление.

Пусть «Х» — истинное значение некоторой величины. «х» — ее известное приближение.

Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|.

Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения «х».

Число «Х» часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число ∆х для которого справедливо неравенство:

|Х-х|<=∆х, ∆х — граница абсолютной погрешности приближения «х».

Неравенство |Х-х|<=∆х позволяет установить приближение к «Х» по недостатку и избытку. (Х-∆х)<=x<=(Х+∆х). Вместо этой формулы часто используют Х=х+∆х.

По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений.

Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х.

Границей относительной погрешности δх приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности ∆х к модулю значения Х.

δх=∆х/|x|

Относительная погрешность часто выражается в процентах.

Значащие и верные цифры:

Значащие цифры в записи числа — все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева).

Значащая цифра называется верной в широком смысле, еслиабсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре.

Значащая цифра называется верной в строгом смысле, еслиабсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра.

Сомнительные — не верные цифры.

Правильная запись -если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр.

Округление чисел:

Округление — замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр.

∆окр=|Х-хn|

Абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления, т.е. ∆х1=∆х+∆окр

Используется 3 метода округления чисел:

Отбрасывание:

Оставляет все сохраняемые цифры округляемого числа верными в широком смысле.

Округление завышением:

Последнюю цифру увеличиваем на 1

Метод симметричного округления

Выполняется по правилам:

Если первая слева из отбрасываемых цифр <5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения

Если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя сохр-ая цифра увеличивается на 1

Если первая слева из отбрасываемых цифр =5 и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохран-я цифра увеличивается на 1

Если первая слева из отбрасываемых цифр =5, и остальные отбрасываемые цифры 0, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная и остается неизменной, если она четная. (правило четной цифры)

Погрешности записывают с 1 значащей цифрой и всегда округляют завышением.