Реферат: Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач



 <o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>Еще новый «метод половины констант» Алексея Юрьевича Виноградова <o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>для решения краевых задач.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

www.Vinogradov-math.narod<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>.

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>ru<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Автор: Алексей Юрьевич Виноградов (1970 года рождения, красный диплом МГТУ им. Баумана 1993 года, кандидат физ-мат наук 1996 года).<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Метод придуман утром 12 июля 2006 года и этот метод может быть полезен тем, кто хочет защитить диссертацию на компьютерном обсчёте этого самого  метода. Метод прост и понятен. Частично он базируется на материалах странички <span lang=EN-US style='mso-ansi-language:EN-US'><a href=«www.vinogradovalexei.narod.ru/»>www.VinogradovAlexei<span lang=RU style='mso-ansi-language:RU'>.

narod<span lang=RU style='mso-ansi-language:RU'>.ru.

 

1. Введение — краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для выпускников вузов).<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y

(x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>’=<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>A(x<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>)·<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y(x) + <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>F(x),<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

где Y(x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> — вектор-столбец искомых функций,

Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>’ — вектор-столбец производных искомых функций, A(x<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>) — квадратная матрица коэффициентов, F(x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> – вектор внешних воздействий на систему.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y

(x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>’=<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>A(x<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>)·<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y(x),<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

но метод справедлив и для неоднородной системы.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Условия на левом крае записываются в виде:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

L·Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(0)

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> = <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>L,<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

где Y(0) — <span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>вектор-столбец значений функций

Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> на левом крае x<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>=0<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>, <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>L — вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Аналогично записываются условия на правом крае:<o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> <o:p></o:p>

R·Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(1)

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> = <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>R,<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

где Y(1) — <span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>вектор-столбец значений функций

Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> на правом крае x<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>=1<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>, <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>R — вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(х

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Symbol; mso-ascii-font-family:Arial;mso-hansi-font-family:Arial;mso-bidi-font-family: Arial;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.)<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y

(x)=K(х<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>0)·<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y(0),<o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>где

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>K(х<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>0)=<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>exp(Ax<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>)<o:p></o:p>

при условии, что матрица <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>A

=constant<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

При условии, что матрица <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>A

не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y

(x)=K(х<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>0)·<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y(0),<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'><o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>где

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>K(х<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>0)=<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>K(х4<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>x3) · <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>K(х3<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>x2)· K(х2<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Symbol; mso-ascii-font-family:Arial;mso-hansi-font-family:Arial;mso-bidi-font-family: Arial;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol'>¬<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x1)· K(х1<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>¬<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>0),<o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> <o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>где

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'> K(хj<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Symbol; mso-ascii-font-family:Arial;mso-hansi-font-family:Arial;mso-bidi-font-family: Arial;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol'>¬<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>xi)=exp(A(xi)x),<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

2. Про половину констант.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Предположим, что решается краевая задача об оболочке ракеты. Это цилиндрическая оболочка и размерность задачи равна 8. То есть система дифференциальных уравнений имеет размерность 8, то есть 8 уравнений. То есть эта система дифференциальных уравнений будет состоять из 8-ми уравнений и матрица А(<span lang=EN-US style='mso-ansi-language:EN-US;font-style:normal'>x

<span style='font-style:normal'>) коэффициентов системы дифференциальных уравнений будет иметь размерность 8х8, а векторы Y<span style='font-style:normal'>(x)<span style='font-style:normal'>, Y(<span lang=EN-US style='mso-ansi-language:EN-US;font-style:normal'>x<span style='font-style:normal'>)’, <span lang=EN-US style='mso-ansi-language:EN-US;font-style:normal'>F<span style='font-style:normal'>(x)<span style='font-style:normal'> будут иметь размерность 8х1. Соответственно матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными с размерностью 4х8.<o:p></o:p>

 

Вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 может состоять полностью из всех 8<span style='mso-spacerun:yes'> 

линейно-независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений плюс вектор решения неоднородной системы дифференциальных уравнений:

 

<span lang=EN-US style='mso-ansi-language:EN-US'>Y(

x) = Y1(x)с1 + Y2(x)с2 + Y3(x)с3 + Y4(x)с4 + Y5(x)c5 + Y6(x)c6 + Y7(x)c7 + Y8(x) +Y*(x).<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

<o:p> </o:p>

Но решение может искаться в виде с половиной констант, то есть в следующем виде:

 

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y

(x) = <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y1(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)с1 + <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y2(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)с2 + <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y3(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)с3 + <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y4(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)с4 +<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y*(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)<o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>или<o:p></o:p>

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y

(x) =<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Yматрица(x<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>)· с +Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>*(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x),<o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> <o:p></o:p>

где векторы<span style='mso-spacerun:yes'> 

Y1(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x), <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y2(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x), <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y3(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x), <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y4(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x) <span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>– это линейно-независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений (системы, где F<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)=0<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>), а вектор Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>*(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, ас1, с2, с3, с4 — это константы, которые надо вычислить. Здесь <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Yматрица(x<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>)= |<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y1(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x),<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y2(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x),<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y3(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x),<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Y4(<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>x)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>|, а с это вектор |с1, с2, с3, с4|.<o:p></o:p>

 <span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'><o:p></o:p>

3. Метод половины констант Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:

 

L·Y<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>(0)

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> = <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>L,<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

где матрица <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>L

прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей L<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>орт (размерности 4х8), у которой будут 4 ортонормированные строки:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Lорт·Y(0)<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> =

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Lорт,<o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> <o:p></o:p>

где в результате ортонормирования вектор <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>L

преобразован в вектор Lорт<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в книгах по численным методам.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу L<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>орт до квадратной матрицы

U<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span style='mso-spacerun:yes'>                                                                            |

L<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>орт |<o:p></o:p>

<span style='mso-spacerun:yes'>                                                                    

U<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> =<span style='font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> <span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>|--------|<o:p></o:p>

<span style='mso-spacerun:yes'>                                      <span style='mso-spacerun:yes'>                                      

|<span style='mso-spacerun:yes'>   N<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'><span style='mso-spacerun:yes'>     |,<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

где матрица <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>N

размерности тоже 4х8 должна достраивать матрицу L<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>орт до невырожденной квадратной матрицы U<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> размерности 8х8.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

В качестве строк матрицы <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>N

можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 есть где взять.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Завершим ортонормирование построенной матрицы U<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Uорт размерности 8х8 с ортонормированными строками:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span style='mso-spacerun:yes'>                                          <span style='mso-spacerun:yes'>                                   

| <span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Lорт  |<o:p></o:p>

<span style='mso-spacerun:yes'>                                                               

U<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>орт =<span style='font-family:Arial'> |--------|<o:p></o:p>

<span style='mso-spacerun:yes'>                                                                             |

N<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>орт<span style='font-family:Arial'> |.<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

Можем записать, что <o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

               <span style='mso-spacerun:yes'>                         

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial; mso-ansi-language:EN-US'>Yматрица(0) = (Nорт)транспонированная = (Nорт)тр.<span style='mso-spacerun:yes'>                             <o:p></o:p>

<span style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'> <o:p></o:p>

Тогда:<o:p></o:p>

 <o:p></o:p>

<span lang=EN-US style='font-size:8.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial;

еще рефераты
Еще работы по математике