Реферат: Волновые уравнения

Волновые уравнения

Реферат подготовил студент 2-го курса группы 20-02 ГД Дерюга А.М.

Навоийский Государственный горный институт

Горный факультет

Кафедра «Высшей математики»

Навоий 2004 г.

Вывод уравнения колебания в электрических проводах.

Электрический ток в проводах характеризуется величиной /> и напряжением /> которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно

/>-/>.Это падение напряжения складывается из омического, равного /> и индуктивного, равного /> Итак

/>

где R и L –сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим уравнение

/>

Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х за время ∆t, будет

/>

Она расходуется на зарядку элемента, равную /> и на утечку через боковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную />

Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения

/>

Сократим на />

/>

Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений

/>

Из этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию/>, и уравнение, содержащее только искомую функцию />.

Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по t и умножим их на С.

/>

/>

Аналогичным образом получим уравнение для определения />

/>

/>

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:

/>

Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.