Реферат: Устойчивость по Ляпунову
--PAGE_BREAK--Устойчивость по ЛяпуновуРассмотрим систему дифференциальных уравнений
<img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1288215530-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">
Выделим некоторое решение <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288215707-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> системы и назовем его невозмущенным решением.
Решение <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288215707-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> назовем устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288216009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> можно указать <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1288216123-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055"> такое, что из неравенства <img width=«124» height=«24» src=«ref-1_1288216243-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> следует неравенство <img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1288216506-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> при <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_1288216748-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">. Здесь через <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_1288216871-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> обозначено любое другое решение системы , определяемое начальным условием <img width=«36» height=«24» src=«ref-1_1288216991-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">. Решение <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288215707-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288217272-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">, что при <img width=«123» height=«24» src=«ref-1_1288217393-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> будем иметь
<img width=«139» height=«29» src=«ref-1_1288217657-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">
Пример Решение <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288217978-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> уравнения <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1288218092-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> не является устойчивым ни справа, ни слева, т.к. каждое решение <img width=«103» height=«25» src=«ref-1_1288218219-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">, где <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1288218439-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> (<img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1288218571-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">), перестает существовать при <img width=«41» height=«25» src=«ref-1_1288218705-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070"> (рис. 1).
<img width=«280» height=«193» src=«ref-1_1288218839-1486.coolpic» alt=«pics_gr1.eps» v:shapes=«Рисунок_x0020_0»>
Пример. Решение <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1288220325-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> уравнения <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1288220439-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> неустойчиво справа, т.к. все решения <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1288220583-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">, <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1288220777-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">, <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1288220956-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">, приближаются к <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1288221114-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> при <img width=«53» height=«16» src=«ref-1_1288221211-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">. Каждое решение <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1288220583-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> так же, как и решение <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288221533-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, является асимптотически устойчивым справа (рис. 2).
<img width=«374» height=«232» src=«ref-1_1288221642-2010.coolpic» alt=«pics_gr2.eps» v:shapes=«Рисунок_x0020_1»>
Проведем в системе замену переменных <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1288223652-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">. Новая система будет иметь вид
<img width=«189» height=«21» src=«ref-1_1288223824-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">
вводя обозначение
<img width=«221» height=«21» src=«ref-1_1288224153-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">
получим систему
<img width=«77» height=«21» src=«ref-1_1288224524-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">
где <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1288224699-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> при <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_1288216748-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">. Решение <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288215707-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288217978-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> новой системы. Задача устойчивости решения <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288215707-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> переходит, таким образом, в задачу устойчивости нулевого (тривиального) решения <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288217978-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> системы .
Приведем определение устойчивости нулевого решения системы .
Решение <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288217978-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> системы называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288216009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> можно указать <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1288216123-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> такое, что из неравенства <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1288225879-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> следует неравенство <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1288226078-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> при <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_1288216748-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">. Если же, кроме того, всякое решение <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1288226386-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">, начальные данные которого определяются условием <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1288226503-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, обладает свойством <img width=«92» height=«29» src=«ref-1_1288226700-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, то нулевое решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова.
продолжение
--PAGE_BREAK--Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова
Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:
<img width=«123» height=«51» src=«ref-1_1288226958-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
Рассмотрим функцию <img width=«128» height=«24» src=«ref-1_1288227344-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">. Эта функция положительна всюду, кроме точки <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1288227611-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, где она обращается в нуль. В пространстве переменных <img width=«55» height=«23» src=«ref-1_1288227737-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> уравнение <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1288227883-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1288228082-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288228226-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">. Построим на плоскости <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1288228082-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> круг <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288228455-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> радиуса <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288228226-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">. Возьмем одну из линий уровня — эллипс, целиком лежащий внутри круга <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288228455-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">. Построим другой круг <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1288228738-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).
<img width=«219» height=«206» src=«ref-1_1288228841-1695.coolpic» alt=«pics_gr3.eps» v:shapes=«Рисунок_x0020_2»>
Пусть начальная точка <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1288230536-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> лежит внутри <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1288228738-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">.
Рассмотрим функцию двух переменных <img width=«148» height=«23» src=«ref-1_1288230804-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">. Легко видеть, что если вместо <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1288231099-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> подставить решение системы , то полученная таким образом, функция от <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> будет представлять собой полную производную функции <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> вдоль траектории решения системы . Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1288228738-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">, неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288228455-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">, так как иначе между <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288231593-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> и значением <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1288231704-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">, при котором она попадет на границу <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288228455-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">, найдется значение <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1288231919-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">, для которого <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1288232035-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">, поскольку <img width=«171» height=«24» src=«ref-1_1288232230-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">. То, что ни одна траектория, начинающаяся в <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1288228738-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">, не покидает ни при одном <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288232690-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> круг <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288228455-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, означает устойчивость тривиального решения.
Итак, мы должны проверить знак <img width=«28» height=«41» src=«ref-1_1288232902-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_1288233054-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция <img width=«63» height=«23» src=«ref-1_1288233239-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> была неположительной как функция двух независимых переменных <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1288231099-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> по крайней мере в некоторой окрестности <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1288227611-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">. Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку <img width=«248» height=«24» src=«ref-1_1288233655-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> всюду на плоскости <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1288228082-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция <img width=«60» height=«23» src=«ref-1_1288234227-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1288227611-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">, где она обращается в нуль, а выражение <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1288234516-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы .
Все дальнейшие построения будем вести в некоторой <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">-окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> задается неравенством <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1288234891-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">, <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_1288235055-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">. Функция <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_1288235210-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> (или короче <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288235390-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">) называется положительно определенной в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">, если <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288235612-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">, причем <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1288235866-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> тогда и только тогда, когда <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288217978-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.
Приведем ряд утверждений, показывающих применение функций Ляпунова .
Теорема Первая теорема Ляпунова
Пусть в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288235390-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> такая, что функция <img width=«164» height=«21» src=«ref-1_1288236360-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> удовлетворяет неравенству
<img width=«169» height=«21» src=«ref-1_1288236674-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
Тогда тривиальное решение системы устойчиво.
Теорема Вторая теорема Ляпунова
Пусть дополнительно к условиям первой теоремы для <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1288236963-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> выполняется неравенство <img width=«108» height=«25» src=«ref-1_1288237134-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">, где <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_1288237379-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> — положительно определенная в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> функция.
Тогда тривиальное решение системы асимптотически устойчиво.
Теорема Третья теорема Ляпунова
Пусть в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288235390-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> такая, что
а) <img width=«107» height=«21» src=«ref-1_1288237840-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> и <img width=«33» height=«25» src=«ref-1_1288238040-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1288238168-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">-окрестность точки <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288217978-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, в которой выполняется неравенство <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288238371-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">;
б) <img width=«115» height=«21» src=«ref-1_1288238536-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> из <img width=«269» height=«21» src=«ref-1_1288238755-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">, справедливое при всех <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1288239208-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">.
Тогда тривиальное решение системы неустойчиво.
Замечание. Недостаток изложенных методов заключается в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа построения функций <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288235390-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">.
Замечание. Горбунов показал, что для линейных систем с непрерывными коэффициентами функция Ляпунова всегда существует в виде квадратичной формы.
Замечание. Для дифференциальных уравнений, описывающих некоторые механические системы, роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288235390-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">. Сама система имеет вид <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1288239579-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">, а соответствующая функция <img width=«132» height=«24» src=«ref-1_1288239780-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">.
В замечании было обращено внимание на отсутствие общей методики построения функций Ляпунова для конкретных дифференциальных систем. Ниже приведены некоторые известные способы построения функций Ляпунова.
продолжение
--PAGE_BREAK--Методы построения функций ЛяпуноваЭнергетический метод
Применяется для системы второго порядка.
Рассмотрим систему
<img width=«244» height=«69» src=«ref-1_1288240055-863.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
где <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1288240918-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">, <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1288241016-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1288241113-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> непрерывны, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288241219-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> — положительные постоянные и <img width=«163» height=«24» src=«ref-1_1288241319-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">, <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_1288241622-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> при <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1288241814-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">, <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_1288241948-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> при <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1288242135-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1288242266-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288242461-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, где <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_1288242582-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">, <img width=«116» height=«24» src=«ref-1_1288242730-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">, <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1288242972-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">.
В качестве механической модели можно взять движение системы <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288243203-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> материальных точек <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1288243287-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> с массой <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288241219-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">, в которой точка <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1288243287-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> подвергается действию сил <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1288243581-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">, выражающие влияние других точек <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1288243768-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> этой системы на точку <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1288243287-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.
Тогда можно дать механическую интерпретацию. Функцию <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> составим как полную энергию системы, то есть как сумму кинетической и потенциальной энергий. Получим
<img width=«312» height=«53» src=«ref-1_1288244061-1082.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
Очевидно, что эта функция определенно положительная.
Найдем производную функции <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> в силу системы , получим
<img width=«229» height=«45» src=«ref-1_1288245236-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">
Так как члены <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1288245915-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> определяют силы, способствующие рассеиванию механической энергии, то полная энергия системы убывает, а значит, соображений производная знакоотрицательная.
Метод Малкина
Рассмотрим уравнение
<img width=«137» height=«21» src=«ref-1_1288246057-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">
Это уравнение эквивалентно системе
<img width=«133» height=«75» src=«ref-1_1288246320-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">
Соответствующая линейная система имеет вид
<img width=«95» height=«75» src=«ref-1_1288246767-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">
Для нее может быть построена функция Ляпунова
<img width=«99» height=«44» src=«ref-1_1288247119-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">
причем <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1288247390-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.
Замечаем теперь, что <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> не содержит в своей записи параметра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288247657-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">, поэтому эта же функция пригодна для исследования системы
<img width=«120» height=«75» src=«ref-1_1288247741-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">
но непригодна для системы .
Чтобы получить функцию Ляпунова для системы , необходимо найти аналог члена <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1288248155-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> в записи <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. Но с точки зрения механики величина <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1288248361-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> (или <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1288248461-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> характеризует восстанавливающую силу, а величина <img width=«29» height=«44» src=«ref-1_1288248596-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> соответствует потенциальной энергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы функцию
<img width=«120» height=«51» src=«ref-1_1288248744-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">
Очевидно, получим в силу системы
<img width=«89» height=«24» src=«ref-1_1288249170-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">
Условия устойчивости в целом запишутся следующим образом:
а) <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1288249375-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288249543-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">,
б) <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288249660-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">,
в) <img width=«92» height=«51» src=«ref-1_1288249820-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> при <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_1288250183-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">.
Легко проверить, что множество <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1288250344-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, то есть прямая <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1288250471-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> не содержит целых траекторий, кроме начала координат.
Укажем другой подход к задаче. Производя в уравнении замену переменной <img width=«104» height=«51» src=«ref-1_1288250593-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> получим систему
<img width=«116» height=«117» src=«ref-1_1288250976-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">
Используя снова прежнюю функцию Ляпунова , получим в силу системы
<img width=«127» height=«51» src=«ref-1_1288251640-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
Условия устойчивости в целом в данном случае улучшаются, так как условие б) заменяется менее ограничительным условием
<img width=«143» height=«51» src=«ref-1_1288252074-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
продолжение
--PAGE_BREAK--Метод деления переменных
Рассмотрим систему
<img width=«164» height=«45» src=«ref-1_1288252564-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">
где <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1288253060-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> при <img width=«224» height=«45» src=«ref-1_1288253273-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> — постоянные, <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_1288253860-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> могут быть функциями координат, параметров и времени.
Определенно положительная функция
<img width=«115» height=«53» src=«ref-1_1288253966-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">
имеет производную в силу системы в следующем виде:
<img width=«177» height=«47» src=«ref-1_1288254456-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">
где
<img width=«179» height=«45» src=«ref-1_1288255008-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">
Таким образом, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1288255542-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма
<img width=«80» height=«47» src=«ref-1_1288255638-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">
Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.
В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя
<img width=«304» height=«139» src=«ref-1_1288256003-1521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">
Здесь <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1288257524-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">, <img width=«13» height=«21» src=«ref-1_1288257612-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> — постоянные, <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1288257702-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> — возмущение рабочего угла, <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1288257810-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> — возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.
В данном случае получаем
<img width=«299» height=«96» src=«ref-1_1288257911-1056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">
а в качестве матрицы <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_1288258967-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> берем единичную матрицу. Таким образом, получим
<img width=«401» height=«108» src=«ref-1_1288259106-1231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">
Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.
Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288260337-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">. Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1288260337-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> и матрицы <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_1288260541-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">.
Метод Красовского
Исследуется система уравнений
<img width=«75» height=«75» src=«ref-1_1288260684-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">
Функция Ляпунова строится в виде <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_1288261050-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">, где симметричная матрица <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1288261213-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица
<img width=«135» height=«45» src=«ref-1_1288261304-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">
удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы
<img width=«333» height=«109» src=«ref-1_1288261720-1561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">
Таким образом, получим <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1288263281-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> и <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1288263402-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">.
В качестве примера рассмотрим уравнение
<img width=«153» height=«21» src=«ref-1_1288263530-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">
эквивалентное системе
<img width=«111» height=«75» src=«ref-1_1288263808-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">
Функцию Ляпунова выбираем в виде
<img width=«187» height=«24» src=«ref-1_1288264200-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">
Легко видеть, что
<img width=«337» height=«24» src=«ref-1_1288264560-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">
Очевидно, следует принять <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1288265142-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> и <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1288265276-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">, тогда будем иметь
<img width=«156» height=«36» src=«ref-1_1288265412-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">
и условие устойчивости в целом принимает вид <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1288265857-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> при любых <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1288266025-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">.
продолжение
--PAGE_BREAK--Метод Уокера-Кларка
Рассмотрим уравнение
<img width=«195» height=«51» src=«ref-1_1288266111-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">
эквивалентное системе
<img width=«559» height=«155» src=«ref-1_1288266657-927.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">
Функцию Ляпунова для системы предлагается брать в виде
<img width=«287» height=«53» src=«ref-1_1288267584-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">
где <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1288268265-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> специально подбирается с целью упрощения вида <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1288255542-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> и с целью выполнения неравенства <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1288268544-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">.
Так, например, для системы
<img width=«577» height=«125» src=«ref-1_1288268675-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">
функцию <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> будем искать в виде
<img width=«284» height=«51» src=«ref-1_1288269622-708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">
Имеем в силу системы
<img width=«480» height=«48» src=«ref-1_1288270330-1096.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">
где
<img width=«184» height=«44» src=«ref-1_1288271426-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">
Очевидно, проще всего положить <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_1288271872-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1288272050-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1288272213-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">, откуда
<img width=«145» height=«51» src=«ref-1_1288272346-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">
и получаем функцию
<img width=«292» height=«51» src=«ref-1_1288272820-796.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
<img width=«185» height=«21» src=«ref-1_1288273616-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">
эквивалентное системе
<img width=«135» height=«21» src=«ref-1_1288273935-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">
Согласно предложенному способу следует принять
<img width=«197» height=«51» src=«ref-1_1288274169-563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">
Имеем тогда
<img width=«300» height=«51» src=«ref-1_1288274732-816.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">
Если положить <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1288275548-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">, то условия устойчивости будут иметь вид
<img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1288275728-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> и <img width=«83» height=«51» src=«ref-1_1288275915-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">.
Но эти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции
<img width=«112» height=«21» src=«ref-1_1288276295-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">.
Значительно полезней оказывается функция, предложенная Л. Америо,
<img width=«132» height=«51» src=«ref-1_1288276524-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">
В данном случае получим
<img width=«152» height=«24» src=«ref-1_1288276972-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
и условия устойчивости в целом принимают вид
а) <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1288277286-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288249543-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">,
б) <img width=«148» height=«23» src=«ref-1_1288277590-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> при <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1288277900-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">,
в)<img width=«104» height=«51» src=«ref-1_1288278027-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> при <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_1288250183-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">.
Градиентный метод
Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме
<img width=«139» height=«24» src=«ref-1_1288278577-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">
где
<img width=«119» height=«45» src=«ref-1_1288278837-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">
Функции <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1288279271-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> подбираются из условия отрицательности <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1288255542-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> и из требования, чтобы векторное поле <img width=«28» height=«19» src=«ref-1_1288279510-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия <img width=«171» height=«45» src=«ref-1_1288279619-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">. После того как найден градиент <img width=«28» height=«19» src=«ref-1_1288279510-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> сама функция <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> определяется как криволинейный интеграл
<img width=«244» height=«168» src=«ref-1_1288280279-1368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">
В качестве примера рассмотрим уравнение
<img width=«133» height=«36» src=«ref-1_1288281647-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">
где <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288282056-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">. Это уравнение эквивалентно системе
<img width=«543» height=«112» src=«ref-1_1288282173-939.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">
Будем искать вектор-градиент <img width=«28» height=«19» src=«ref-1_1288279510-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> в форме
<img width=«245» height=«23» src=«ref-1_1288283221-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">
В силу системы получим
<img width=«400» height=«89» src=«ref-1_1288283620-1117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">
Удобно положить <img width=«125» height=«23» src=«ref-1_1288284737-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">, <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_1288284991-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">, <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_1288285159-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">. Условия потенциальности поля дают <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_1288285296-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">. Таким образом, имеем <img width=«93» height=«23» src=«ref-1_1288285472-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">, <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_1288285675-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">, <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_1288285159-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">. Формула дает нам
<img width=«217» height=«51» src=«ref-1_1288285990-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">
или, что то же самое,
<img width=«179» height=«51» src=«ref-1_1288286765-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">
Так как <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1288287294-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">, то условия устойчивости имеют вид <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288287503-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> и
<img width=«128» height=«51» src=«ref-1_1288287659-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">
продолжение
--PAGE_BREAK--Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина
Пусть
<img width=«145» height=«24» src=«ref-1_1288213756-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">
— решение системы уравнений , определенное на некотором интервале <img width=«63» height=«23» src=«ref-1_1288214007-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">, и
<img width=«148» height=«24» src=«ref-1_1288288584-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">
— решение той же системы уравнений , определенное на некотором интервале <img width=«67» height=«23» src=«ref-1_1288288837-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">. Будем говорить, что решение <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1288288989-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> является продолжением решения , если <img width=«103» height=«23» src=«ref-1_1288289062-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">. Решение будем называть непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.
Покажем, что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого. В этом смысле непродолжаемые решения исчерпывают совокупность всех решений.
Пусть
<img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1288289285-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">
— векторная запись нормальной системы уравнений . Тогда справедлива следующая теорема :
Теорема 1. Существует непродалжаемое решение уравнения с произвольными начальными значениями из <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1288212164-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">.
2. Если некоторое непродолжаемое решение уравнения совпадает с некоторым другим решением уравнения , хотя бы при одном значении <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">, то оно является продолжением этого решения.
3. Если два непродолжаемых решения уравнения совпадают между собой хотя бы для одного значения <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">, то они полностью совпадают, т.е. имеют один и тот же интервал определения и равны на нем.
Пусть <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1288226386-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> — решение системы с начальным условием <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_1288289828-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">. Ясно, что:
а) либо это решение может быть продолжено для всех значений <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_1288216748-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">, и тогда будем говорить, что решение <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1288226386-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> неограниченно (бесконечно) продолжаемо [в право];
б) либо существует такое <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1288290241-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">, что <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_1288290370-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> при <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1288290569-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">, и тогда будем говорить, что решение <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1288226386-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> имеет конечное время определения.
Эти две возможности явно несовместимы и дополняют друг друга. Третий случай
в) решение ограничено.
— совместим с возможностью а), но, конечно, несовместим с б).
Отметим, следующее
Свойство Если решение <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_1288290806-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> ограничено в своем максимальном промежутке существования <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1288290987-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">, то оно бесконечно продолжаемо, т.е. <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1288291177-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">.
Ограниченность всех решений представляет собой своего рода устойчивость; в этом случае говорят об устойчивости в смысле Лагранжа или, короче, об устойчивости по Лагранжу.
Неограниченная продолжимость решений системы является необходимым условием устойчивости по Ляпунову решений этой системы.
Пример
<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288291301-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">
Все решения данного уравнения <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1288291414-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> бесконечно продолжаемы, но не ограничены.
Пример
<img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1288291586-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">
На интервале <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1288291706-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">, для любого <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1288291860-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> все решения данного уравнения <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1288291952-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> бесконечно продолжаемы и ограничены.
Пример
<img width=«79» height=«41» src=«ref-1_1288292129-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">
Все решения <img width=«117» height=«21» src=«ref-1_1288292329-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">, <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1288292563-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> имеют конечное время определения.
Приведем без доказательства теорему Майергофера-Еругина.
Теорема Майергофера-Еругина
Пусть решение <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1288226386-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> уравнения
<img width=«77» height=«21» src=«ref-1_1288292801-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">
где функция <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288292977-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> непрерывна для всех <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> и <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1288293204-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">, определено на промежутке <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_1288293326-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> и непродолжимо для значений <img width=«55» height=«17» src=«ref-1_1288293554-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">.
Тогда при <img width=«155» height=«24» src=«ref-1_1288293687-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">, где <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1288293946-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"> — граница области <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1288294055-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">.
Предположим теперь, что в окрестности любой точки <img width=«67» height=«23» src=«ref-1_1288294150-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> выполняются условия существования решения уравнения . Для простоты предположим, что <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288294420-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> — скаляр.
Теорема признак Винтнера-Еругина
Пусть функция <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288292977-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> уравнения определена и непрерывна для всех вещественных <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288294420-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> как функция двух переменных.
Тогда любое решение уравнения неограниченно продолжим в обе стороны, если только выполнено неравенство
<img width=«107» height=«27» src=«ref-1_1288294815-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">
где <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288295085-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">--- функция, удовлетворяющая условию
<img width=«87» height=«49» src=«ref-1_1288295210-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">
где <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1288295585-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">--- число.
Доказательство проведем методом от противного.
Пусть существует решение <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288295677-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">, которое не является неограниченно продолжимым, например, вправо. Тогда на основании теоремы Майергофера-Еругина существует некоторое число <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1288291860-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> такое, что <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288295677-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> принимает <img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1288296095-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"> разных знаков и при <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1288296183-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">.
Ввиду непрерывности решения <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288295677-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> как функции от <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> оно должно бесконечное число раз проходить через нуль. А это означает, что существует последовательность значений <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">, по которой это решение стремится к нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).
Допустим, что <img width=«103» height=«21» src=«ref-1_1288296646-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> при <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1288296183-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">. Так как <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288295677-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> — решение уравнения , то <img width=«120» height=«41» src=«ref-1_1288297163-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> в промежутке <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1288297502-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">. Допустим, что <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1288297707-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384"> не меняет знак. Тогда
<img width=«101» height=«44» src=«ref-1_1288297888-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">
Проинтегрируем обе части по отрезку <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1288298219-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">, где <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_1288298349-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387"> получим
<img width=«123» height=«53» src=«ref-1_1288298589-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">
Произведем замену <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1288299125-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">. Получим
<img width=«123» height=«56» src=«ref-1_1288299281-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">
Тогда
<img width=«199» height=«56» src=«ref-1_1288299819-844.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">
Таким образом получаем
<img width=«93» height=«52» src=«ref-1_1288300663-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">
Теперь пусть <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1288301051-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">. Учтем, что с заменой <img width=«131» height=«21» src=«ref-1_1288301178-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> и получаем
<img width=«123» height=«52» src=«ref-1_1288301428-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">
по условию теоремы. Это неравенство противоречиво, так как слева стоит конечная величина.
Рассмотрим общий случай, когда <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1288297707-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> может менять знак. Тогда
<img width=«237» height=«27» src=«ref-1_1288302048-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">
Так как <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1288302558-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> при <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1288296183-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">, то с некоторого момента величина <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_1288302875-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> станет положительной и знак модуля можно будет опустить. Тогда получим
<img width=«153» height=«47» src=«ref-1_1288302999-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">
Проинтегрируем обе части от <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1288303532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> до <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">, где <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1288303532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> — значение, после которого <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_1288302875-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405"> становится положительным.
Сделаем замену <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1288299125-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">, получим
<img width=«173» height=«61» src=«ref-1_1288304081-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">
Устремим <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1288301051-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> и учтем
<img width=«135» height=«61» src=«ref-1_1288304755-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">
Последнее неравенство противоречиво, что говорит о том, что не существует решения, которое не является неограниченно продолжимым вправо.
продолжение
--PAGE_BREAK--Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем Развитие метода функций Ляпунова
Метод функций Ляпунова дал довольно сильный и гибкий аппарат исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Модификации этого используют сейчас и для выявления других свойств решений дифференциальных уравнений. Например, японский математик Окамура использовал идеи, сходные с идеями второго метода Ляпунова, для изучения продолжимости решений, а затем Йошизава применил этот метод для получения сведений об ограниченности решений.
Как известно, Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1288255542-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">, где <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411"> — положительно определенная функция. Таким образом изучается неравенство <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1288305431-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">. После работ русского ученого С.А. Чаплыгина началось широкое применение дифференциальных неравенств в теории дифференциальных уравнений. Развитие теории привело к сочетанию метода функций Ляпунова с методом дифференциальных неравенств: начали рассматривать функции Ляпунова в дифференциальных неравенствах вида
<img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1288305579-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">
что позволяет получить, в частности, интересные выводы относительно продолжимости и ограниченности решений. Остановимся кратко на этом вопросе .
Если рассмотреть систему
<img width=«195» height=«24» src=«ref-1_1288305796-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">
то ее решение <img width=«59» height=«24» src=«ref-1_1288306106-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> может быть ограниченным, иметь конечное время определения или существовать для всех <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1288211606-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">.
В неравенстве нас будут интересовать только его положительные решения. Сами неравенства могут быть двух типов:
а) неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временем определения;
б) неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного решения. Заметим, что в дальнейшем, если под <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> понимается некоторое множество, то через <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_1288306447-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> обозначается дополнение этого множества в пространстве.
Приведем без доказательства несколько утверждений .
Теорема
Предположим, что <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> — ограниченное множество пространство <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1288306650-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">, содержащее начало координат, и что функция <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1288306753-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> определена во всем множестве <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_1288306447-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> и при всех <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1288239208-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">. Допустим далее, что <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1288307119-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> при <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288307304-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> равномерно на каждом интервале изменения времени <img width=«81» height=«19» src=«ref-1_1288307469-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">. Наконец, предположим, что <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1288307637-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">, во всем <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_1288306447-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> и для <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1288239208-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">. Если неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1288226386-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> системы неограниченно продолжаемо.
Для применения результатов такого рода часто полагают <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1288308175-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">, то есть неравенство записывается в виде
<img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1288308428-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">
Лемма
Если <img width=«85» height=«44» src=«ref-1_1288308656-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">, то неравенство , при непрерывности <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1288309014-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> для всех <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1288239208-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> и положительности и непрерывности <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1288309249-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> для <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1288263281-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">, не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения.
Лемма
Если <img width=«85» height=«44» src=«ref-1_1288308656-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">, <img width=«87» height=«29» src=«ref-1_1288309856-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">, то неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1288239208-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> решения.
Теорема
Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1288234703-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> и <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1288231298-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> имеют тот же смысл, что и в теореме , <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1288310478-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> при <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288307304-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> равномерно по <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1288239208-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> и <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1288307637-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">. Если неравенство <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1288307637-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> не имеет ни одного положительного неограниченного при всех <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1288239208-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> решения, то система устойчива в смысле Лагранжа.
Замечание. Для автономной системы вместо <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1288306753-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> используется функция <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288235390-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике