Реферат: Великая теорема Ферма два коротких доказательства
Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Бобров А.В.
123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15
Контактный телефон – 193-42-34
Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:
В равенстве />числа />и />не могут быть одновременно целыми положительными, если />.
Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:
Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел />и />, т.е. два числа – всегда нечетные.
Существуют числа />и />, или />, то есть для произвольно выбранных натуральных />существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел />и />, удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых />числа />и />также будут целыми.
Вариант№1
Равенство />(1)
путем последовательного деления на числа />и />всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) />-ой степени относительно />:
/>(2)
/>(3)
Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел />и />. По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:
/>, />, … />, />(4)
Из (1) и (4) следует />, />то есть число />, как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых />, />, />и />.
Из равенства свободных членов следует:
/>,или/>,или
--PAGE_BREAK--/>(5)
Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:
/>(6)
или, если />, сократив на />, получим:
/>(7)
Из равенства (7) следует, что для />числа />и />не могут быть одновременно положительными.
Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:
для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при />число />, как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных />, />, />и />;
многочлены (2) и (3) для />и натуральных />и />не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители />и />равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа />;
числа />, />и />в равенстве (1) для />не могут быть одновременно рациональными.
Для />противоречие исчезает, коэффициенты при />равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений />и />обращается в тождество:
/>. (8)
Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через />и />, где />и />— целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно />:
/>
/>(9),
где неизвестное />обозначено общепринятым образом через />, то есть />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.
Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.
Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.
Вариант№2
Пусть в равенстве />числа />и />— взаимно простые, />— нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать:
/>(1)
где />/>, />— действительные положительные множители числа />.
Из (1) следует:
/>, />(2)
В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел />, />и целого />существуют единственные значения показателей степени />, удовлетворяющие равенствам:
/>, />(3)
где />, />.
Из (3) следует />, />, или после сокращения на числа />, />получим:
/>(4)
Из (1), (2) и (3) следует:
/>, (5)
или, с учетом равенств (3) и (4):
/>(6)
Вынесем за скобки общий множитель />:
/>(7)
Из (5) и (7) следует, что числа />, />и />содержат общий множитель />, что противоречит условию их взаимной простоты, если />. Из />следует />, />, то есть />, />, и равенства (5) и (7) принимают вид:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>(8)
Из (8) следует, что при нечетном />числа />и />также целые, причем всегда имеет место тождество:
/>(9)
что для одновременно целых />, />и />выполнимо только при />, или />, />, что и требовалось доказать.
Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства />, где />, />и />— произвольно выбранные натуральные числа, />— действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).
Вынесем за скобки множитель />и поделим на него все слагаемые тождества (5):
/>(10)
где />.
В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам />, />и />, например из равенства (5), соответствует единственное значение />, удовлетворяющее условию:
/>(11)
тогда />, или
/>(12)
где />, />и />— целые числа.
Из (10), (11) и (12) следует:
/>(13)
то есть числа />и />могут быть одновременно целыми только при />, или />, />. При />числа />и />есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых />и нечетных />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель />, при этом число />в этих равенствах одно и то же, откуда следует />, />, />, и тождество (10) принимает вид тождества (8).
Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений />. Подставляя вместо />любую рациональную дробь и полагая />, можно найти все Пифагоровы числа.
Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.
Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте www.allbest.ru/доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.
А.В.Бобров
Великая теорема Ферма
Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.
Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.
Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15
The evidence of the Fermat theorem
Alexander V. Bobrov
The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented