Реферат: Понятие и классификация систем массового обслуживания

--PAGE_BREAK--2. Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем



Если система Sможет переходить в другое состояние случайным образом в произвольный момент времени, то говорят о случайном процессе с непрерывным временем. В отсутствии последействия такой процесс называется непрерывной марковской цепью. При этом вероятности переходов <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_888185607-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> для любых iи jв любой момент времени равны нулю (в силу непрерывности времени). По этой причине вместо вероятности перехода <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_888195038-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> вводится величина <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_888195144-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> — плотность вероятности перехода из состояния <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_888195251-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> в состояние <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_888195348-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">, определяемая как предел:
<img width=«199» height=«44» src=«ref-1_888195452-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> <img width=«35» height=«20» src=«ref-1_888195940-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">
Если величины <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_888196054-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> не зависят от t, то марковский процесс называется однородным. Если за время <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_888196194-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> система может изменить свое состояние не более чем один раз, то говорят, что случайный процесс является ординарным. Величину <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_888196054-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055"> называют интенсивностью перехода системы из Siв Sj. На графе состояний системы численные значения <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_888196054-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> ставят рядом со стрелками, показывающими переходы в вершины графа.

Зная интенсивности переходов можно найти величины p1(t), p2(t),…, pn(t) – вероятности нахождения системы Sв состояниях S1, S2,…, Snсоответственно. При этом выполняется условие:
<img width=«80» height=«47» src=«ref-1_888196573-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">


Распределение вероятностей состояний системы, которое можно характеризовать вектором <img width=«187» height=«24» src=«ref-1_888196927-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">, называется стационарным, если оно не зависит от времени, т.е. все компоненты вектора <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_888197266-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> являются константами.

Состояния Siи Sjназываются сообщающимися, если возможны переходы <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_888197392-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">.

Состояние Siназывается существенным, если всякое Sj, достижимое из Si, является сообщающимся с Si. Состояние Siназывается несущественным, если оно не является существенным.

Если существуют предельные вероятности состояний системы:
<img width=«156» height=«32» src=«ref-1_888197550-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">,
не зависящие от начального состояния системы, то говорят, что при <img width=«45» height=«16» src=«ref-1_888197872-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> в системе устанавливается стационарный режим.

Система, в которой существуют предельные (финальные) вероятности состояний системы, называется эргодической, а протекающий в ней случайный процесс эргодическим.

Теорема 1. Если Si– несущественное состояние, то <img width=«88» height=«29» src=«ref-1_888197992-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> т.е. при <img width=«45» height=«16» src=«ref-1_888197872-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> система выходит из любого несущественного состояния.

Теорема 2. Чтобы система с конечным числом состояний имела единственное предельное распределение вероятностей состояний, необходимо и достаточно, чтобы все ее существенные состояния сообщались между собой.

Если случайный процесс, происходящий в системе с дискретными состояниями является непрерывной марковской цепью, то для вероятностей p1(t), р2(t),…, pn(t) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова. При составлении уравнений удобно пользоваться графом состояний системы. В левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (j-го) состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного (j-го) состояния, умноженная на вероятность данного (j-го) состояния.



    продолжение
--PAGE_BREAK--3 Процессы рождения и гибели



Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис. 3.
<img width=«461» height=«86» src=«ref-1_888198343-5639.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">

Рисунок 2 – Граф состояний для процессов гибели и размножения
Здесь величины <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_888203982-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_888204085-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">,…, <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_888204185-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> – интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_888204304-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">,<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_888204404-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">,…,<img width=«31» height=«25» src=«ref-1_888204502-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> – интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.

В стационарных условиях для каждого состояния поток, входящий в данное состояние должен равняться потоку, исходящему из данного состояния. Таким образом, имеем:

Для состояния S:
<img width=«147» height=«24» src=«ref-1_888204620-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">
Следовательно:

<img width=«104» height=«24» src=«ref-1_888204886-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">


Для состояния S1:
<img width=«275» height=«24» src=«ref-1_888205097-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">
Следовательно:
<img width=«197» height=«24» src=«ref-1_888205634-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">
С учетом того, что <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_888204886-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">:
<img width=«197» height=«24» src=«ref-1_888206290-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">

<img width=«101» height=«23» src=«ref-1_888206735-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:
<img width=«148» height=«179» src=«ref-1_888206935-1121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">
Решение этой системы будет иметь вид:
<img width=«337» height=«57» src=«ref-1_888208056-931.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">                                               (4)


<img width=«83» height=«47» src=«ref-1_888208987-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">, <img width=«99» height=«47» src=«ref-1_888209231-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">,…, <img width=«139» height=«49» src=«ref-1_888209533-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">                                         (5)

4. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания



Заявкой (или требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности (далее потребности предполагаются однотипными). Выполнение заявки называется обслуживанием заявки.

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.

Поступление заявки в СМО называется событием. Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок. Последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО, называется выходящим потоком заявок.

Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим условиям:

1) отсутствие последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;

2) стационарность, т.е. вероятность поступления данного числа заявок на любом временном отрезке [t1; t2] зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t1, что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени, λ, называемом интенсивностью потока заявок;

3) ординарность, т.е. в любой момент времени в СМО поступает лишь одна заявка, а поступление одновременно двух и более заявок пренебрежимо мало.

Для простейшего потока вероятность pi(t) поступления в СМО ровно iзаявок за время tвычисляется по формуле:
<img width=«135» height=«45» src=«ref-1_888209936-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">                                                                            (6)


т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt. По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.

Функция распределения F(t) случайного интервала времени Tмежду двумя последовательными заявками по определению равна <img width=«104» height=«21» src=«ref-1_888210356-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">. Но <img width=«149» height=«21» src=«ref-1_888210572-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, где <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_888210830-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> – вероятность того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t, т.е. за время tв СМО не поступит ни одна заявка. Но вероятность этого события находится из (6) при i= 0. Таким образом:
<img width=«152» height=«25» src=«ref-1_888210985-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">                                  

<img width=«96» height=«24» src=«ref-1_888211267-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">                                                                                      (7)
Плотность вероятности f(t) случайной величины Tопределяется формулой:
<img width=«141» height=«25» src=«ref-1_888211463-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">         , <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_888211733-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины Tравны соответственно:
<img width=«224» height=«41» src=«ref-1_888211847-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">
Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.

Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.

Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Очередь может быть ограничена как по количеству мест, так и по времени ожидания. Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).

СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.

Если в СМО нет приоритета, то заявки отбираются из очереди в канал по различным правилам.

·                   Первым пришел – первым обслужен (FCFS – First Came – First Served)

·                   Последним пришел – первым обслужен (LCFS – Last Came – First Served)

·                   Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE)

·                   Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT)

·                   Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT)

·                   Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT)

Приоритеты бывают двух типов – абсолютный и относительный.

Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из канала и возвращено в очередь (либо вовсе покидает СМО) при поступлении требования с более высоким приоритетом, то система работает с абсолютным приоритетом. Если обслуживание любого требования, находящегося в канале не может быть прервано, то СМО работает с относительным приоритетом. Существуют также приоритеты, осуществляемые с помощью конкретного правила или набора правил. Примером может служить приоритет, изменяющийся с течением времени.

СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.

<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888212326-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> – число каналов в СМО;

<img width=«15» height=«19» src=«ref-1_888212410-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> – интенсивность поступления в СМО заявок;

<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_888212500-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> – интенсивность обслуживания заявок;
<img width=«47» height=«44» src=«ref-1_888212592-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> – коэффициент загрузки СМО;
<img width=«17» height=«15» src=«ref-1_888212755-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> – число мест в очереди;

<img width=«35» height=«24» src=«ref-1_888212843-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> – вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;

<img width=«63» height=«24» src=«ref-1_888212965-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> – вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО);

При этом:
<img width=«132» height=«24» src=«ref-1_888213130-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">                                                                             (8)
А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)
<img width=«63» height=«21» src=«ref-1_888213373-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">                                                                                           (9)
<img width=«36» height=«24» src=«ref-1_888213529-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> – среднее число заявок, находящихся в СМО

<img width=«19» height=«27» src=«ref-1_888213658-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> – среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В тоже время это <img width=«33» height=«24» src=«ref-1_888213764-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО за единицу времени. Величина <img width=«19» height=«27» src=«ref-1_888213658-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием nканалов.
<img width=«221» height=«45» src=«ref-1_888213995-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">,                                                           (10)
где <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_888214625-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> – вероятность нахождения системы в Skсостоянии.

<img width=«60» height=«45» src=«ref-1_888214726-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> – коэффициент занятости каналов

<img width=«27» height=«24» src=«ref-1_888214917-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> – среднее время ожидания заявки в очереди

<img width=«56» height=«45» src=«ref-1_888215031-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> – интенсивность ухода заявок из очереди

<img width=«29» height=«24» src=«ref-1_888215216-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> – среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m– числа заявок, состоящих в очереди
<img width=«164» height=«45» src=«ref-1_888215332-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">                                                                        (11)
Здесь <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_888215813-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> – вероятность нахождения в очереди iзаявок;

<img width=«25» height=«23» src=«ref-1_888215923-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> – среднее время пребывания заявки с СМО

<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_888216036-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> – среднее время пребывания заявки в очереди

Для открытых СМО справедливы соотношения:
<img width=«144» height=«45» src=«ref-1_888216139-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">                                                                            (12)

<img width=«63» height=«43» src=«ref-1_888216497-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">                                                                                            (13)


Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

Рассмотрим некоторые конкретные типы СМО. При этом будет предполагаться, что плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями в СМО имеет показательное распределение (7), а все потоки являются простейшими.



    продолжение
--PAGE_BREAK--5. Основные типы открытых систем массового обслуживания
5.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами



Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рисунке 3.
<img width=«196» height=«64» src=«ref-1_888216690-2076.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

Рисунок 3 – Граф состояний одноканальной СМО
Здесь <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_888212410-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_888212500-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> – интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы Soобозначает, что канал свободен, а S1– что канал занят обслуживанием заявки.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид:
<img width=«177» height=«116» src=«ref-1_888218948-998.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
где po(t) и p1(t) – вероятности нахождения СМО в состояниях Soи S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей poи p1получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:
<img width=«128» height=«44» src=«ref-1_888219946-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">                                                                               (14)


<img width=«127» height=«44» src=«ref-1_888220250-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">                                                                               (15)
Вероятность pпо своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки pобс, т. к. канал является свободным, а вероятность р1 по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки ротк, т. к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.


5.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами



Пусть СМО содержит nканалов, интенсивность входящего потока заявок равна <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_888212410-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">, а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_888212500-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">. Размеченный граф состояний системы изображён на рисунке 4.
<img width=«477» height=«73» src=«ref-1_888220744-5373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

Рисунок 4 – Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Состояние Sозначает, что все каналы свободны, состояние Sk(k= 1, n) означает, что обслуживанием заявок заняты kканалов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_888212410-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_888226207-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО kканалов (нижние стрелки).

Сравнивая графы на рис. 3 и на рис. 5 легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_888226326-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> и


<img width=«205» height=«56» src=«ref-1_888226442-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">                                                               (16)
При этом для нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться формулами (4) и (5). С учётом (16) получим из них:
<img width=«197» height=«53» src=«ref-1_888227043-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">                                                                 (17)

<img width=«165» height=«44» src=«ref-1_888227546-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">                                                                       (18)
Формулы (17) и (18) называются формулами Эрланга – основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки ротк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии Sn. Таким образом,
<img width=«135» height=«44» src=«ref-1_888227916-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">                                                                             (19)
Относительную пропускную способность СМО найдём из (8) и (19):
<img width=«217» height=«44» src=«ref-1_888228215-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">                                                             (20)
Абсолютную пропускную способность найдём из (9) и (20):
<img width=«181» height=«51» src=«ref-1_888228627-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">
Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти по формуле (10), однако сделаем это проще. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_888212500-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> заявок, то <img width=«19» height=«27» src=«ref-1_888213658-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> можно найти по формуле:
<img width=«169» height=«51» src=«ref-1_888229266-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">
    продолжение
--PAGE_BREAK--5.3 Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди



В СМО с ограниченной очередью число мест mв очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО. Граф такой СМО представлен на рисунке 5.
  <img width=«456» height=«64» src=«ref-1_888229698-4350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

Рисунок 5 – Граф состояний одноканальной СМО с ограниченной очередью
Состояния СМО представляются следующим образом:

S– канал обслуживания свободен,

S1– канал обслуживания занят, но очереди нет,

S2– канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,

Sk+1– канал обслуживания занят, в очереди kзаявок,

Sm+1– канал обслуживания занят, все mмест в очереди заняты.

Для получения необходимых формул можно воспользоваться тем обстоятельством, что СМО на рисунок 5 является частным случаем системы рождения и гибели, представленной на рисунке 2, если в последней принять <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_888234048-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> и


<img width=«151» height=«27» src=«ref-1_888234204-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">                                                                           (21)

<img width=«271» height=«45» src=«ref-1_888234472-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">                                                  (22)

<img width=«175» height=«27» src=«ref-1_888234977-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">                                                                      (23)
Выражения для финальных вероятностей состояний рассматриваемой СМО можно найти из (4) и (5) с учётом (21). В результате получим:

При р = 1 формулы (22), (23) принимают вид

При m= 0 (очереди нет) формулы (22), (23) переходят в формулы (14) и (15) для одноканальной СМО с отказами.

Поступившая в СМО заявка получает отказ в обслуживании, если СМО находится в состоянии Sm+1, т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки равна:
<img width=«201» height=«41» src=«ref-1_888235278-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">

<img width=«155» height=«25» src=«ref-1_888235666-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">
Относительная пропускная способность СМО равна:
<img width=«205» height=«25» src=«ref-1_888235934-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">
Абсолютная пропускная способность равна:
<img width=«185» height=«25» src=«ref-1_888236266-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">
Среднее число заявок, стоящих в очереди Lоч, находится по формуле
<img width=«217» height=«24» src=«ref-1_888236579-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">


и может быть записано в виде:
<img width=«244» height=«48» src=«ref-1_888236902-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">                                                        (24) 
При <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_888237540-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> формула (24) принимает вид:
<img width=«171» height=«44» src=«ref-1_888237661-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">
<img width=«33» height=«24» src=«ref-1_888238206-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> – среднее число заявок, находящихся в СМО, находится по формуле(10)
<img width=«341» height=«24» src=«ref-1_888238330-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">
и может быть записано в виде:
<img width=«296» height=«51» src=«ref-1_888238787-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">                                              (25)
При <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_888237540-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">, из (25) получим:
<img width=«183» height=«47» src=«ref-1_888239696-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">
Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди находится по формулам (12) и (13) соответственно.

5.4 Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью



Примером такой СМО может служить директор предприятия, вынужденный рано или поздно решать вопросы, относящиеся к его компетенции, или, например, очередь в булочной с одним кассиром. Граф такой СМО изображён на рисунке 6.
<img width=«516» height=«83» src=«ref-1_888240149-4875.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">

Рисунок 6 – Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью
Все характеристики такой СМО можно получить из формул предыдущего раздела, полагая в них <img width=«52» height=«15» src=«ref-1_888245024-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">. При этом необходимо различать два существенно разных случая: а) <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_888245154-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">; б) <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_888245279-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">. В первом случае, как это видно из формул (22), (23), р0= 0 и pk= 0 (при всех конечных значениях k). Это означает, что при <img width=«45» height=«16» src=«ref-1_888197872-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> очередь неограниченно возрастает, т.е. этот случай практического интереса не представляет.

Рассмотрим случай, когда <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_888245279-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">. Формулы (22) и (23) при этом запишутся в виде:
<img width=«71» height=«24» src=«ref-1_888245641-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">

<img width=«195» height=«24» src=«ref-1_888245800-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
Поскольку в СМО отсутствует ограничение на длину очереди, то любая заявка может быть обслужена, т.е. относительная пропускная способность равна:


<img width=«87» height=«24» src=«ref-1_888246108-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
Абсолютная пропускная способность равна:
<img width=«89» height=«21» src=«ref-1_888246295-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">
Среднее число заявок в очереди получим из формулы (24) при <img width=«52» height=«15» src=«ref-1_888245024-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">:
<img width=«81» height=«47» src=«ref-1_888246608-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">
Среднее число обслуживаемых заявок есть:
<img width=«111» height=«24» src=«ref-1_888246841-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
Среднее число заявок, находящихся в СМО:
<img width=«177» height=«44» src=«ref-1_888247053-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">
Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяются формулами (12) и (13).


    продолжение
--PAGE_BREAK--5.5 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью



Пусть на вход СМО, имеющей <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888212326-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_888212410-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_888212500-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">, а максимальное число мест в очереди равно <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_888212755-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">.

Граф такой системы представлен на рисунке 7.
<img width=«491» height=«80» src=«ref-1_888247775-6657.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

Рисунок 7 – Граф состояний многоканальной СМО с ограниченной очередью

<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_888254432-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> – все каналы свободны, очереди нет;

<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_888254534-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> – заняты lканалов (l= 1, n), очереди нет;

<img width=«27» height=«24» src=«ref-1_888254633-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">— заняты все nканалов, в очереди находится iзаявок (i= 1, m).
Сравнение графов на рисунке 2 и рисунке 7 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):
<img width=«413» height=«28» src=«ref-1_888254749-651.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

<img width=«363» height=«56» src=«ref-1_888255400-890.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">
Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5). В результате получим:
<img width=«316» height=«130» src=«ref-1_888256290-1652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">                                         (26)


<img width=«168» height=«88» src=«ref-1_888257942-651.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все каналы заняты, т.е. в системе находятся либо n, либо (n+1),…, либо (n+ m– 1) заявок. Т.к. эти события несовместны, то вероятность образования очереди pочравна сумме соответствующих вероятностей <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_888258593-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">:
<img width=«216» height=«87» src=«ref-1_888258798-781.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">                                                             (27)
Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все mмест в очереди заняты, т.е.:
<img width=«159» height=«44» src=«ref-1_888259579-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
Относительная пропускная способность равна:
<img width=«221» height=«44» src=«ref-1_888259933-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
Абсолютная пропускная способность:
<img width=«196» height=«51» src=«ref-1_888260365-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">


Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле (11) и может быть записано в виде:
<img width=«284» height=«77» src=«ref-1_888260858-1107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">                                      (28)
Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:
<img width=«255» height=«56» src=«ref-1_888261965-789.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">
Среднее число заявок, находящихся в СМО:
<img width=«104» height=«24» src=«ref-1_888262754-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).
5.6 Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью



Граф такой СМО изображен на рисунке 8 и получается из графа на рисунке 7 при <img width=«52» height=«15» src=«ref-1_888245024-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">.
<img width=«477» height=«45» src=«ref-1_888263091-4620.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

Рисунок 8 – Граф состояний многоканальной СМО с неограниченной очередью


Формулы для финальных вероятностей можно получить из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при <img width=«52» height=«15» src=«ref-1_888245024-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">. При этом следует иметь в виду, что при <img width=«40» height=«41» src=«ref-1_888267841-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> вероятность р0= р1=…= pn= 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже рассматривается лишь случай <img width=«40» height=«41» src=«ref-1_888267998-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">. При <img width=«52» height=«15» src=«ref-1_888245024-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> из (26) получим:
<img width=«313» height=«53» src=«ref-1_888268282-744.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:
<img width=«324» height=«44» src=«ref-1_888269026-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">
Из (27) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:
<img width=«135» height=«47» src=«ref-1_888269656-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">
Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки:
<img width=«60» height=«24» src=«ref-1_888269981-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">
Относительная пропускная способность:


<img width=«153» height=«24» src=«ref-1_888270137-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">
Абсолютная пропускная способность:
<img width=«88» height=«21» src=«ref-1_888270396-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">
Из формулы (28) при <img width=«52» height=«15» src=«ref-1_888245024-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> получим выражение для среднего числа заявок в очереди:
<img width=«160» height=«47» src=«ref-1_888270710-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">
Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:
<img width=«61» height=«24» src=«ref-1_888271095-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">
Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).
    продолжение
--PAGE_BREAK--5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди



Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром <img width=«55» height=«45» src=«ref-1_888271250-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">, где <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_888271434-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> – среднее время ожидания заявки в очереди, а <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888271548-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> – имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке 9.


<img width=«459» height=«85» src=«ref-1_888271632-6174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

Рисунок 9 – Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди
Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.

Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):
<img width=«435» height=«28» src=«ref-1_888277806-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«455» height=«56» src=«ref-1_888278480-1010.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">             (29)
Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:
<img width=«332» height=«95» src=«ref-1_888279490-1232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">

<img width=«144» height=«44» src=«ref-1_888280722-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">

<img width=«216» height=«68» src=«ref-1_888281066-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">,
где <img width=«47» height=«44» src=«ref-1_888281730-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">. Вероятность образования очереди определяется формулой:


<img width=«267» height=«91» src=«ref-1_888281896-1116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все mмест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:
<img width=«203» height=«68» src=«ref-1_888283012-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
Относительная пропускная способность:
<img width=«271» height=«68» src=«ref-1_888283645-720.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">
Абсолютная пропускная способность:
<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_888284365-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">
Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:
<img width=«244» height=«68» src=«ref-1_888284520-864.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">
Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:


<img width=«177» height=«45» src=«ref-1_888285384-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">
Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки:
<img width=«176» height=«44» src=«ref-1_888285938-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> 



6. Метод Монте-Карло
6.1 Основная идея метода



Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят nиспытаний, в результате которых получают nвозможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое <img width=«65» height=«45» src=«ref-1_888286341-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> и принимают <img width=«13» height=«23» src=«ref-1_888286635-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> в качестве оценки (приближённого значения) a
*
искомого числа a:
<img width=«69» height=«23» src=«ref-1_888286724-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">.
Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.
6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величины



Пусть необходимо получить значения случайной величины <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888286878-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">, распределенной в интервале <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_888286963-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> с плотностью <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_888287185-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">. Докажем, что значения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888286878-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> можно найти из уравнения
<img width=«88» height=«51» src=«ref-1_888287398-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">,                                                                                              (30)
где <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_888287745-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> – случайная величина, равномерно распределенная на интервале <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_888287831-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">.

Т.е. выбрав очередное значение <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_888287745-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> надо решить уравнение (30) и найти очередное значение <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888286878-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">. Для доказательства рассмотрим функцию:
<img width=«88» height=«51» src=«ref-1_888288210-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">
Имеем общие свойства плотности вероятности:
<img width=«84» height=«51» src=«ref-1_888288562-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">                                                                                        (31)

<img width=«60» height=«21» src=«ref-1_888288913-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">                                                                                            (32)
Из (31) и (32) следует, что <img width=«115» height=«21» src=«ref-1_888289073-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">, а производная <img width=«109» height=«21» src=«ref-1_888289308-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">.

Значит, функция <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_888289532-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> монотонно возрастает от 0 до 1. И любая прямая <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_888289657-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">, где <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_888289774-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">, пересекает график функции <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_888289924-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> в единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888286878-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">. Таким образом, уравнение (30) всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_888290165-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">, содержащийся внутри <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_888286963-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">. Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству <img width=«113» height=«21» src=«ref-1_888290621-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">. Поэтому, если <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888286878-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> принадлежит интервалу <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_888290165-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">, то

<img width=«13» height=«17» src=«ref-1_888287745-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> принадлежит интервалу <img width=«85» height=«23» src=«ref-1_888291260-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">, и наоборот. Значит: <img width=«236» height=«23» src=«ref-1_888291570-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">. Т.к. <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_888287745-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> равномерно распределена в <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_888287831-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">, то

<img width=«304» height=«51» src=«ref-1_888292420-793.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">, а это как раз и означает, что случайная величина <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888286878-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">, являющаяся корнем уравнения (30) имеет плотность вероятностей <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_888287185-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">.



    продолжение
--PAGE_BREAK--6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением



Простейшим потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток времени <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888293426-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_888293511-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> с плотностью
<img width=«92» height=«24» src=«ref-1_888293741-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">
Вычислим математическое ожидание: <img width=«235» height=«51» src=«ref-1_888293937-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">

После интегрирования по частям, получим:
<img width=«307» height=«53» src=«ref-1_888294563-833.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">.
Параметр <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888295396-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888293426-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> получим из уравнения (30), которое в данном случае запишется так: <img width=«83» height=«51» src=«ref-1_888295565-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">.

Вычислив интеграл, стоящий слева, получим соотношение <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_888295873-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">. Отсюда, выражая <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_888293426-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, получим:
<img width=«112» height=«41» src=«ref-1_888296118-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">                                                                                  (33)
Т.к. величина <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_888296464-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> распределена также как и <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_888287745-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, следовательно, формулу (33) можно записать в виде:




<img width=«84» height=«41» src=«ref-1_888296766-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">                                                                                        (34)



7 Исследование системы массового обслуживания

7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении



Исследуемое мной предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

<img width=«41» height=«19» src=«ref-1_888296979-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">

<img width=«112» height=«41» src=«ref-1_888297100-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_888297402-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">.
<img width=«165» height=«45» src=«ref-1_888297595-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">
Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.
Таблица 6.1 – Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок

22

25

23

16

14

10

8

4

Время обработки, мин

0–5

5–10

10–15

15–20

20–25

25–30

30–35

35–40




Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_888298118-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_888298206-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">. Для этого, каждый i– й интервал заменяем его серединой <img width=«91» height=«43» src=«ref-1_888298309-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:
<img width=«52» height=«44» src=«ref-1_888298542-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">
3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:
<img width=«340» height=«34» src=«ref-1_888298714-884.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">
4) Вычислить теоретические частоты:
<img width=«68» height=«25» src=«ref-1_888299598-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">,
где <img width=«63» height=«27» src=«ref-1_888299765-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> — объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_888300014-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">, где S– число интервалов первоначальной выборки.


Таблица 6.2 – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Количество заявок

22

25

23

16

14

10

8

4

Время обработки, мин

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

37,5



Найдем выборочную среднюю:
<img width=«528» height=«131» src=«ref-1_888300156-1992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">
2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную <img width=«159» height=«44» src=«ref-1_888302148-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">. Тогда:
<img width=«184» height=«34» src=«ref-1_888302519-780.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> (<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_888303299-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">)
3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:
<img width=«355» height=«38» src=«ref-1_888303415-1025.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
Для первого интервала:
<img width=«361» height=«30» src=«ref-1_888304440-970.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">


Для второго интервала:
<img width=«381» height=«30» src=«ref-1_888305410-972.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">
Для третьего интервала:
<img width=«388» height=«31» src=«ref-1_888306382-985.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">
Для четвертого интервала:
<img width=«391» height=«30» src=«ref-1_888307367-1011.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">
Для пятого интервала:
<img width=«396» height=«31» src=«ref-1_888308378-1040.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">

Для шестого интервала:
<img width=«396» height=«31» src=«ref-1_888309418-1037.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">
Для седьмого интервала:
<img width=«395» height=«31» src=«ref-1_888310455-1060.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">
Для восьмого интервала:
<img width=«396» height=«31» src=«ref-1_888311515-1042.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">
4) Вычислим теоретические частоты:


<img width=«157» height=«25» src=«ref-1_888312557-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">
Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_888312853-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> и теоретические <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_888312947-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_888313056-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, их квадраты, затем отношения <img width=«69» height=«52» src=«ref-1_888313325-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">. Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_888313692-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> при уровне значимости <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_888313796-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> и числу степеней свободы <img width=«137» height=«19» src=«ref-1_888313948-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> находим критическую точку <img width=«69» height=«27» src=«ref-1_888314159-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">
Таблица 6.3 – Результаты вычислений

i

<img width=«16» height=«24» src=«ref-1_888312853-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">

<img width=«32» height=«21» src=«ref-1_888314445-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">

<img width=«83» height=«25» src=«ref-1_888314565-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">

<img width=«59» height=«25» src=«ref-1_888313056-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">

<img width=«65» height=«29» src=«ref-1_888315030-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">

<img width=«69» height=«52» src=«ref-1_888313325-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">

1

22

0,285

34,77

-12,77

163,073

4,690

2

25

0,204

24,888

0,112

0,013

0,001

3

23

0,146

17,812

5,188

26,915

1,511

4

16

0,104

12,688

3,312

10,969

0,865

5

14

0,075

9,15

4,85

23,523

2,571

6

10

0,053

6,466

3,534

12,489

1,932

7

8

0,038

4,636

3,364

11,316

2,441

8

4

0,027

3,294

0,706

0,498

0,151



122









<img width=«92» height=«25» src=«ref-1_888315686-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">



Т.к. <img width=«73» height=«27» src=«ref-1_888315906-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">, то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении Xпо показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

    продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике