Реферат: Розвязання лінійних задач методами лінійного програмування

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Чернігівський державний технологічнийуніверситет

Кафедра вищої математики

Контрольна робота

з дисципліни: Математичне програмування

Варіант 06

Чернігів 2009

Зміст

Завдання №1

Завдання №2

Завдання №3

Завдання №4

Завдання №5

Список використаних джерел

Завдання №1

Звести до канонічної форми задачу лінійного програмування:

/>

Дана задача лінійного програмування задана в симетричній формі запису: умови, при яких функція Fбуде максимальною, задані у вигляді нерівностей. Для того, щоб отримати канонічну форму задачі лінійного програмування необхідно нерівності перетворити у рівності, використовуючи теорему, за якою нерівність

/>

еквівалентна рівнянню

/>і нерівності />

а нерівність вигляду

/>

еквівалентна рівнянню

/>, в якому />

Враховуючи наведене вище дану задачу запишемо у наступній канонічній формі:

/>

Завдання №2

Визначити оптимальний план задачі лінійного програмування графічним методом (знайти максимум і мінімум функції):

/>

Для задач з двома змінними можна використовувати графічний спосіб розв’язку задач лінійного програмування. Побудуємо область допустимих розв’язків системи лінійних нерівностей. Для цього будуємо відповідні даним нерівностям граничні прямі:

/>

Потім знаходимо напівплощини, в яких виконуються задані нерівності (рисунок1).

/>

Рисунок1– Графічне визначення максимального і мінімального значення функції

Область допустимих рішень визначається як загальна частина напівплощин, відповідних даним нерівностям, які при цьому знаходяться в першій четвертині, тобто обмежуються прямими /> і />. З малюнку 1 видно, що функція не має рішення, оскільки напівплощина, утворена прямими

/>

не співпадає з площиною, утвореною обмеженнями

/>/>.

Завдання №3

Побудувати двоїсту задачу. Симплексним методом знайти оптимальний план початкової задачі. Використовуючи першу теорему двоїстості, визначити план другої задачі.

/>

Для перетворення нерівностей в рівності вводимо змінні одиничні матриці х3, х4 і х5. Для розв’язку задачі симплексним методом необхідно мати три одиничних матриці при невід’ємних правих частинах рівнянь. Для отримання одиничної матриці в першій і третій нерівностях вводимо введемо штучні змінну х6 і х7 та отримаємо одиничні матриці А6 і А7. Де

/>і />

В результаті наведених перетворень отримаємо наступну задачу:

/>

У виразі функції величину М вважаємо достатньо великим додатнім числом, оскільки задача розв’язується на знаходження мінімального значення функції.

Запишемо задачу у векторній формі:

/>

де

/>

В якості базису вибираємо одиничні вектори А6, А4, А7. Вільні невідомі прирівнюємо нулю />. В результаті отримаємо початковий опорний план розширеної задачі

/>,

якому відповідає розкладення

/>

Для перевірки початкового опорного плану складаємо першу симплексну таблицю (таблиця1) і підраховуємо значення функції />і оцінок />Маємо:

/>/>

/>/>

/>/>/>

--PAGE_BREAK--

/>/>

тобто оскільки М попередньо не фіксовано, то оцінки />є лінійними функціями величини М, причому функція складається з двох доданків, одне з яких залежить від М, інше не залежить. Для зручності розрахунків в (F-C) рядок запишемо доданок, незалежний від М, а в (М) рядок – тільки коефіцієнти при М, які і дозволяють порівняти оцінки між собою. Для векторів базису оцінки дорівнюють нулю.

Таблиця1– Перша симплексна таблиця

Базис

С базису

А

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>




х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х6

М

8

1

/>

-1

1

х4

20

3

4

1

х7

М

6

3

1

-1

1

F-C

-5

-2

М

14

4

4

-1

-1

В (М) рядку є додатні оцінки, тому опорний план Хне є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає />. Оскільки у нас максимальне значення 4 належить двом векторам, то в базис включаємо вектор, якому відповідає мінімальне Сj. Розв’язувальним рядком вибирається той, в якому найменше відношення />Серед коефіцієнтів розкладання векторів А1і А2по базису є додатні, тому хоча б один з векторів існує… Знайдемо ці значення:

/>/>; />/>

Таким чином підтвердилося, що розв’язувальним стовпчиком буде другий, і визначилося, що розв’язувальним рядком буде перший. Тобто розв’язувальний елемент – число 3. Тоді вектор А2включаємо в базис, а вектор А6виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця2). При цьому елементи першого (розв’язувального) рядка ділимо на 3. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.

Таблиця2– Друга симплексна таблиця

Базис

С базису

А

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>




х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х2

    продолжение
--PAGE_BREAK--

2

2,67

0,33

1

-0,33

0,33

х4

9,33

1,67

1,33

1

-1,33

х7

М

3,33

/>

0,33

-1

-0,33

1

F-C

5,33

-4,33

-0,67

0,67

М

3,33

2,67

0,33

-1

-1,33

В (М) рядку є додатні оцінки, тому план, зображений в таблиці2 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає />. Тобто за розв’язувальний стовпчик вибираємо перший. Мінімальне відношення

/>

тому розв’язувальним рядком є третій. Таким чином розв’язувальний елемент – число 2,67. Тоді вектор А1включаємо в базис, а вектор А7виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця3). При цьому елементи третього (розв’язувального) рядка ділимо на 2,67. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.

Таблиця3– Третя симплексна таблиця

Базис

С базису

А

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>




х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х2

2

2,25

1

-0,375

0,125

0,375

-0,125

х4

7,25

1,125

1

0,625

-1,125

-0,625

х1

5

1,25

1

0,125

-0,375

-0,125

0,375

F-C

10,75

-0,125

-1,625

0,125

1,625

М

-1

-1

В результаті проведеної ітерації з базису виключено штучні елементи, тому в рядку (М) всі оцінки, крім оцінки штучного вектору, перетворилися на нуль. Оскільки в рядках (F-C) і (М) не має додатних значень, то знайдене рішення

(/>)

є оптимальним. Функція при цьому

/>

Перевірка

/>

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність двоїсту задачу. Для цього першим кроком необхідно впорядкувати запис вихідної задачі. Оскільки у нас функція мінімізується, то всі умови-нерівності повинні бути вигляду />. Виконання цієї умови досягаємо множенням відповідних умов на (1-). В результаті система обмежень матиме наступний вигляд:

/>

Оскільки вихідна задача є задачею мінімізації, то двоїста буде задачею максимізації. Двоїста задача буде мати три змінні />, оскільки вихідна задача має три обмеження. При цьому вектор, отриманий із коефіцієнтів при невідомих цільової функції вихідної задачі />, співпадає з вектором констант у правих частинах обмежень двоїстої задачі. Аналогічно пов’язані між собою вектори, утворені з коефіцієнтів при невідомих цільової функції двоїстої задачі />, і константи в правих частинах обмежень вихідної задачі. Кожній змінній />двоїстої задачі відповідає і-те обмеження вихідної задачі, і, навпаки, кожній змінній />прямої задачі відповідає j-те обмеження двоїстої задачі. Матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі />утворюється транспортуванням матриці А, складеної з коефіцієнтів при невідомих вихідної задачі. Якщо на j-ту змінну вихідної задачі накладена умова невід’ємності, то j-те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, в іншому випадку j-те обмеження буде рівністю; аналогічно пов’язані між собою обмеження вихідної задачі і змінні двоїстої.

Складаємо матрицю при невідомих вихідної задачі:

/>,

тоді матриця при невідомих двоїстої задачі матиме наступний вигляд:

/>

На /> накладено умову невід’ємності, тому обмеження двоїстої задачі матимуть вигляд нерівності, а не рівності. Оскільки в початковій задачі всі обмеження мають вигляд нерівності, то накладаємо умови />

Враховуючи все наведене, двоїста задача матиме наступний вигляд:

/>

Якщо розглянути першу симплексну таблицю з одиничним додатковим базисом, то можна помітити, що в стовбцях записана вихідна задача, а в рядках – двоїста. Причому оцінками плану вихідної задачі є />, а оцінками плану двоїстої задачі – /> З таблиці3, отриманої в результаті рішення вихідної задачі знаходимо:

/>

Завдання №4

Визначити оптимальний план транспортної задачі:

а) побудувати початковий опорний план методом «північно-західного» напрямку;

б) побудувати оптимальний план методом потенціалів:

/>

Нехай в матриці А міститься інформація про кількість продукту в кожному місці виробництва, який необхідно доставити споживачам в кількості записаній в матриці В. Транспортні витрати, пов’язані з перевезенням одиниці продукту із одного місця виробництва одному споживачеві, записані в матриці С. Задані матриці і сказане вище для спрощення сприйняття узагальнимо в таблиці4.

Таблиця4–Поставка продукту із різних місць виробництва різним споживачам і пов’язані з цим витрати

Виробник

Споживач

Запаси продукту


/>

/>

/>

/>


/>

8

3

3

4

60

/>

5

2

7

5

20

/>

5

4

8

2

30

/>

7

1

5

7

20

Потреба в продукті

40

30

30

15

130

115

З таблиці4 видно, що запаси продукту у виробника на складах на 15 одиниць більші ніж необхідно споживачу, тобто маємо транспортну задачу з відкритою моделлю. Для розв’язку такої задачі введемо фіктивного споживача, якому необхідно отримати />одиниць продукту. Всі тарифи на доставку продукту цьому споживачеві будемо вважати рівними нулю, і весь продукт потрібний цьому споживачеві залишаємо у місці виробництва. Для побудови початкового плану перевезень (таблиця5) використаємо метод «північно-західного» напрямку: заповнювати таблицю починаємо з лівого верхнього кута, рухаючись вниз по стовбцю або вправо по рядку (тарифи перевезень напишемо в правому верхньому куту кожної клітини, кількість продукту – в нижньому лівому). В першу клітину заносимо менше з чисел (min(40;60): 40. Тобто потреба в продукті першого споживача повністю задовільнено і інші клітини першого стовпця заповнювати не будемо. Рухаємося далі по першому рядку в другий стовпчик. В цю клітину записуємо менше з 30 і (60-40), тобто пишемо 20. Таким чином перший рядок заповнювати далі не будемо, оскільки запаси першого місця виробництва остаточно вичерпано: з нього ми повністю задовольняємо потребу у продукті першого споживача і частково (20одиниць, а не 30) другого. Рухаємося по другому стовпчику на другий рядок. Сюди записуємо менше з (30-20) або 20: маємо 10, тобто другому споживачеві ми веземо 20одиниць продукту з першого місця виробництва і 10– з другого. Аналогічно заповнюємо інші клітини.

Таблиця5– Розподіл продукту по споживачам

Виробник

Споживач

Запаси продукту


/>

/>

/>

/>

/>


/>

8

    продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

30

15

15

130

×

/>

8

3

8

2

-5

×

×

Систему потенціалів можна побудувати лише для невирожденого опорного плану. Такий план містить m+n-1 лінійно незалежних рівнянь виду />з m+nневідомими (де m– кількість постачальників, n– кількість споживачів). Рівнянь на одне менше, ніж невідомих, тому система є невизначеною і для її розв’язку одному невідомому (нехай ним буде u1)придамо нульове значення.

Для того, щоб план був оптимальним, повинна виконуватись умова: для кожної незайнятої клітини сума потенціалів повинна бути менша або дорівнювати вартості одиниці перевезення, що стоїть в цій клітині: />тобто />Робимо перевірку для всіх вільних клітин:

/>

З розрахунків бачимо, що умова оптимальності не виконується для клітин, А1В3, А2В1, А3В1, А4В1, А4В2, і А4В3. Клітину, в якій додатне число отримали максимальним (А2В3, оскільки max(5;2;3;6;7;8)=8)зробимо зайнятою, для цього побудуємо цикл і отримуємо таблицю7.

Таблиця7– Другий крок пошуку оптимального рішення

Виробник

Споживач

Запаси продукту

/>


/>

/>

/>

/>

/>



/>

8

3

3

4

60


40

20






/>

5

2

7

5

20

-1



10

10





/>

5

4

8

2

30




15

15




/>

7

1

5

7

20

-3




5


15



Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

×

/>

8

3

8

2

3

×

×

Транспортні витрати при такому плані перевезення складають:

/>

Перевірка всіх вільних клітин:

/>

Отримали від’ємні значення у всіх клітинах окрім А1В3(5), А1В5(3), А2В1(2), А2В5(2), А3В1(3) і А3В5(3). Максимальне значення max(5;3;2;2;3;3)=5 в клітині А1В3, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці7, результат дій в таблиці8).

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Таблиця8– Третій крок пошуку оптимального рішення

Виробник

Споживач

Запаси продукту

/>


/>

/>

/>

/>

/>



/>

8

3

3

4

60

-


40

10

10





/>

5

2

7

5

20

-1



20






/>

5

4

8

2

30

5




15

15




/>

7

1

5

7

20

2




5


15



Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

×

/>

8

3

3

-3

-2

×

×

Транспортні витрати:

/>

тобто при такому плані перевезення товару транспортні витрати знизилися на 50грн. в порівнянні з попереднім планом перевезення. Але, щоб визначити є отриманий план оптимальним чи ні, виконаємо перевірку.

Перевірку всіх вільних клітин зобразимо в таблиці9, в якій для всіх вільних клітин запишемо різницю між сумою потенціалів і транспортними витратами в клітині.

Таблиця9– Перевірка плану отриманого в результаті третього кроку пошуку оптимального рішення задачі


/>

/>

/>

/>

/>

/>

-

-

-

-7

-2

/>

2

-

-5

-9

-3

/>

8

4

-

-

3

/>

3

4

-

-8

-

З таблиці9 видно, що додатне значення отримали для клітин А2В1(2), А3В1(8), А3В2(4), А3В5(3), А4В1(3) і А4В2(4). Максимальне значення max(2;8;4;3;3;4)=8 в клітині А3В1, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці8, результат дій в таблиці10).

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Таблиця1– Четвертий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

/>


/>

/>

/>

/>

/>



/>

8

3

3

4

60


25

10

25





/>

5

2

7

5

20

-1



20






/>

5

4

8

2

30

-3


15



15




/>

7

1

5

7

20

2




5


15



Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

×

/>

8

3

3

5

-2

×

×

Транспортні витрати:

/>

що на 120грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці11.

Таблиця11– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин


/>

/>

/>

/>

/>

/>

-

-

-

1

-2

/>

2

-

-5

-1

-3

/>

-

-4

-8

-

-5

/>

3

4

-

-

План, зображений в таблиці10 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А1В4 (1), А2В1 (2), А4В1 (3), А4В2 (4). Заповнюємо клітину А4В2 і будуємо опорний план (таблиця12).

Таблиця12– П’ятий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

    продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

5

15



/>

5

2

7

5

20

-2


20







/>

5

4

8

2

30

-2


20



10




/>

7

1

5

7

20

-2



20






Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

×

/>

7

3

3

4

×

×

Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 21:

Таблиця21– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин


/>

/>

/>

/>

/>

/>

-1

-

-

-

-

/>

-

-1

-6

-3

-2

/>

-

-3

-7

-

-2

/>

-2

-

-4

-5

-2

Рішення, зображене в таблиці20 є оптимальним, оскільки для кожної незайнятої клітини сума потенціалів менша вартості перевезень, що знаходиться у відповідній клітинці. Транспортні витрати по оптимальному плану перевезень становлять:

/>

Знайдений оптимальний план покращив результат діяльності у порівнянні з початковим (зменшив транспортні витрати) на 685-380=305гривень.

Список використаних джерел

Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование. Учебное пособие для вузов– М.: Высшая школа, 1976.– 352с.

Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию.– Мн.: Высш. школа, 1978.– 256с.


еще рефераты
Еще работы по математике