Реферат: Элементы комбинаторики

--PAGE_BREAK--Задача 1: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: составим дерево возможных вариантов.

Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4∙3∙2, т.е. 24.

Сформулируем правило умножения: если объект А можно выбрать m

способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить
m
∙п способами.

Например, решите задачу с помощью правила умножения: сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?

По правилу умножения получаем: 4∙4∙4∙4=256 чисел.

Правило умножения можно также проиллюстрировать.

Задача 2: из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение: Пусть из города А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2∙3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2∙3∙2=12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Например: из пункта А в пункт В можно попасть десятью путями, а из пункта В в пункт С – девятью путями. Сколько имеется маршрутов из пункта А в пункт С через пункт В?

Решение: 10∙9=90 маршрутов

Задача 3: В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение: первое блюдо можно выбрать тремя способами, второе – пятью и третье – двумя, отсюда, по правилу умножения получаем 3∙5∙2=30 способами.

5.                 Первичное закрепление знаний

1.                 Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 10 можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Каждую цифру можно использовать в записи только один раз.

2.                 Сколько пятизначных чисел, делящихся на три, можно составить из цифр 3, 4, 6, 7, 9 если каждое число не содержит одинаковых цифр?

3.                 Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «567»?

4.                 Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «45»?

5.                 Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 5, 9, 6, 0, так, чтобы цифры в числе не повторялись?

6.                 Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4?

6. Итог урока



Урок 5. Самостоятельная работа по темам: «Поиск закономерностей», «Дерево возможных вариантов», «Правило произведения»
Цели:

·        проверить знания по темам: «Поиск закономерностей», «Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов», «Правило суммы и правило произведения».

Оборудование: карточки с самостоятельной работой

Ход урока

1.                 Сообщение темы и целей

2.                 Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

1. Сколько чисел, меньших ста, можно составить из цифр 0, 1, 2?

2. У рояля 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 4 звука?

3. Сколько различных танцевальных пар (юноша, девушка) можно составить из пяти юношей и восьми девушек?

4. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных двух цифр? Запишите их. Какова разность между самым большим и самым маленьким числом? Постройте дерево возможных вариантов.

256

(23)

19

62

(__)

781

5. Выявите закономерность и запишите число:

6. На тарелке лежат 10 яблок и 6 апельсинов. Сколькими способами можно выбрать один плод?

7. Из города А в город В ведут три дороги, а из В в С – две дороги. Сколькими способами можно пройти из А в С через В? Покажите чертеж.

8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Ответы и решения

1. 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22. Всего 9 чисел

2. 88∙88∙88∙88=59 969 536 способами

3. 5∙8=40 пар

4. 3∙3∙3=27

Самое большое число: 777

Самое маленькое число: 333

777 – 333 = 444 – разность

5. 24

6. 10+6=16 способами

7. 3∙2=6 способами

8. а) 60 чисел

б) 243 числа

3.                 Итог урока


Урок 6. Размещения
Цели:

·        сформулировать определение размещений с повторениями, размещений без повторений

·        закрепить на решении задач число размещений с повторениями, без повторений;

·        рассмотреть понятие «кортеж», «факториал».

Оборудование: аншлаги с формулами

Ход урока

1.                 Сообщение темы и целей

2.                 Домашнее задание на карточках

1)                Сколько букв русского алфавита можно закодировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака? (<img width=«75» height=«25» src=«ref-1_1527890074-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">)

2)                Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать? (<img width=«107» height=«25» src=«ref-1_1527890253-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">)

3)                В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из них староста и казначей?

4)               В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?


3.                 Повторение

Решить задачу: сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С,D,Eи F?(60)

4. Работа по теме.

— Вспомните, что такое кортеж? Кортеж – это множество, в котором порядок элементов строго определен.

— Мы также часто можем встретить задачи, в которых нужно сосчитать число размещений с повторениями

4.1. Понятие «размещений с повторениями»


Множества, из элементов которых составляются кортежи, могут иметь общие элементы. В частности, все они могут совпадать с одним и тем же множеством, состоящим из п-элементов.

Кортежи длины k
,составленные из элементов п-множества, называют размещениями с повторениями из п элементов по k.

Число размещений с повторениями находится по формуле: <img width=«75» height=«36» src=«ref-1_1527890486-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

Вычислите: <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1527890820-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">; <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1527890932-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

Решение: <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1527890820-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">= 53=125; <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1527890932-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">=35=243.

Понятие «факториал»

Произведение всех чисел от 1 до nназывается факториалом и обозначается n!.. В комбинаторике 0!=1 и 1!=!

Задача. Вычислите: 4!; 6!.

4!=4*3*2*1=24

6!=6*5*4*3*2*1=720

— Запишем в тетрадь таблицу



n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

n!

2

6

24

120

720

5040

40320

362880

3628800

39916800



Правило суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто.

Понятие «размещений без повторений»

Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число размещений без повторений

Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, так что все элементы каждого кортежа должны быть различными, называют размещениями без повторений из п элементов по k, а их число обозначают <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1527891268-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">.

При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений без повторений находится по формуле: <img width=«92» height=«44» src=«ref-1_1527891380-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

–                   Итак, в примере 1 нам нужно было составить двузначные числа из известных 3 цифр. По формуле получаем <img width=«109» height=«44» src=«ref-1_1527891644-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> способов

Задача. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз? Постройте дерево возможных вариантов.

Решение: по формуле получаем: <img width=«240» height=«44» src=«ref-1_1527891928-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> способов

–                   Как вы думаете, как удобнее решать эти задачи: деревом возможных вариантов или по формуле?

5.Закрепление

Задача 1.Для запирания автоматической камеры применяется секретный замок, который открывается лишь тогда, когда набрано «тайное слово». Это слово набирают с помощью пяти дисков, на каждом из которых изображено 12 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающего его наудачу?

Решение. Из условия задачи видно, что порядок выбираемых букв очень важен. Поэтому мы имеем дело с кортежем длиной 5 (пять дисков). Каждый элемент кортежа может быть выбран 12-ю способами (букв на каждом диске 12). Поэтому число комбинаций 125=248 831.

Задача 2.Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?

Решение. Порядок цифр важен, т.к. 2678 или 6278 – это разные числа. Поэтому имеем дело с кортежем длины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать пятью способами (цифр дано пять). Следовательно, число различных комбинаций равно 45=1024.

Задача 3. На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?

Решение. Получаем кортеж длины 4 (столько вопросов в бюллетене), каждый элемент может быть выбран двумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно 24=16

Задача 4. Неудовлетворенные решением Париса Гера, Афина и Афродита обратились к трем мудрецам с просьбой назвать прекраснейшую из них. Каждый из мудрецов высказал свое мнение. Сколько могло возникнуть вариантов ответа на поставленный вопрос у этой тройки? (63=216)

Задача 5. У Лены есть восемь красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если собирается каждую букву раскрашивать одним цветом? (88=16777216)

Задача 6. Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две различные путевки в санаторий?

Решение. <img width=«85» height=«41» src=«ref-1_1527892432-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">

Задача 7.Из 20 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: <img width=«259» height=«44» src=«ref-1_1527892678-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">способами

Задача 8.В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

Решение: <img width=«227» height=«44» src=«ref-1_1527893248-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> способов

Задача 9. В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

Решение: <img width=«101» height=«41» src=«ref-1_1527893719-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">

Задача 10. Из десяти различных книг выбирают четыре для посылки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. <img width=«109» height=«41» src=«ref-1_1527893989-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">

Задача 11. Для запирания сейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова? (125=248 832 удачных попыток, следовательно, неудачных 248 831)

6. Итог урока

Что нового узнали на уроке?

По какой формуле находится число размещений без повторений, с повторениями?
Урок 7. Тест по темам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями»
Цели:

·                   Проверить знания по темам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями» с помощью теста.

Оборудование: карточки с тестом

Ход урока

1. Сообщение темы и целей

2. Тест

1.                 Из 30 студентов класса надо выбрать хозяйку класса, старосту и физорга. Сколькими способами это можно сделать?

А) 24360 б) 2730 в) 6720

2.                 В конкурсе песен «Галерея звезд» участвуют 15 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

А) 24360 б) 2730 в) 6720

3.                 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 8, 7, 1?

А) 243 б) 2730 в) 6720

4.                 Для запирания сейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

А) 248 832 б) 248 831 в) 248 833

5.                 Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

А) 24360 б) 4 096 в) 6720

6.                 Пять разных предметов раздают 8 людям, причем может случиться так, что некоторые получат по несколько предметов. Сколькими способами может быть произведен раздел?

А) 24360 б) 2730 в) 6720

7.                 Сколькими способами из колоды, содержащей 36 карт, можно выбрать по одной карте каждой масти?

А) 24360 б) 2730 в) 1 413 720

8.                 Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Рассмотрите два случая: а) цифры, входящие в одно и тоже число различны; б) среди входящих в одно и тоже число, могут быть одинаковые.

А. а)60 480 б)19 683 в) 672

Б. а)19 683 б) 60 480 в) 6720

Ответы и решения

1. <img width=«199» height=«41» src=«ref-1_1527894276-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> способами

2.                 <img width=«183» height=«41» src=«ref-1_1527894723-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> способами

3.                 <img width=«92» height=«25» src=«ref-1_1527895126-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> чисел

4.                 125=248 832 – удачных попыток, тогда неудачных 248 831.

5.                 46=4 096 чисел

6.                 <img width=«184» height=«41» src=«ref-1_1527895331-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> спсобами

7.                 <img width=«235» height=«41» src=«ref-1_1527895723-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> способами

8.                 а) <img width=«208» height=«41» src=«ref-1_1527896209-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> чисел

9.                 б) 39=19 683 чисел

3. Итог урока
    продолжение
--PAGE_BREAK--Урок 8: Перестановки
Цели:

·                   познакомить учащихся с перестановками без повторений, перестановками с повторениями;

·                   закрепить новые формулы с помощью решения задач.

Оборудование: аншлаги с формулами

Ход урока

1.                 Сообщение темы и целей

2.                 Домашнее задание:

1) Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, на который поставлено 12 приборов?

2) Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение семи дней?

3) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «ингредиент»?

4) Сколькими способами можно посадить за круглый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

4. Работа по теме

4.1. Повторение

Решите задачу: на железнодорожной станции имеется nсемафоров. Сколько может быть дано различных сигналов при помощи этих семафоров, если каждый семафор имеет три состояния: горит либо зеленый, либо желтый, либо зеленый цвет.

Решение: имеем кортеж длины n(дано nсемафоров), каждый элемент которого можно выбрать тремя способами (каждый семафор имеет три состояния). Поэтому различных сигналов можно дать 3n.

— Дайте определение размещений без повторений

— Что такое факториал?

4.2. Понятие «перестановки без повторений»

Два размещения без повторений из nэлементов по n, состоящие из одних и тех же элементов, расположенных в различном порядке называются перестановками без повторений из n

элементов. Их число обозначают Рn.

— Выведем формулу.
<img width=«145» height=«44» src=«ref-1_1527896643-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">
Следовательно, число перестановок без повторений находится по формуле: Рп=n
!

Вычислите: Р3; Р5

Р3=3!=6; Р5=5!=120

4.3. Понятие «перестановки с повторениями»

Пусть дан кортеж длинны п, составленный из элементов множества Х={х1, …, хk}. Причем буква х1 входит в этот кортеж п1 раз, буква хk

= п
kраз. Тогда п=п1 + … +пk
.Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановками с повторениями из букв х1,…, хk, имеющими состав (п1, …, пk).

Число таких перестановок обозначается Р(п1, …, пk
)и находится по формуле:


<img width=«153» height=«45» src=«ref-1_1527896981-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

Упражнение. Вычислите: Р(2, 5, 3); Р(1, 2, 3, 4).

Решение. Р(2, 5, 3); п=2+5+3=10, п1=2, п2=5, п3=3

<img width=«399» height=«41» src=«ref-1_1527897338-815.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">

<img width=«207» height=«41» src=«ref-1_1527898153-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">


5. Закрепление

Задача 1. Найдите число способов расстановки 8 ладьей на шахматной доске, при которых они не бьют друг друга.

Решение. Каждый искомый способ задается перестановкой 8 чисел1,2, … 8. Эти числа указывают номера горизонталей занятых полей на первой, второй, …, восьмых вертикалей. Значит, таких перестановок 8!.. Таким образом, ладьи можно расставить 8!=40 320 способами.

Задача 2.Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4?

Решение. Р4=4!=24.

Задача 3.За столом пять мест. Сколькими способами можно расставить пятерых гостей?

Решение. Р5=5!=120

Задача 4.У Лены есть 8 разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква может быть раскрашена одним цветом и все 8 букв должны быть разные по цвету.

Решение. Присвоим каждой краске номер от 1 до 8. Тогда каждый искомый способ задается перестановкой 8 чисел 1,2, …, 8. Значит, таких перестановок 8!.. Поэтому она может написать «Новый Год» 8!=40 320 способами.

Задача 5. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение. 5!=120

Задача 6. Сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова «математика»?

Решение. Это слово имеет состав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1), поэтому получим Р(2,3,2,1,1,1)=<img width=«161» height=«41» src=«ref-1_1527898605-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">

Задача 7. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней она дает сыну по 1 фрукту. Сколькими способами это может быть сделано.

Решение. Р(2,3)=<img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1527898982-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">

Задача 8. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом конверте было по 7 открыток?

Решение. Пометим конверты цифрами 1,2,3,4, тогда число различных раскладок равно Р(7,7,7,7)= <img width=«39» height=«44» src=«ref-1_1527899196-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">. Вычислять это значение не будем, так как оно очень большое.

Сотрем пометки. Теперь конверты можно произвольно переставлять друг с другом, не меняя результата расклада (теперь они не отличаются друг от друга). Так как число различных перестановок четырех конвертов равно Р4=4!, то число различных раскладов уменьшается в Р4=4! и поэтому оно равно <img width=«56» height=«44» src=«ref-1_1527899386-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">.

Задача 9. Сколькими способами можно усадить за стол трех мальчиков и трех девочек так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?

Решение. 3!∙3!=36 способами

6. Итог урока

— Что такое перестановки без повторений?

— По какой формуле находится число перестановок без повторений?


Урок 9. Сочетания


Цели:

·        познакомить учащихся с сочетаниями без повторений и с повторениями;

·                   закрепить новые формулы с помощью решения задач.

Оборудование: аншлаги с формулами

Ход урока

1. Сообщение темы и целей


2. Домашнее задание на карточках

1) Из 20 учащихся кружка математики четверых необходимо отправить на олимпиаду. Сколькими способами можно составить команду?

Решение: <img width=«159» height=«44» src=«ref-1_1527899613-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

3)     В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двух красных и одной белой розы?
Решение: <img width=«32» height=«32» src=«ref-1_1527900012-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">· <img width=«28» height=«32» src=«ref-1_1527900246-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> = <img width=«47» height=«53» src=«ref-1_1527900466-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"><img width=«39» height=«53» src=«ref-1_1527900845-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> = 100.<img width=«15» height=«28» src=«ref-1_1527901211-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">
3) Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 5, 6, 7, 8, 9? Сколько из них равносторонних, равнобедренных и разносторонних?

4.Повторение


1) Назовите формулу размещений без повторений, размещений с повторениями, перестановок без повторений и перестановок с повторениями;

2) Назовите правила произведения и суммы.

5. Работа по новой теме

5.1. Понятие «сочетаний без повторений»

Задача: рассмотрим все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три розы из данных пяти роз разного цвета, например: белая, красная, черная, желтая и чайная.

Введем определение:

Сочетаниями без повторений из nэлементов по тэлементов называются соединения, каждое из которых состоит из mэлементов, взятых из данных nэлементов.

Число сочетаний из п элементов по mобозначают <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1527901284-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> и читают «С из nпо m».

Два сочетания из п элементов по т отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.

Число сочетаний без повторений равно: <img width=«101» height=«44» src=«ref-1_1527901396-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">

Понятие «сочетаний с повторениями»

— Число сочетаний с повторениями из nэлементов по mвыражается через число сочетаний без повторений.

— Назовите формулу числа сочетаний без повторений.

Найдем число сочетаний с повторениями из четырех элементов А, Б, В, Г по три элемента:



ААА

АБВ

БББ

ГГГ

ААБ

АБГ

ББВ

ВВВ

ААВ

АВВ

ББГ

ВВГ

ААГ

АВГ

БВВ

ВГГ

АББ

АБГ

БВГ

ГГГ


Число сочетаний с повторениями обозначается символом <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1527901685-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">. В данном случае мы получили <img width=«55» height=«25» src=«ref-1_1527901799-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">, тогда как число сочетаний без повторений из четырех элементов по 3 есть <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_1527901956-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">.

Формула числа сочетаний из mэлементов по nэлементов с повторениями имеет вид:
<img width=«187» height=«50» src=«ref-1_1527902100-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">
Решим предыдущую задачу с помощью этой формулы.
<img width=«140» height=«25» src=«ref-1_1527902677-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">
Сочетание с повторениями из mэлементов по nэлементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до nвключительно, либо совсем не содержать его. Во всех случаях два соединения не считаются различными сочетаниями, если они отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.

6. Первичное закрепление

Давайте сначала выясним, чем отличаются размещения от сочетаний? В сочетаниях порядок элементов не важен, а размещениях – важен!

Задача 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Следовательно, по формуле получаем <img width=«276» height=«44» src=«ref-1_1527902947-614.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

Задача 2. В магазине «Филателия» продается 8 различных марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: <img width=«175» height=«44» src=«ref-1_1527903561-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

Задача 3. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :

а) словарь нужен ему обязательно;

б) словарь ему не нужен?

Решение:
а) <img width=«139» height=«44» src=«ref-1_1527903981-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

б) <img width=«143» height=«44» src=«ref-1_1527904325-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">
Задача 4. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: <img width=«275» height=«44» src=«ref-1_1527904683-609.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">

Задача 5. На тренировках занимаются 10 баскетболистов. Сколько различных стартовых пятерок может образовать тренер?

Решение. <img width=«112» height=«41» src=«ref-1_1527905292-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

Задача 6. Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеется четыре сорта пирожных?

Решение. <img width=«401» height=«44» src=«ref-1_1527905586-852.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> наборов

Задача 7. Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения: 8, 10, 12 и 14 см? Сколько среди них равносторонних, равнобедренных, разносторонних?

Решение: число различных треугольников равно числу сочетаний с повторениями из четырех элементов по три: <img width=«140» height=«25» src=«ref-1_1527902677-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">.

Из них количество разносторонних треугольников равно числу сочетаний без повторений их четырех элементов по три, т.е.<img width=«121» height=«44» src=«ref-1_1527906708-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">. Количество равносторонних треугольников – 4, а равнобедренных треугольников: 20 – 4 – 4=12.

Задача 8. Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых игральных костей?

Решение. <img width=«247» height=«41» src=«ref-1_1527907018-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">

Задача 9. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? 8 различных открыток?

Решение. <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_1527907537-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">293 930 способами.
<img width=«175» height=«25» src=«ref-1_1527907732-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">

<img width=«104» height=«41» src=«ref-1_1527908075-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">
6. Итог урока

— Что нового вы сегодня узнали на уроке?

— Чем отличаются сочетания от размещений? (сочетания – порядок не важен, размещения – порядок важен!)



Урок 10. Урок-практикум. Подготовка к контрольной работе
Цели:

·                   подготовить учащихся к контрольной работе с помощью решения задач и повторения некоторых теоретических вопросов;

Оборудование: карточки с задачами.

Ход урока

1.                 Сообщение темы и целей

Сегодня на уроке мы будем готовиться к контрольной работе: решать задачи и повторять теорию

2.                 Домашнее задание

Подготовиться к контрольной работе

3.                 Практикум

Теоретические вопросы

Заполнить пропуски:

1.                 Если некоторый объект А можно выбрать mспособами, а другой объект В можно выбрать nспособами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить … способами. (m+n)

2.                 Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, называют размещениями … из п элементов по k. (с повторениями)

3.                 Два … из п элементов по т отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (сочетания)

Решение задач

Решить задачи:

1.                 «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», колбасы, хлеба и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»: если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать?

2.                 Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?

3.                 Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12?

4.                 В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

5.                 Из 12 солдат нужно в разведку послать 5. Сколькими способами это можно сделать?

6.                 Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из этого списка 6 книг?

7.                 Назовем симпатичными числа, в записи которых используют только нечетные числа. Сколько существует четырехзначных симпатичных чисел?

8.                 Сколько пятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5?

9.                 «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут распределить четыре имеющихся у них инструмента?

10.            «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». На складе 12 музыкальных инструментов. Мишке поручили принести со склада 8 любых инструментов. Сколько вариантов выбора есть у мишки?

11.            Гера, Афина и Афродита попросили Париса не только назвать самую красивую из них, но и указать, кто «на втором и третьем местах». Сколько есть вариантов ответа?

12.            Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

13.            В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных «Дню Победы». Сколькими способами можно сформировать из них 3 набора?

14.            Сколько существует способов составить расписание уроков на один день из 6 предметов?

15.            Алфавит племени тумба-юмба состоит из букв А, У, С. Словом является любая последовательность из 4 букв. Сколько слов в языке этого племени?

16.            Сколькими способами можно выложить в ряд красный, зеленый, черный, синий кубики?

17.            Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите число всех возможных вариантов выбора.

18.            В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих: первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую. Сколькими способами это можно сделать?
    продолжение
--PAGE_BREAK--