Реферат: Волновые уравнения

Вывод уравнения колебания вэлектрических проводах.

Электрический ток в проводах характеризуетсявеличиной <img src="/cache/referats/16632/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> и напряжением <img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> которые зависят откоординат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать,что падение напряжения на элементе ∆Х равно

<img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/16632/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/16632/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> и индуктивного,равного <img src="/cache/referats/16632/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> Итак

<img src="/cache/referats/16632/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

где Rи L –сопротивление икоэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минусвзят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х,получим уравнение

<img src="/cache/referats/16632/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х завремя ∆t, будет

<img src="/cache/referats/16632/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Она расходуется на зарядку элемента, равную <img src="/cache/referats/16632/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> и на утечку черезбоковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную <img src="/cache/referats/16632/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения

<img src="/cache/referats/16632/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Сократим на <img src="/cache/referats/16632/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

<img src="/cache/referats/16632/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфнымиуравнениями. Составим систему уравнений

<img src="/cache/referats/16632/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

Из этой системы уравнений можно получить уравнение,содержащее только искомую функцию<img src="/cache/referats/16632/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1040"><img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по tи умножим их на С.

<img src="/cache/referats/16632/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

<img src="/cache/referats/16632/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Аналогичным образом получим уравнение для определения <img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

<img src="/cache/referats/16632/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

<img src="/cache/referats/16632/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) исопротивлением (R=0),то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:

<img src="/cache/referats/16632/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

Исходя из физических условий формулируются граничные иначальные условия задачи.

Навоийский Государственный горный институт

Горный факультет

Кафедра «Высшей математики»

Волновые уравнения

Подготовил: студент 2-го курсагруппы 20-02 ГД

Дерюга А.М.

Навоий 2004 г.