Реферат: Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

Исследовательская работа

по математике

Тема:

Алгебраическоеи графическое решение уравнений,

содержащих модули

ученика10 класса

Палдиской Русской гимназии

Гаврилова Александра

учитель: Сокольская Т.Н.

Палдиски 2003 год.

Содержание:

1.Введение………………………………………………………….4

2.Понятия иопределения………………………………………….4

3.Доказательство теорем…………………………………………..5

4.Способы решение уравнений,содержащих модуль…………...6

4.1.Решение при помощизависимостей между числами aи b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использованиегеометрической интерпритации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейшихфункций, содержащих знак абсолютной величины.

………………………………………………………………………15

4.4.Решение нестандартныхуравнения, содержащие модуль….16

5.Заключение……………………………………………………….22

6.Список использованнойлитературы……………………………23

Цельработы:хотя уравнения с модулями ученикиначинают изучать уже с 6-го – 7-го класса, где они проходят самые азы уравненийс модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует болееглубокого и досканального исследования. Я хочу получить более широкие знания омодуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютнойвеличины.

1.Введение:

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним),которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и вархитектуре, физике, технике, програмировании и других точных науках.

В архитектуре-этоисходная еденица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая длявыражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике-этотермин, применяемый в различных облостях техники, не имеющий универсальногозначения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, напримермодуль зацепления, модуль упругости и.т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале котносительному удлинению.

2.Понятия и определения

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомитьсяс простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-эторавенство, сродержащее переменные.

Уравнение с модулем-это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютнойвеличины(под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но вмоей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль-абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3. Доказательствотеорем

Определение. Модуль числа aили абсолютная величина числа aравна a, если aбольше или равно нулю и равна -a, если aменьше нуля:

Из определения следует, что длялюбого действительного числа a, <img src="/cache/referats/15612/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Теорема1. Абсолютная величина действительного числа <img src="/cache/referats/15612/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> равна большему из двух чисел aили -a.

Доказательство

1. Если число aположительно, то -aотрицательно, т. е. -a< 0 < a. Отсюдаследует, что -a< a.

Например, число 5 положительно, тогда-5 — отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел aи — a.

2. Если aотрицательно, тогда -aположительно и a< — a, т. е. большимчислом является -a. По определению, в этом случае,|a| = -a — снова,равно большему из двух чисел -aи a.

Следствие1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как <img src="/cache/referats/15612/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">, так и<img src="/cache/referats/15612/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> равны большему из чисел -aи a, а значитравны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа aсправедливы неравенства <img src="/cache/referats/15612/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

Умножая второе равенство <img src="/cache/referats/15612/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> на -1 (при этом знак неравенства изменится напротивоположный), мы получим следующие неравенства: <img src="/cache/referats/15612/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> справедливыедля любого действительного числа a. Объединяяпоследние два неравенства в одно, получаем: <img src="/cache/referats/15612/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Теорема2. Абсолютная величина любого действительного числа aравна арифметическому квадратному корню из <img src="/cache/referats/15612/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> <img src="/cache/referats/15612/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

В самом деле, если <img src="/cache/referats/15612/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> то, по определению модуля числа, будем иметь <img src="/cache/referats/15612/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> С другой стороны, при <img src="/cache/referats/15612/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> <img src="/cache/referats/15612/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> значит |a| = <img src="/cache/referats/15612/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

Если a< 0, тогда |a| = -aи <img src="/cache/referats/15612/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> и в этом случае|a| = <img src="/cache/referats/15612/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

Эта теорема дает возможность прирешении некоторых задач заменять |a| на <img src="/cache/referats/15612/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки,изображающей число a, до начала отсчета.

Если <img src="/cache/referats/15612/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> то накоординатной прямой существует две точки aи -a,равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a= 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

Рис

4.Способы решения уравнений,содержащих модуль.

Для решения уравнений, содержащихзнак абсолютной величины, мы будем основыватся на определении модуля числа исвойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем жеспособом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений,содержащих модуль.

Пример 1. Решитм аналитически и графически уравнение |x — 2| = 3.

Решение

Аналитическое решение

1-й способ

Рассуждать будем, исходя изопределения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т.е. x — 2 <img src="/cache/referats/15612/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> 0, тогда оно «выйдет»из под знака модуля со знаком «плюс»и уравнение примет вид: x — 2 = 3. Еслизначения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, онобудет равно: <img src="/cache/referats/15612/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> или x — 2=-3

Таким образом, получаем, либо x — 2 = 3, либо x — 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим: <img src="/cache/referats/15612/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

Ответ: <img src="/cache/referats/15612/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительномуположительномучислуa, тогда выражение под модулем равно либо a, либо <img src="/cache/referats/15612/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1050">.

Графическое решение

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль являетсяграфический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построитьграфики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересеченийданных графиков будут являтся корнями нашего уравнения. В случае, если графикине пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этотспособ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащихмодуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегдарационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построениии графиков, невсегда я вляются точными.

Другой способрешения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой напромежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что поопределению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будетснять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данноеуравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют онинашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадутокончательный ответ.

2-й способ

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: <img src="/cache/referats/15612/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

Получим двапромежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):

Рис.9

Получим две смешанных системы:

(1) <img src="/cache/referats/15612/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> (2) <img src="/cache/referats/15612/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

Решим каждую систему:

(1) <img src="/cache/referats/15612/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> (удовлетворяет данному промежутку)

(2) <img src="/cache/referats/15612/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

Ответ: <img src="/cache/referats/15612/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1057">

Графическое решение

Для решения уравнения графическимспособом, надо построить графики функций <img src="/cache/referats/15612/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> и <img src="/cache/referats/15612/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

Для построения графика функции <img src="/cache/referats/15612/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1060">,построим график функции <img src="/cache/referats/15612/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> — это прямая, пересекающая ось OX в точке (2;0), а ось OY в точке <img src="/cache/referats/15612/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> а затем часть прямой, лежащую ниже оси OXзеркально отразить в оси OX.

Графиком функции <img src="/cache/referats/15612/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> является прямая, параллельная оси OXи проходящая через точку (0; 3) на оси OY(см. рис. 10).

Рис.10

Абсциссы точек пересечения графиковфункций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x– 2| в точкахс координатами (-1; 3) и (5; 3),следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:

x=-1,x=5

Ответ: <img src="/cache/referats/15612/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

Пример 2. Решитм аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

Решение:

Аналитическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

|x|=0.5-1

|x|=-0.5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеетрешений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Графическое решение

Преобразуем уравнение:: 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Графиком функции <img src="/cache/referats/15612/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> являются лучи — биссектрисы 1-го и 2-гокоординатных углов. Графиком функции <img src="/cache/referats/15612/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> является прямая, параллельная оси OXи проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Рис.11

Графики не пересекаются, значитуравнение не имеет решений (см. рис. 11).

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x+ 2| = 2x+ 1.

Решение:

Аналитическое решение

1-й способ

Прежде следует установить область допустимыхзначений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущихпримерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере влевой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, авыражение с переменной, — именно это важное обстоятельство отличает данныйпример от предыдущих.

Поскольку в левой части — модуль, а вправой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобыэто выражение было неотрицательным, т. е. <img src="/cache/referats/15612/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> Таким образом, область допустимых

значений модуля <img src="/cache/referats/15612/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

Теперь можно рассуждать также, как ив примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число.Получим две смешанных системы:

(1) <img src="/cache/referats/15612/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> и (2) <img src="/cache/referats/15612/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

Решим каждую систему:

(1) <img src="/cache/referats/15612/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> входит в промежуток <img src="/cache/referats/15612/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> и является корнем уравнения.

(2) <img src="/cache/referats/15612/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> x=-3 не входит в промежуток <img src="/cache/referats/15612/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> и не является корнем уравнения.

Ответ: <img src="/cache/referats/15612/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

2-й способ

Установим, при каких значениях x модуль в левойчасти уравнения обращается в нуль: <img src="/cache/referats/15612/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1079">

Получим два промежутка, на каждом изкоторых решим данное уравнение (см. рис. 12):

Рис.12

В результате будем иметь совокупностьсмешанных систем:

Решая полученные системы, находим:

(1) <img src="/cache/referats/15612/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> <img src="/cache/referats/15612/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> входит в промежуток и SHAPE * MERGEFORMAT

<img src="/cache/referats/15612/image101.gif" v:shapes="_x0000_s1028 _x0000_s1027 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033"> является корнемуравнения.

(2) <img src="/cache/referats/15612/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> не входит впромежуток и x=-3 не является корнем уравнения

Ответ:<img src="/cache/referats/15612/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1085">

4.1.Решениепри помощи зависимостей между числамиaи b, их модулями иквадратами этих чисел.

Помимо приведенных мною выше способов существуетопределенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а такжемежду квадратами и модулями данных чисел:

|a|=|b| Ûa=b илиa=-b

a2=b2 Ûa=bили a=-b (1)

Отсюда в свою очередь получим, что

|a|=|b| Ûa2=b2

(2)

Пример 4.Решим уравнение |x+ 1|=|2x– 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x+ 1=2x– 5 или x+ 1=-2x+ 5

x– 2x=-5 – 1 x+ 2x=5 – 1

-x=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3

Таким образом корни исходногоуравнения x1=6, x2=11/3

2. В силу соотношения (2), получим

(x + 1)2=(2x– 5)2, или x2 + 2x+ 1=4x2 – 20x + 25

x2 – 4x2+2x+1 + 20x – 25=0

-3x2+ 22x – 24=0|(:-1)

3x2– 22x + 24=0

D/4=121-3 ´24=121 – 72=49>0 Þуравнение имеет2 различных корня.

x1=(11 – 7 )/3=11/3

x2=(11 + 7 )/3=6

Какпоказывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x1=6, x2=11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x+ 3)2=(x– 1)2.

Учитываясоотношение (2), получим, что |2x+ 3|=|x– 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и посоотношению (1)):

2х+ 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1

2х– х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3

х=-4 х=-0,(6)

Такимобразом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

Ответ: х1=-4, х2=0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x– 6|=|x2– 5x+ 9|

Пользуясьсоотношением (1), получим:

х– 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

-х2+ 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x– 6=-x2+ 5x — 9

x2 — 6x+ 15=0 x2– 4x+ 3=0

D=36 – 4 *15=36 – 60= -24 <0Þ D=16 – 4 *3=4 >0Þ2 р.к.

Þкорней нет.

x1=(4-2 ) /2=1

x2=(4 + 2 ) /2=3

Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 *1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 *3 + 9|

5 = 5(И) 3 = |9 –15 + 9|

3 = 3(И)

Ответ: x1=1; x2=3

4.2.Использование геометрической интерпритациимодуля для решения уравнений.

Геометрический смысл модуля разности величин-эторасстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x– a| -длинаотрезка координатной оси, соединяющей точки с абсцисами а и х. Переводалгеб-раической задачи на геометрический язык часто позволяет избежатьгромоздких решений.

Пример7. Решим уравнение |x–1| + |x– 2|=1 с использованиемгеометрической интерпритации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя изгеометрической интерпри-тации модуля, левая часть уравнения представляет собойсумму расстояний от некторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек сабсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2]обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет.Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Ответ:хÎ[1; 2]

Пример8. Решим уравнение |x– 1| — |x–2|=1 1 с использованием геометрической интерпритации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру,при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единицетолько для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.Следовательно решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенныймежду точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный вположительном направлении оси ОХ.

Ответ: х Î[2; +¥)

Обобщением вышеприведенных уравнений являютсяследующие равносильные переходы:

|x – a| + |x –b|=b – a, гдеb ³a Û a £x £b

|x – a| — |x – b|=b – a, гдеb ³a Û x ³b

4.3. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютнойвеличины

Под простейшимифункциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений.Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, нераскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно много ):«Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляетсобой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам,n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1)f(x)=|x — 1|Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двухотрезков(рис.1)

2) f(x)=|x — 1|+ |x– 2| Вычисляя значение функиции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3,получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)

3) f(x)=|x — 1|+ |x– 2| + |x– 3| Для построения графика вычислим значенияфункции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)

4) f(x)=|x — 1|- |x– 2| График разности строится аналогично графику суммы, тоесть по точкам1, 2, 0 и 3.

рис1. рис2. рис3. рис4.

4.4.Решение нестандартных уравнений, содержащихмодули.

Пример9. Решить уравнение 3| x+ 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

Решение.

Рассмотримдва случая.

Ответ:(

– 4;– 1).

Пример10. Решить уравнение | 4– x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Решение.

Учи

тывая, что | 4 –x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

2)

3)

4

) <img src="/cache/referats/15612/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

4) <img src="/cache/referats/15612/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

Ответ:3.

Графический способ.

Построимграфики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 |

1)вГy = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,

тоестьпересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, тоесть графикпересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3- мы получилипервый график.

2)y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простоеуравнение: 1-|x-4|=0

|x-4|=1

x — 4=1 или x — 4=-1

x=5 x=3

Следовательноданный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

Прих=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке3

Ответ:3

Пример11.

Решить уравнение | x2 + 3x | =2(x + 1).

Решение.

Уравнениеравносильно системе

Ответ:<img src="/cache/referats/15612/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

Пример12.

Решить уравнение х2 — 4х +|x — 3| +3=0

Дляосвобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на двеобласти и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областейотдельно:

__________

x ³3__________________|____________x<3_________________

|

x – 3|=x<span Times New Roman",«seri

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Обработка результатов эксперимента

29 Августа 2013

Реферат по математике

Пирамида и призма

20 Июня 2015