Реферат: Комплексные числа

Брянский городской лицей № 1

Учебно-исследовательскаяработа

по математике на тему:

“Комплексные числа”

Выполнил

ученик 10 физико-

математического класса

Петрухин Вячеслав

Учитель: Тюкачева О.И.

Брянск, 2003

<span Times New Roman",«serif»; font-style:normal">Оглавление

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">1.Комплексные числа 3

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">2.Свойства операцийнад комплексными числами 3

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">3. Комплекснаяплоскость 3

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">4. Модуль комплексногочисла 4

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">5. Геометрическийсмысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел 5

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">6. Аргументыкомплексного числа 5

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">7.Алгебраическая итригонометрическая формы. комплексного числа 6

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">8. Умножение и делениекомплексных чисел в тригонометрической форме 8

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">9. Возведение встепень и извлечение корня 8

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">10.Квадратныеуравнения 10

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">11.Использованнаялитература 14

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">В элементарнойматематике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникаеттак называемый натуральный ряд чисел 1, 2,…

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;font-style:normal">n<span Times New Roman",«serif»;font-style: normal">,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральнымичислами. Что де касается операций вычитания и деления, то они уже оказываютсяне всегда возможными во множестве натуральных чисел.

<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">Та же потребностьизмерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решениеалгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запасарассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.

1.Комплексные числа

Комплексными числами называютсявыражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которыхвводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:

а) два комплексных числа a + ib и c + idравны тогда и только тогда, когда

a=c и b=d;

б) суммой чисел a + ib и c + id называется число

a + c + i(b +d);

в) произведением чисел a + ib и c + idназывается число

ac – bd +i(ad+bc).

Комплексные числа принятообозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w).Равенство z= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.

Действительное число a называется действительнойчастью комплексного числа z= a + ib и обозначается Rez; пишут Re z =a или Rez=a или Re(a + ib) = a. Число bназывается мнимой частью числа z=a +ib и обозначается Imz, пишут Imz = b или Im(a +ib) = b. Символ I называется мнимой единицей.

Заметим, что операции сложения иумножения над числами a+i0 проводятся так же,как над действительными числами.

Таким образом, отождествив число a + i0 с действительным числом a, получим, что каждоедействительное число содержится во множестве комплексных чисел, а именно a =a+i0.

Числа вида 0 +ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib.

На основании формулы (2) найдём значениевыражения i2=ii:

i2 = ii =(0+i1)(0+i1)=-1+i0=-1.

Таким образом,

i2=-1.

2.Свойства операций над комплекснымичислами.

1.<span Times New Roman"">

Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1.

2.<span Times New Roman"">

Ассоциативность сложения (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3)

3.<span Times New Roman"">

z+0=z.

4.<span Times New Roman"">

Коммутативность умножения: z1 z2= z2 z1.

5.<span Times New Roman"">

Ассоциативность умножения: z3( z1 z2)=z1( z2 z3).

6.<span Times New Roman"">

Дистрибутивный закон: z1( z2 + z3)=z1 z2 + z1 z3.

7.<span Times New Roman"">

1*z=z.

8.<span Times New Roman"">

z1 и z2, где z1<img src="/cache/referats/14382/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">, существует такое число z

такое, что z1z = z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается <img src="/cache/referats/14382/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> .Деление на 0невозможно.

M(a;b)

z = a +ib

3. Комплекснаяплоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат наплоскости. Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствиеточку M(a,b) координатной плоскости, т.е. точку,абсцисса которой равна Rez = a, а ордината равна Imz = b. Обратно, каждой точке плоскости скоординатами (a,b) поставим в соответствиекомплексное число z = a + ib.Сама координатная плоскость называетсяпри этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительнойосью, а ось ординат – мнимой.

Не менее важной и удобной являетсяинтерпретация комплексного числа a + ibкак вектор <img src="/cache/referats/14382/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1027">.

4. Модуль комплексногочисла. Модулем комплексного

числа z = a+ibназывается длина вектора, соответствующего

этому числу. Модуль обозначается <img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> или буквой r. Применяя

теорему Пифагора, получим, что <img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> =<img src="/cache/referats/14382/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1030">.

Пусть z = a +ib. Число a – ibназываетсякомплексно сопряжённым с числом z = a+ibи обозначается <img src="/cache/referats/14382/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><img src="/cache/referats/14382/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> = a – ib. Заметим, что <img src="/cache/referats/14382/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1033">= <img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1034">=<img src="/cache/referats/14382/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1035">, z<img src="/cache/referats/14382/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1036">2 + b2=<img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1037">2=<img src="/cache/referats/14382/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1038">2,

Пример 1. Запишите z в алгебраической форме,если

а) <img src="/cache/referats/14382/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

б) <img src="/cache/referats/14382/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Пример 2. Запишитерешения системы

а) <img src="/cache/referats/14382/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> б)<img src="/cache/referats/14382/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

в алгебраической форме.

Решение:

а)

б)

Пример 3.Существуютли такие действительные числа x и y, для которых числа z1 и z2 являются сопряжёнными

а) z1=8x2 – 20i15,z2=9x2 – 4+ 10yi3;

б)z1=4x + y+(1+I)y, z2=8 +ix.

Решение:

а) z1=8x2 – 20i15=8x2+ 20i; z2=9x2 – 4+ 10yi3=9x2 — 4 — 10yi;

Используя определение сопряжённыхкомплексных чисел, получим систему:

<img src="/cache/referats/14382/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1054"><img src="/cache/referats/14382/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/14382/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1056">откуда такие сопряжённые числа существуют.

б)z1=4x + y + (1+i)y = 4x +2y+yi;

z2=8+ix.

Используя определение сопряжённыхкомплексных чисел, получим систему:

<img src="/cache/referats/14382/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/14382/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1058"><img src="/cache/referats/14382/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> откуда такиесопряжённые числа существуют.

5. Геометрический смыслсложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.

<img src="/cache/referats/14382/image063.gif" v:shapes="_x0000_s1051">z1=a1 + ib1 и z2=a2 + ib2.Им соответствуют векторыс координатами (a1,b1) и (a2,b2). Тогда числу z1+z2=a1 + a2 + i(b1 + b2) будет соответствоватьвектор с координатами (a1+ a2,b1+b2).Таким образом,чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 и z2, надо сложить векторы,отвечающие комплексным числам z1и z2.

z2-z1

-z1

<img src="/cache/referats/14382/image066.gif" v:shapes="_x0000_s1054"><img src="/cache/referats/14382/image067.gif" v:shapes="_x0000_s1052"><img src="/cache/referats/14382/image068.gif" v:shapes="_x0000_s1050"><img src="/cache/referats/14382/image069.gif" v:shapes="_x0000_s1046">z1 — z2 комплексных чисел z1 и z2 соответствуетразность векторов, Соответствующих числам z1 и z2.Модуль<img src="/cache/referats/14382/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> двух комплексных чиселz1 и z2 по определениюмодуля есть длина вектора z1 — z2.Построимвектор, как сумму двух векторов z2и (- z1).Получим вектор <img src="/cache/referats/14382/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1061">, равный вектору <img src="/cache/referats/14382/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1062">.Следовательно, <img src="/cache/referats/14382/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> есть длина вектора <img src="/cache/referats/14382/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1064">, то есть модуль разности двух комплексных чисел естьрасстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этимчислам.

z=a+ ib

<img src="/cache/referats/14382/image074.gif" v:shapes="_x0000_s1075"><img src="/cache/referats/14382/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1074"><img src="/cache/referats/14382/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1073"><img src="/cache/referats/14382/image075.gif" v:shapes="_x0000_s1070">6. Аргументы комплексного числа.Аргументом комплексного числа z= a + ib<img src="/cache/referats/14382/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1065">z;величина угла считается положительной если отсчет производится против часовойстрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.

Дляобозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib,пишут j=argz или j=arg (a+ib).

j-2p

z=0аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных спонятием аргумента будем считать, что<img src="/cache/referats/14382/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1066">z=0– единственное число, которое определяется заданием только его модуля<img src="/cache/referats/14382/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><img src="/cache/referats/14382/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1068">

С другойстороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегдаопределён единственным образом в отличие от аргумента, который всегдаопределяется неоднозначно: если j — некоторый аргумент числа z, то углы j+2pk, <img src="/cache/referats/14382/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1069">z.

Изопределения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib), тоимеет место следующая система

Пример 4. Сколькорешений имеет система уравнений

а)<img src="/cache/referats/14382/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> б)<img src="/cache/referats/14382/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> в)<img src="/cache/referats/14382/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1074">

Решение:

найдём модуль1-i: <img src="/cache/referats/14382/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1075">.

Заметим, что никакая точка большейокружности не

приближена к меньшей нарасстояние, равное <img src="/cache/referats/14382/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

<img src="/cache/referats/14382/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1127">i только одной точки меньшейокружности мы получаем что эта точка попадает на

другуюокружность.

корень

корни

7.Алгебраическая итригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим другие формы записикомплексных чисел. Пусть r — модуль, а j — какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, тоесть r = <img src="/cache/referats/14382/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1077">j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что <img src="/cache/referats/14382/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1078">

Запись комплексного числа в виде <img src="/cache/referats/14382/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1080">тригонометрической формой.

Для того чтобы перейти оталгебраической формы комплексного числа a+ib ктригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 5. Какоемножество точек комплексной плоскости задаётся условием

а) <img src="/cache/referats/14382/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1081">

б)<img src="/cache/referats/14382/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

в)<img src="/cache/referats/14382/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1083">

а)

д)<img src="/cache/referats/14382/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><img src="/cache/referats/14382/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1086">

б)

<img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1200"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1216"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1215"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1214"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1213"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1212"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1211"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1210"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1209"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1208"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1207"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1206"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1205"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1204"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1203"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1202"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1201"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1199"><img src="/cache/referats/14382/image145.gif" v:shapes="_x0000_s1196">i и вправо на 1 поучались быравноудалёнными от начала координат, откуда

чтобы построить множествоточек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:

1)<span Times New Roman"">

2)<span Times New Roman"">

влево и на iвверх

в)

<img src="/cache/referats/14382/image146.gif" v:shapes="_x0000_s1218"><img src="/cache/referats/14382/image145.gif" v:shapes="_x0000_s1197"> -iчемк 2i, аэти точки указаны на рисунке.

ip/3

p/3

г)

д)

<img src="/cache/referats/14382/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> это будутточки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число0. Учитывая второе и третье условие, получим:

е)

е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первомуусловию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,

на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия,получим

искомое множество точек.

Пример6. Будет ли тригонометрической формой числа <img src="/cache/referats/14382/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

а)<img src="/cache/referats/14382/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

б) <img src="/cache/referats/14382/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

в) <img src="/cache/referats/14382/image177.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

Решение:

Тригонометрической формой записичисла <img src="/cache/referats/14382/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> только будет выражениеа), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формызаписи числа(<img src="/cache/referats/14382/image179.gif" v:shapes="_x0000_i1097"><img src="/cache/referats/14382/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1098">

8. Умножение и делениекомплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть

Тогда

<img src="/cache/referats/14382/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1101">модуль и произведение двух комплексныхчисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителейявляется аргументом произведения.

Пусть<img src="/cache/referats/14382/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1102">

Таким образом, модуль частногодвух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разностьаргументов делимого и делителя является аргументом частого.

9. Возведение в степень иизвлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чиселможет быть обобщена на случай <img src="/cache/referats/14382/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1105"><img src="/cache/referats/14382/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1106"><img src="/cache/referats/14382/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1107">

Отсюда, как частный случай,получается формула, дающая правило возведение комплексного числа <img src="/cache/referats/14382/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> в целую положительнуюстепень:

<img src="/cache/referats/14382/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> (8)

Таким образом, при возведениикомплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится встепень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (8) называетсяформулой Муавра.

Число <img src="/cache/referats/14382/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1111"><img src="/cache/referats/14382/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1112"><img src="/cache/referats/14382/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> из числа w (обозначается<img src="/cache/referats/14382/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1114"><img src="/cache/referats/14382/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1115">

Если w=0, то при любомn уравнение <img src="/cache/referats/14382/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1116">z=0.

Пусть теперь <img src="/cache/referats/14382/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1117">zи w втригонометрической форме:

Тогда уравнение <img src="/cache/referats/14382/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1120"> примет вид

Два комплексных числа равны тогдаи только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное2p.Следовательно,

или

Таким образом, все решенияуравнения <img src="/cache/referats/14382/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1124">

В самом деле, придавая числу kвформуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем другихкомплексных чисел.

Формула (9) называется второй формулой Муавра.

Таким образом, если <img src="/cache/referats/14382/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1126">n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле(9).

В частности, если <img src="/cache/referats/14382/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> уравнение <img src="/cache/referats/14382/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> имеет два корня:

то есть эти корни симметричныотносительно начала координат.

Также из формулы (9) нетруднополучить, что если<img src="/cache/referats/14382/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1130"><img src="/cache/referats/14382/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1131">n-угольника, вписанного в окружностьс центром в точке z=0и радиусом <img src="/cache/referats/14382/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1132">

Из сказанного выше следует, чтосимвол <img src="/cache/referats/14382/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1133"><img src="/cache/referats/14382/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1134">iи-i, или одно, и, если одно, то какоеименно.

Пример 7. Запишите втригонометрической форме:

а) <img src="/cache/referats/14382/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1135">

б)<img src="/cache/referats/14382/image245.gif" v:shapes="_x0000_i1136">

в)<img src="/cache/referats/14382/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1137">

Решение:

а) <img src="/cache/referats/14382/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1138">

б) Так как <img src="/cache/referats/14382/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1140"><img src="/cache/referats/14382/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1141"><img src="/cache/referats/14382/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1142">

Так как <img src="/cache/referats/14382/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1143"><img src="/cache/referats/14382/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1144"><img src="/cache/referats/14382/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1145">

в) Так как <img src="/cache/referats/14382/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><img src="/cache/referats/14382/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><img src="/cache/referats/14382/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1149">

10.Квадратные уравнения.В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения

<img src="/cache/referats/14382/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> (10)

с действительными коэффициентамиa, b, c. Там было показано, чтоесли дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнениядаются формулой

<img src="/cache/referats/14382/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1152"><img src="/cache/referats/14382/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1153"> (11)

В случае, если <img src="/cache/referats/14382/image281.gif" v:shapes="_x0000_i1154">

Для вывода формулы (11)использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложениемлевой части на линейные множители:

откуда и получалась формула(11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае,когда a, b, cявляютсякомплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексныхчисел.

Таким образом, во множествекомплексных чисел уравнение

всегда разрешимо. Если <img src="/cache/referats/14382/image287.gif" v:shapes="_x0000_i1158"><img src="/cache/referats/14382/image289.gif" v:shapes="_x0000_i1159">

где под<img src="/cache/referats/14382/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1161"> подразумеваются всезначения корня.

Пример 8. Решитьуравнение

а) <img src="/cache/referats/14382/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1162">

б) <img src="/cache/referats/14382/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1163">

Решение:

а) Данное уравнение являетсяквадратным.

По формуле корней квадратногоуравнения имеем:

Для определения всех значений <img src="/cache/referats/14382/image301.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> положим

Тогда

и, следовательно, x и y</spa

еще рефераты

Еще работы по математике