Реферат: Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
Равномерная непрерывностьОпределение 28.7:Функция <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1025">равномернонепрерывной на множестве <img src="/cache/referats/13531/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><img src="/cache/referats/13531/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/13531/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1028">
Пояснение: <img src="/cache/referats/13531/image005.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> Пусть: <img src="/cache/referats/13531/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/13531/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> Т.е. функция <img src="/cache/referats/13531/image005.gif" v:shapes="_x0000_i1032">неявляется равномерно непрерывной на множестве <img src="/cache/referats/13531/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1033">
Теорема 28.3:Непрерывная на отрезке функция – равномернонепрерывна на нём.
Классыинтегрируемых функций
Теорема 28.4:Непрерывная на отрезке функция – интегрируема нанём.
Теорема 28.5:Монотонная на отрезке функция – интегрируема нанём.
Теорема 28.5:Если функция <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1035">, и если <img src="/cache/referats/13531/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1037">Причём общая длина этихинтервалов меньше <img src="/cache/referats/13531/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1039"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1040">.
Замечание: Очевидно, чтоесли <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1042"><img src="/cache/referats/13531/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1043"><img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1044"><img src="/cache/referats/13531/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1046">и <img src="/cache/referats/13531/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
Существование первообразной
Определение 28.9:Пусть <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1048"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1049"><img src="/cache/referats/13531/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1050"><img src="/cache/referats/13531/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1051"><img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1052"><img src="/cache/referats/13531/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1053"><img src="/cache/referats/13531/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1054">переменнымверхним пределом, аналогично функция <img src="/cache/referats/13531/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1055">переменным нижнимпределом.
Теорема 28.6:Если функция <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1056"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1058"><img src="/cache/referats/13531/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/13531/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1060">
Замечание 1: Из дифференцируемостифункции <img src="/cache/referats/13531/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1061"><img src="/cache/referats/13531/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
Замечание 2: Поскольку <img src="/cache/referats/13531/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1063"><img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/13531/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1065">
Пусть для вычисления интеграла <img src="/cache/referats/13531/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1066"><img src="/cache/referats/13531/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1067">
Теорема. Если 1. Функция <img src="/cache/referats/13531/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/13531/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/13531/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1070">
2. множеством значений функции <img src="/cache/referats/13531/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> при <img src="/cache/referats/13531/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1072">a;b]
3. <img src="/cache/referats/13531/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1073"><img src="/cache/referats/13531/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1074"><img src="/cache/referats/13531/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1075">
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) наотрезке [a;b]. Тогда по формулеНьютона-Лейбница <img src="/cache/referats/13531/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1076"><img src="/cache/referats/13531/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1077"><img src="/cache/referats/13531/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1078"><img src="/cache/referats/13531/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1079"><img src="/cache/referats/13531/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1080"><img src="/cache/referats/13531/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1081">
<img src="/cache/referats/13531/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1082"><img src="/cache/referats/13531/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><img src="/cache/referats/13531/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1084">
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1.<span Times New Roman"">
при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться кстарой переменной не требуется;2.<span Times New Roman"">
часто вместо подстановки <img src="/cache/referats/13531/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1085">t=g(x)3.<span Times New Roman"">
не следует забывать менять пределы интегрирования при заменепеременных.<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA"><span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA; mso-bidi-font-style:italic">
Интегрированиезаменой переменной.
а). Метод подведенияпод знак дифференциала
Пустьтребуется вычислить интеграл <img src="/cache/referats/13531/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1086"><img src="/cache/referats/13531/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1087"><img src="/cache/referats/13531/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1088"><img src="/cache/referats/13531/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1089">
<img src="/cache/referats/13531/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1090">
Тогда:<img src="/cache/referats/13531/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1091"><img src="/cache/referats/13531/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1092"><img src="/cache/referats/13531/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1093"><img src="/cache/referats/13531/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1094">
Пример:Вычислить <img src="/cache/referats/13531/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1095">
<img src="/cache/referats/13531/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1096">
Подстановка:<img src="/cache/referats/13531/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1097">
б). Метод подстановки
Пустьтребуется вычислить интеграл <img src="/cache/referats/13531/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><img src="/cache/referats/13531/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1099"><img src="/cache/referats/13531/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1100"><img src="/cache/referats/13531/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1101"><img src="/cache/referats/13531/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1102"><img src="/cache/referats/13531/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1103"><img src="/cache/referats/13531/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1104"><img src="/cache/referats/13531/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1105"><img src="/cache/referats/13531/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1106"><img src="/cache/referats/13531/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1107"><img src="/cache/referats/13531/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1108"><img src="/cache/referats/13531/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1109"><img src="/cache/referats/13531/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1110">
Пример:Вычислить <img src="/cache/referats/13531/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1111">
<img src="/cache/referats/13531/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1112"><img src="/cache/referats/13531/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1113">
Интегрированиепо частям. Пусть <img src="/cache/referats/13531/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1114"><img src="/cache/referats/13531/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1115"><img src="/cache/referats/13531/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1116"><img src="/cache/referats/13531/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1117"><img src="/cache/referats/13531/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1118"><img src="/cache/referats/13531/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1119">
Пример:Вычислить <img src="/cache/referats/13531/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
Положим<img src="/cache/referats/13531/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1121"><img src="/cache/referats/13531/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1122"><img src="/cache/referats/13531/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1123"><img src="/cache/referats/13531/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1124"><img src="/cache/referats/13531/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1125"><img src="/cache/referats/13531/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1126"><img src="/cache/referats/13531/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1127"><img src="/cache/referats/13531/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1128">
Замечание 26.5: Иногдапри вычислении интеграла <img src="/cache/referats/13531/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1129"><img src="/cache/referats/13531/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1130"><img src="/cache/referats/13531/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1131">
Постановка задачи:<img src="/cache/referats/13531/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1132"><img src="/cache/referats/13531/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1133"><img src="/cache/referats/13531/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1134">
1). <img src="/cache/referats/13531/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1135"><span Arial Unicode MS"">
2). <img src="/cache/referats/13531/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1136"><span Arial Unicode MS"">
3). <img src="/cache/referats/13531/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1137"><span Arial Unicode MS"">
т.е.все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1:Пусть <img src="/cache/referats/13531/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1138"><img src="/cache/referats/13531/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1139"><img src="/cache/referats/13531/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1140"><img src="/cache/referats/13531/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1141"><img src="/cache/referats/13531/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1142">
1. <img src="/cache/referats/13531/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1143"><span Arial Unicode MS"">
2. <img src="/cache/referats/13531/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1144"><span Arial Unicode MS"">
3. <img src="/cache/referats/13531/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1145"><span Arial Unicode MS"">
4. <img src="/cache/referats/13531/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1146"><span Arial Unicode MS"">
5. <img src="/cache/referats/13531/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><span Arial Unicode MS"">
6. <img src="/cache/referats/13531/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><span Arial Unicode MS"">
7. <img src="/cache/referats/13531/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1149"><span Arial Unicode MS"">
8. <img src="/cache/referats/13531/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1150"><span Arial Unicode MS"">
9. <img src="/cache/referats/13531/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1151"><span Arial Unicode MS"">
10. <img src="/cache/referats/13531/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1152"><span Arial Unicode MS"">
Интегрированиядробно-линейных и квадратичных иррациональностей
<img src="/cache/referats/13531/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1153">
Сделавподстановку: <img src="/cache/referats/13531/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1154"><img src="/cache/referats/13531/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1155">
тогда<img src="/cache/referats/13531/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1156">
<img src="/cache/referats/13531/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1157">
a). Подстановки Эйлера.
1).Корни многочлена <img src="/cache/referats/13531/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1158"><img src="/cache/referats/13531/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1159"><img src="/cache/referats/13531/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1160">
2).Корни многочлена <img src="/cache/referats/13531/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1161"><img src="/cache/referats/13531/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1162"><img src="/cache/referats/13531/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1163"><img src="/cache/referats/13531/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1164">
b). Подстановка: <img src="/cache/referats/13531/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1165">
1). <img src="/cache/referats/13531/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1166"><img src="/cache/referats/13531/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1167"><span Arial Unicode MS"">
2). <img src="/cache/referats/13531/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1168"><img src="/cache/referats/13531/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1169"><span Arial Unicode MS"">
3). <img src="/cache/referats/13531/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1170"><img src="/cache/referats/13531/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1171"><span Arial Unicode MS"">
c).
Если<img src="/cache/referats/13531/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1172"><img src="/cache/referats/13531/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1173">
Интегрированиефункций, рационально зависящих от тригонометрических<img src="/cache/referats/13531/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1174">
Универсальнаяподстановка: <img src="/cache/referats/13531/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1175"><img src="/cache/referats/13531/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1176">
<img src="/cache/referats/13531/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1177"><img src="/cache/referats/13531/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1178">
<img src="/cache/referats/13531/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1179"><img src="/cache/referats/13531/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1180">
Интегрируетсяпо частям
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA;mso-bidi-font-weight:bold">Неопределенный интеграл
Определение 26.1:Функция <img src="/cache/referats/13531/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1181">первообразнойдля функции <img src="/cache/referats/13531/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1182"><img src="/cache/referats/13531/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1183"><img src="/cache/referats/13531/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1184">
Пусть<img src="/cache/referats/13531/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1185"><img src="/cache/referats/13531/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/13531/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1187"><img src="/cache/referats/13531/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1188"><img src="/cache/referats/13531/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1189">
Определение 26.2:Неопределённым интегралом от функции <img src="/cache/referats/13531/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1190"><img src="/cache/referats/13531/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1191"><img src="/cache/referats/13531/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1192"><img src="/cache/referats/13531/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1193">
Замечание 26.1: Если <img src="/cache/referats/13531/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1194"><img src="/cache/referats/13531/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1195"><img src="/cache/referats/13531/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1196"><img src="/cache/referats/13531/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1197">
Замечание 26.2:Подынтегральное выражение вопределении представляет из себя полный дифференциал первообразной <img src="/cache/referats/13531/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1198"><img src="/cache/referats/13531/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1199"><img src="/cache/referats/13531/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1200">
Замечание 26.3:Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ванеопределенного интеграла:
1.Дифференциалот неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производнаянеопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильностьинтегрирования проверяется дифференцированием.
<img src="/cache/referats/13531/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1201"><img src="/cache/referats/13531/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1202">
2.Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции ипроизводной постоянной:
<img src="/cache/referats/13531/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1203">
3.Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
<img src="/cache/referats/13531/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1204">a<img src="/cache/referats/13531/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1205">0-постоянная.
4.Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равеналгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
<img src="/cache/referats/13531/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1206">
5.(Инвариантность формулы интегрирования). Если<img src="/cache/referats/13531/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1207"><img src="/cache/referats/13531/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1208">u=<img src="/cache/referats/13531/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1209">
Табличные интегралы<img src="/cache/referats/13531/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1210">
<img src="/cache/referats/13531/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1211">
<img src="/cache/referats/13531/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1212">
<img src="/cache/referats/13531/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1213">
<img src="/cache/referats/13531/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1214">
<img src="/cache/referats/13531/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1215">
<img src="/cache/referats/13531/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1216">
<img src="/cache/referats/13531/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1217">
<img src="/cache/referats/13531/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1218">
<img src="/cache/referats/13531/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1219">
<img src="/cache/referats/13531/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1220">
<img src="/cache/referats/13531/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1221">
<img src="/cache/referats/13531/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1222">
<img src="/cache/referats/13531/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1223">
<img src="/cache/referats/13531/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1224">
<img src="/cache/referats/13531/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1225">
<img src="/cache/referats/13531/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1226">
<img src="/cache/referats/13531/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1227">
<img src="/cache/referats/13531/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1228">
<img src="/cache/referats/13531/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1229">
<img src="/cache/referats/13531/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1230">
<img src="/cache/referats/13531/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1231">
<img src="/cache/referats/13531/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1232">
<img src="/cache/referats/13531/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1233">
<img src="/cache/referats/13531/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1234">
<img src="/cache/referats/13531/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1235">
<img src="/cache/referats/13531/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1236">
<img src="/cache/referats/13531/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1237">
<img src="/cache/referats/13531/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1238">
<img src="/cache/referats/13531/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1239">
<img src="/cache/referats/13531/image220.gif" v:shapes="_x0000_i1240">
<img src="/cache/referats/13531/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1241">
<img src="/cache/referats/13531/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1242">
<img src="/cache/referats/13531/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1243">
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1:Множество точек отрезка <img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1244"><img src="/cache/referats/13531/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1245">разбиениемотрезка <img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1246">Длинычастичныхотрезков разбиения обозначим: <img src="/cache/referats/13531/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1247">Мелкостью разбиения<img src="/cache/referats/13531/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1248"><img src="/cache/referats/13531/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1249">
Определение 28.2:Пусть в определении 28.1 для всех <img src="/cache/referats/13531/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1250"><img src="/cache/referats/13531/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1251">Интегральной суммойфункции <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1252"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1253">с разбиением <img src="/cache/referats/13531/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1254"><img src="/cache/referats/13531/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1255"><img src="/cache/referats/13531/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1256"><img src="/cache/referats/13531/image235.gif" v:shapes="_x0000_i1257">
Определение 28.3:Пределом интегральных сумм функции <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1258"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1259">назовём такое число <img src="/cache/referats/13531/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1260"><img src="/cache/referats/13531/image237.gif" v:shapes="_x0000_i1261"><img src="/cache/referats/13531/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1262"><img src="/cache/referats/13531/image239.jpg" align=«right» v:shapes="_x0000_s1027">
Определение 28.4:Функция <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1263">интегрируемой наотрезке <img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1264">, если существует конечныйпредел её интегнральных сумм на <img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1265">. Обозначается: <img src="/cache/referats/13531/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1266">
Теорема 28.1:Если <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1267"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1268">, то она ограничена на нём.
Замечание 1:Эта теорема является необходимым, но недостаточнымусловием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2:Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезкефункция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялосьусловие: <img src="/cache/referats/13531/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1269">
Следствие 1:Условие Т.2эквивалентно условию: <img src="/cache/referats/13531/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1270">
Следствие 2:Если функция интегрируема на, то: <img src="/cache/referats/13531/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1271">
Определение 28.8:Определённым интегралом функции <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1272"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1273">называется число <img src="/cache/referats/13531/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1274"><img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1275"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1276">. Условие интегрируемости эквивалентносуществованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1.Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то <img src="/cache/referats/13531/image245.gif" v:shapes="_x0000_i1277">с можно выносить за знакопределенного интег-ла.
2.Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b],тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
<img src="/cache/referats/13531/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1278"><img src="/cache/referats/13531/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1279">
3.Если <img src="/cache/referats/13531/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1280"><img src="/cache/referats/13531/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1281">
4.Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
<img src="/cache/referats/13531/image251.gif" v:shapes="_x0000_i1282">аддивностью определенногоинтеграла.
Сравнение определённых интегралов
Если<img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1283"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1284"><img src="/cache/referats/13531/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1285"><img src="/cache/referats/13531/image254.gif" v:shapes="_x0000_i1286">
Если<img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1287"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1288"><img src="/cache/referats/13531/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1289"><img src="/cache/referats/13531/image256.gif" v:shapes="_x0000_i1290">
Неравенствому непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если<img src="/cache/referats/13531/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1291"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1292"><img src="/cache/referats/13531/image258.gif" v:shapes="_x0000_i1293"><img src="/cache/referats/13531/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1294">
Модульопределенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральнойфункции. Если <img src="/cache/referats/13531/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1295"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1296"><img src="/cache/referats/13531/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1297"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1298"><img src="/cache/referats/13531/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1299">
Оценкаинтеграла. Если mи M-соответственно наименьшее инаибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если <img src="/cache/referats/13531/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1300"><img src="/cache/referats/13531/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1301"><img src="/cache/referats/13531/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1302"> <img src="/cache/referats/13531/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1303"><img src="/cache/referats/13531/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1304">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA;mso-bidi-font-weight:bold">
Теорема о среднем значении
Еслифункция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], тосуществует точка <img src="/cache/referats/13531/image266.gif" v:shapes="_x0000_i1305"> такая, что <img src="/cache/referats/13531/image268.gif" v:shapes="_x0000_i1306">
Док-во:По формуле Ньютона-Лейбница имеем
<img src="/cache/referats/13531/image270.gif" v:shapes="_x0000_i1307">F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a)теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).
Этатеорема при f(x)<img src="/cache/referats/13531/image272.gif" v:shapes="_x0000_i1308"><img src="/cache/referats/13531/image266.gif" v:shapes="_x0000_i1309">f(с) и основанием b-a.
Число <img src="/cache/referats/13531/image274.gif" v:shapes="_x0000_i1310"> наз-ся среднимзначением функции f(x) на отрезке [a;b].
Формула Ньютона-ЛейбницаЕсли<img src="/cache/referats/13531/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1311"><img src="/cache/referats/13531/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1312"><img src="/cache/referats/13531/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1313"><img src="/cache/referats/13531/image276.gif" v:shapes="_x0000_i1314">
Док-во:Рассмотрим тождество
<img src="/cache/referats/13531/image278.gif" v:shapes="_x0000_i1315">
Преобразуемкаждую разность в скобках по формуле Лагранжа
<img src="/cache/referats/13531/image280.gif" v:shapes="_x0000_i1316"><img src="/cache/referats/13531/image282.gif" v:shapes="_x0000_i1317"><img src="/cache/referats/13531/image284.gif" v:shapes="_x0000_i1318"><img src="/cache/referats/13531/image286.gif" v:shapes="_x0000_i1319"><img src="/cache/referats/13531/image288.gif" v:shapes="_x0000_i1320">y=f(x) непрерывна на [a;b].Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу отf(x) на [a;b].
Переходяк пределу при <img src="/cache/referats/13531/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1321">F(b)-F(a)=
=<img src="/cache/referats/13531/image292.gif" v:shapes="_x0000_i1322">,т.е. <img src="/cache/referats/13531/image276.gif" v:shapes="_x0000_i1323">
интеграл с переменным верхним пределом
Еслиизменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], товеличина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменнымверхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела.Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равнаподынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этимпределом, т.е.
<img src="/cache/referats/13531/image294.gif" v:shapes="_x0000_i1324">
Док-во:По формуле Ньютона-Лейбница имеем:<img src="/cache/referats/13531/image296.gif" v:shapes="_x0000_i1325"><img src="/cache/referats/13531/image298.gif" v:shapes="_x0000_i1326">
Следовательно,<img src="/cache/referats/13531/image300.gif" v:shapes="_x0000_i1327">
=<img src="/cache/referats/13531/image302.gif" v:shapes="_x0000_i1328">
Этозначит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна изпервообразных подынтегральной функции.