Реферат: Математика для института
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ГЛАВА 2
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Разложение функций в тригонометрическийряд Фурье
Исходныеданные :
<img src="/cache/referats/2181/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> (<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис. 1
)Функция периодическая с периодом <img src="/cache/referats/2181/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> Функция имеет на промежутке <img src="/cache/referats/2181/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> конечное число точекразрыва первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится кзначению самой функции, а в точках разрыва к величине <img src="/cache/referats/2181/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/2181/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">
<img src="/cache/referats/2181/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кромеконечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяетусловию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) — кусочно-непрерывна на интервале <img src="/cache/referats/2181/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">
2) F(x) — кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительноOY, а также центральная симметрия — то рассматриваемая функция произвольна.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Представление функции рядом Фурье.
<img src="/cache/referats/2181/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">
<img src="/cache/referats/2181/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">
<img src="/cache/referats/2181/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">
<img src="/cache/referats/2181/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">
Из разложения видим, что при n нечетном <img src="/cache/referats/2181/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> принимает значенияравные 0, и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
<img src="/cache/referats/2181/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">
Поэтомуформулу для <img src="/cache/referats/2181/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> можно записать в виде:
<img src="/cache/referats/2181/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1039">
<img src="/cache/referats/2181/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1040">
(так как <img src="/cache/referats/2181/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1041">
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
<img src="/cache/referats/2181/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1042">
Подставим найденные коэффициенты в <img src="/cache/referats/2181/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> получим:
<img src="/cache/referats/2181/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1044">
ивообще
<img src="/cache/referats/2181/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
Найдем первые пять гармоник для найденногоряда:
1-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1046">
<img src="/cache/referats/2181/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
2-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1048">
<img src="/cache/referats/2181/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1049">
3-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
<img src="/cache/referats/2181/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1051">
4-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1052">
<img src="/cache/referats/2181/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1053">
5-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1054">
<img src="/cache/referats/2181/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1055">
иобщий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
<img src="/cache/referats/2181/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1056">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Запишем комплексную форму полученногоряда
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
Для рассматриваемого ряда получаемкоэффициенты (см. теорию)
<img src="/cache/referats/2181/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1057">
нопри <img src="/cache/referats/2181/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> не существует,поэтому рассмотрим случай когда n=+1:
<img src="/cache/referats/2181/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/2181/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> см. разложение выше)
ислучай когда n=-1:
<img src="/cache/referats/2181/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> (т.к. <img src="/cache/referats/2181/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
И вообще комплексная форма:
<img src="/cache/referats/2181/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1063">
или
<img src="/cache/referats/2181/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1064">
или
<img src="/cache/referats/2181/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1065">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: KO;mso-bidi-language:AR-SA"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Разложение четной функции в ряд
Даннуювыше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до <img src="/cache/referats/2181/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> смотри рис.2
<img src="/cache/referats/2181/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1067">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис.2
поэтомуразложение по косинусу имеет вид:
<img src="/cache/referats/2181/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1068">
<img src="/cache/referats/2181/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1069">
<img src="/cache/referats/2181/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1070">
<img src="/cache/referats/2181/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1071">
Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельнорассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:
<img src="/cache/referats/2181/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1072">
<img src="/cache/referats/2181/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1073">
Наоснове данного разложения запишем функцию в виде ряда:
<img src="/cache/referats/2181/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1074">
ивообще
<img src="/cache/referats/2181/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1075">
Найдем первые пять гармоник для найденногоряда:
1-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1076">
<img src="/cache/referats/2181/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1077">
2-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1078">
<img src="/cache/referats/2181/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1079">
3-ягармоника <img src="/cache/referats/2181/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1080">
<img src="/cache/referats/2181/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1081">
4-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1082">
<img src="/cache/referats/2181/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1083">
5-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1084">
<img src="/cache/referats/2181/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1085">
А теперь рассмотрим сумму этих гармоникF(x):
<img src="/cache/referats/2181/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1086">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Комплексная форма ряда по косинусам
Для рассматриваемого ряда получаемкоэффициенты (см. гл.1)
<img src="/cache/referats/2181/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1087">
нопри <img src="/cache/referats/2181/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> не существует, поэтомурассмотрим случай когда n=+2 :
<img src="/cache/referats/2181/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/2181/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> см. разложение выше)
ислучай когда n=-2:
<img src="/cache/referats/2181/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> ( т.к. <img src="/cache/referats/2181/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1092">
<img src="/cache/referats/2181/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1093">
И вообще комплексная форма:
<img src="/cache/referats/2181/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1094">
или
<img src="/cache/referats/2181/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1095">
или
<img src="/cache/referats/2181/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1096"><img src="/cache/referats/2181/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1097">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: KO;mso-bidi-language:AR-SA"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Разложение нечетной функции в ряд
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
Аналогичным образом поступаем с даннойфункцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до<img src="/cache/referats/2181/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1098"> смотри рис.3
<img src="/cache/referats/2181/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1099">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис.3
поэтомуразложение по синусам имеет вид:
<img src="/cache/referats/2181/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1100">
<img src="/cache/referats/2181/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1101">
<img src="/cache/referats/2181/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1102">
Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно неучесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
При n=1:
<img src="/cache/referats/2181/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1103">
ипри n=2:
<img src="/cache/referats/2181/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1104">
Учитывая данные коэффициенты имеемразложения в виде
<img src="/cache/referats/2181/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1105">
ивообще
<img src="/cache/referats/2181/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1106">
Найдем первые пять гармоник для данногоразложения:
1-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1107">
<img src="/cache/referats/2181/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1108">
2-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1109">
<img src="/cache/referats/2181/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1110">
3-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1111">
<img src="/cache/referats/2181/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1112">
4-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1113">
<img src="/cache/referats/2181/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1114">
5-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1115">
<img src="/cache/referats/2181/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1116">
И просуммировав выше перечисленныегармоники получим график функции F(x)
<img src="/cache/referats/2181/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1117">
Вывод:
На основании главы 2, разложение функции втригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложениепо синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима втригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммыпервых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстреек заданному графику достигается при разложении по синусам.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Комплексная форма ряда по синусам
Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:
<img src="/cache/referats/2181/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> , <img src="/cache/referats/2181/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> (т.к. <img src="/cache/referats/2181/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
тогдакомплексный ряд имеет вид:
<img src="/cache/referats/2181/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1121"><img src="/cache/referats/2181/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1122"><img src="/cache/referats/2181/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1123">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: KO;mso-bidi-language:AR-SA"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ГЛАВА 3
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ПРЕДСТАВЛЕНИЕФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Проверка условий представимости
Данную ранее функцию (см. гл. 2)доопределим на всей прямой от <img src="/cache/referats/2181/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> до <img src="/cache/referats/2181/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1125"> как равнуюнулю(рис.4).
<img src="/cache/referats/2181/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1126">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис.4
а) f(x)-определенна на R;
б) f(x) возрастает на <img src="/cache/referats/2181/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1127"><img src="/cache/referats/2181/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> — кусочнo-монотонна.
f(x) = const на <img src="/cache/referats/2181/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> и <img src="/cache/referats/2181/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1130">
<img src="/cache/referats/2181/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> < <img src="/cache/referats/2181/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1132">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Интеграл Фурье
В соответствии с теорией (см. гл. 1)найдем a(u) и b(u):
<img src="/cache/referats/2181/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1133">
<img src="/cache/referats/2181/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1134">
<img src="/cache/referats/2181/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1135">
<img src="/cache/referats/2181/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1136">
<img src="/cache/referats/2181/image220.gif" v:shapes="_x0000_i1137">
<img src="/cache/referats/2181/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1138">
<img src="/cache/referats/2181/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1139">
И в конечном варианте интеграл Фурье будетвыглядеть так:
<img src="/cache/referats/2181/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1140">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье вкомплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
<img src="/cache/referats/2181/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1141">
<img src="/cache/referats/2181/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1142">
атеперь получим интеграл в комплексной форме:
<img src="/cache/referats/2181/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1143">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: KO;mso-bidi-language:AR-SA"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ГЛАВА 4
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ПРЕДСТАВЛЕНИЕФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированнойсистеме пространства X=[-1,1], причем полиномы получим, если проинтегрируемвыражение:
<img src="/cache/referats/2181/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1144">
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5,… :
<img src="/cache/referats/2181/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1145">
<img src="/cache/referats/2181/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1146">
<img src="/cache/referats/2181/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1147">
......... .
Для представления функции полиномомЛежандра необходимо разложить ее в ряд:
<img src="/cache/referats/2181/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1148">
где <img src="/cache/referats/2181/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см.рис. 1):
<img src="/cache/referats/2181/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1150">
т. к. она расположена на промежутке от 0 до <img src="/cache/referats/2181/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> необходимо произвестизамену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:
<img src="/cache/referats/2181/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1152">
итогда F(t) примет вид
<img src="/cache/referats/2181/image250.gif" v:shapes="_x0000_i1153">
или
<img src="/cache/referats/2181/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1154">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы длякоэффициентов находим:
<img src="/cache/referats/2181/image254.gif" v:shapes="_x0000_i1155">
<img src="/cache/referats/2181/image256.gif" v:shapes="_x0000_i1156">
<img src="/cache/referats/2181/image258.gif" v:shapes="_x0000_i1157">
<img src="/cache/referats/2181/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1158">
<img src="/cache/referats/2181/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1159">
<img src="/cache/referats/2181/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1160"><img src="/cache/referats/2181/image266.gif" v:shapes="_x0000_i1161"><img src="/cache/referats/2181/image268.gif" v:shapes="_x0000_i1162"><img src="/cache/referats/2181/image270.gif" v:shapes="_x0000_i1163">
<img src="/cache/referats/2181/image272.gif" v:shapes="_x0000_i1164">
Далее вычисление коэффициентов осложнено,поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за однопроверим уже найденные:
<img src="/cache/referats/2181/image274.gif" v:shapes="_x0000_i1165">
<img src="/cache/referats/2181/image276.gif" v:shapes="_x0000_i1166">
<img src="/cache/referats/2181/image278.gif" v:shapes="_x0000_i1167">
<img src="/cache/referats/2181/image280.gif" v:shapes="_x0000_i1168">
<img src="/cache/referats/2181/image282.gif" v:shapes="_x0000_i1169">
<img src="/cache/referats/2181/image284.gif" v:shapes="_x0000_i1170">
Рассмотрим процесс стремления суммыполинома прибавляя поочередно <img src="/cache/referats/2181/image286.gif" v:shapes="_x0000_i1171">
<img src="/cache/referats/2181/image288.gif" v:shapes="_x0000_i1172">
<img src="/cache/referats/2181/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1173">
<img src="/cache/referats/2181/image292.gif" v:shapes="_x0000_i1174">
<img src="/cache/referats/2181/image294.gif" v:shapes="_x0000_i1175">
<img src="/cache/referats/2181/image296.gif" v:shapes="_x0000_i1176">
<img src="/cache/referats/2181/image298.gif" v:shapes="_x0000_i1177">
<img src="/cache/referats/2181/image300.gif" v:shapes="_x0000_i1178">
<img src="/cache/referats/2181/image302.gif" v:shapes="_x0000_i1179">
<img src="/cache/referats/2181/image304.gif" v:shapes="_x0000_i1180">
<img src="/cache/referats/2181/image306.gif" v:shapes="_x0000_i1181">
А теперь рассмотрим график суммы пятиполиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
<img src="/cache/referats/2181/image308.gif" v:shapes="_x0000_i1182">
<img src="/cache/referats/2181/image310.gif" v:shapes="_x0000_i1183">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис. 5
т.к.очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:
На основе расчетов гл.2 и гл.4 можнозаключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданнойфункции достигается при разложении функции в ряд.
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: KO;mso-bidi-language:AR-SA"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ГЛАВА 5
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ДИСКРЕТНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести прямоепреобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично.Поэтому разбиваем отрезок от 0 до <img src="/cache/referats/2181/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> на N=8 частей, так чтобы приращение:
<img src="/cache/referats/2181/image313.gif" v:shapes="_x0000_i1185">
Внашем случае <img src="/cache/referats/2181/image315.gif" v:shapes="_x0000_i1186">k-ыхточках будет:
<img src="/cache/referats/2181/image317.gif" v:shapes="_x0000_i1187">
длянашего случая <img src="/cache/referats/2181/image319.gif" v:shapes="_x0000_i1188">a=0).
Составим табличную функцию:
k
1
2
3
4
5
6
7
<img src="/cache/referats/2181/image321.gif" v:shapes="_x0000_i1189">
0.785
1.571
2.356
3.142
3.927
4.712
5.498
<img src="/cache/referats/2181/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1190">
0.707
1
0.707
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Табл. 1
Прямымдискретным преобразованием Фурье вектора <img src="/cache/referats/2181/image325.gif" v:shapes="_x0000_i1191"><img src="/cache/referats/2181/image327.gif" v:shapes="_x0000_i1192">
<img src="/cache/referats/2181/image329.gif" v:shapes="_x0000_i1193">n=0,1,...,N-1
<img src="/cache/referats/2181/image331.gif" v:shapes="_x0000_i1194">
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к.очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицыравны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретномупреобразованию:
зная,<img src="/cache/referats/2181/image333.gif" v:shapes="_x0000_i1195"><img src="/cache/referats/2181/image335.gif" v:shapes="_x0000_i1196">
<img src="/cache/referats/2181/image337.gif" v:shapes="_x0000_i1197">
<img src="/cache/referats/2181/image339.gif" v:shapes="_x0000_i1198"><img src="/cache/referats/2181/image341.gif" v:shapes="_x0000_i1199">
n
1
2
3
4
5
6
7
<img src="/cache/referats/2181/image343.gif" v:shapes="_x0000_i1200">
1
2
3
4
5
6
7
<img src="/cache/referats/2181/image345.gif" v:shapes="_x0000_i1201">
2,4
2
1
0.4
1
2
<img src="/cache/referats/2181/image347.gif" v:shapes="_x0000_i1202">
0.318
0.25
0.106
0.021
0.009
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Табл. 2
Амплитудныйспектр <img src="/cache/referats/2181/image347.gif" v:shapes="_x0000_i1203">
<img src="/cache/referats/2181/image349.gif" v:shapes="_x0000_i1204">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование-есть функция :
<img src="/cache/referats/2181/image351.gif" v:shapes="_x0000_i1205">
Внашем случаи это:
<img src="/cache/referats/2181/image353.gif" v:shapes="_x0000_i1206">
<img src="/cache/referats/2181/image355.gif" v:shapes="_x0000_i1207">
А теперь найдем модули <img src="/cache/referats/2181/image357.gif" v:shapes="_x0000_i1208"> и составим таблицу пообратным дискретным преобразованиям:
<img src="/cache/referats/2181/image359.gif" v:shapes="_x0000_i1209">
k
1
2
3
4
5
6
7
<img src="/cache/referats/2181/image321.gif" v:shapes="_x0000_i1210">
0.785
1.571
2.356
3.142
3.927
4.712
5.498
<img src="/cache/referats/2181/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1211">
0.707
1
0.707
<img src="/cache/referats/2181/image357.gif" v:shapes="_x0000_i1212">
0.708
1
0.707
8e-4
5e-5
5e-4
3e-4
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Табл. 3
Изприведенной таблицы видно, что <img src="/cache/referats/2181/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1213"> приближенно равно <img src="/cache/referats/2181/image357.gif" v:shapes="_x0000_i1214">
Построим графики используя табл.3, где <img src="/cache/referats/2181/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1215">F(k), а <img src="/cache/referats/2181/image357.gif" v:shapes="_x0000_i1216">f(k) рис. 6 :
<img src="/cache/referats/2181/image363.gif" v:shapes="_x0000_i1217">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис. 6
Вывод:
На основе проделанных расчетов можнозаключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического рядаФурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразованийФурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратногопреобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведеныправильно.
<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-font-kerning:14.0pt; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:KO;mso-bidi-language:AR-SA">ГЛАВА 1
РЯДЫИ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ОсновныесведенияФункцияf(x), определенная на всей числовой осиназывается периодической, еслисуществует такое число <img src="/cache/referats/2181/image365.gif" v:shapes="_x0000_i1218">хвыполняется равенство <img src="/cache/referats/2181/image367.gif" v:shapes="_x0000_i1219">Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функцийпериода Т есть периодическая функция периода Т.
2) Если функция f(x) период Т, то функция f(ax)имеет период <img src="/cache/referats/2181/image369.gif" v:shapes="_x0000_i1220">
3) Если f(x) — периодическая функция периода Т, то равны любые дваинтеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a иb справедливо равенство <img src="/cache/referats/2181/image371.gif" v:shapes="_x0000_i1221">
Тригонометрическийряд. Ряд ФурьеЕслиf(x)разлагается на отрезке <img src="/cache/referats/2181/image373.gif" v:shapes="_x0000_i1222"> в равномерносходящийся тригонометрический ряд:
<span Times New Roman",«serif»; font-style:normal"><img src="/cache/referats/2181/image375.gif" v:shapes="_x0000_i1223"><span Times New Roman",«serif»; font-weight:normal;font-style:normal"> (1), тоэто разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
<img src="/cache/referats/2181/image377.gif" v:shapes="_x0000_i1224">
<img src="/cache/referats/2181/image379.gif" v:shapes="_x0000_i1225">
<img src="/cache/referats/2181/image381.gif" v:shapes="_x0000_i1226"> , где n=1,2,.. .
Тригонометрическийряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а <img src="/cache/referats/2181/image383.gif" v:shapes="_x0000_i1227"> коэффициентами рядаФурье.
Достаточныепризнаки разложимости функции в ряд ФурьеТочка<img src="/cache/referats/2181/image385.gif" v:shapes="_x0000_i1228"> разрыва функции <img src="/cache/referats/2181/image387.gif" v:shapes="_x0000_i1229"> называют точкойразрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этойфункции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1(Дирихле). Если <img src="/cache/referats/2181/image387.gif" v:shapes="_x0000_i1230"> периодическая спериодом <img src="/cache/referats/2181/image389.gif" v:shapes="_x0000_i1231"> функция непрерывна илиимеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [<img src="/cache/referats/2181/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1232">f(x) монотонна, то ряд Фурье относительнофункции сходится к f(x) в точках непрерывности и ксреднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функцияудовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА2. Если f(x) периодическаяфункция с периодом <img src="/cache/referats/2181/image389.gif" v:shapes="_x0000_i1233"> , которая на отрезке [<img src="/cache/referats/2181/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1234"> f(x) в точках разрыва ксреднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этойтеореме называется кусочно-гладкой).
РядыФурье для четных и нечетных функцийПусть f(x) — четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) =f(x) .
Тогдадля коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
<img src="/cache/referats/2181/image394.gif" v:shapes="_x0000_i1235"><img src="/cache/referats/2181/image396.gif" v:shapes="_x0000_i1236">
<img src="/cache/referats/2181/image398.gif" v:shapes="_x0000_i1237"><img src="/cache/referats/2181/image400.gif" v:shapes="_x0000_i1238">
<img src="/cache/referats/2181/image402.gif" v:shapes="_x0000_i1239"><img src="/cache/referats/2181/image404.gif" v:shapes="_x0000_i1240"> , где n=1,2,.. .
Такимобразом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурьедля четной функции с периодом 2Lвыглядит так:
<img src="/cache/referats/2181/image406.gif" v:shapes="_x0000_i1241">
Пусть теперь f(x) — нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x)= — f(x).
Тогда для коэффициентов ее рядаФурье находим формулы:
<img src="/cache/referats/2181/image408.gif" v:shapes="_x0000_i1242"> , где n=1,2,.. .
Такимобразом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены скосинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
<img src="/cache/referats/2181/image410.gif" v:shapes="_x0000_i1243">
Если функция f(x)разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке<img src="/cache/referats/2181/image373.gif" v:shapes="_x0000_i1244"> то <img src="/cache/referats/2181/image413.gif" v:shapes="_x0000_i1245">
, где <img src="/cache/referats/2181/image404.gif" v:shapes="_x0000_i1246"><img src="/cache/referats/2181/image415.gif" v:shapes="_x0000_i1247">
<img src="/cache/referats/2181/image417.gif" v:shapes="_x0000_i1248">
<img src="/cache/referats/2181/image419.gif" v:shapes="_x0000_i1249">
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L),получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции,заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо: доопределитьна [b,a+2L] и периодическипродолжить, либо доопределить на [b-2L,a]и периодически продолжить.
РядФурье по любой ортогональной системе функцийПоследовательность функций <img src="/cache/referats/2181/image421.gif" v:shapes="_x0000_i1250"> непрерывных на отрезке[a,b], называется ортогональнойсистемой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательностипопарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
<img src="/cache/referats/2181/image423.gif" v:shapes="_x0000_i1251"> <img src="/cache/referats/2181/image425.gif" v:shapes="_x0000_i1252">
Система называется ортогональной инормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие