Реферат: Решение кубических уравнений в радикалах

Решение кубических уравненийв радикалах.

Выполнил Розанов А. Ю.

Содержание

 TOC o «1-3» h z Введение. PAGEREF _Toc162520677 h 3

1. ФормулаТартальи – Кардано.PAGEREF _Toc162520678 h 3

2. Преобразованиеформулы Тартальи – Кардано к наиболее удобному для вычислений виду.PAGEREF _Toc162520679 h 6

3.Дискриминант кубического уравнения и его связь с корнями.PAGEREF _Toc162520680 h 7

4. Примеры.PAGEREF _Toc162520681 h 11

Заключение.PAGEREF _Toc162520682 h 13

Списоклитературы.PAGEREF _Toc162520683 h 15

Введение

«Всякое уравнение <img src="/cache/referats/26251/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/26251/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней были найденыеще в XVI веке. В это же время начались поиски формулы для решения уравненийпятой степени и более высоких степеней. Заметим, что общий вид уравнения <img src="/cache/referats/26251/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/26251/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

<img src="/cache/referats/26251/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

Эти поиски безуспешно продолжались до начала XIX века, когда был,наконец, доказан следующий замечательный результат: «ни для какого <img src="/cache/referats/26251/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/26251/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1031">  Иными словамиуниверсальные формулы решения уравнений в радикалах существуют только дляуравнений первой, второй, третьей и четвертой степени.

В данной работе будет рассмотрено решение в радикалах уравнений третьейстепени, или кубических уравнений.

1.Формула Тартальи – Кардано.

Уравнение вида

<img src="/cache/referats/26251/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1032">                                 (1)

называетсякубическим уравнением. Если мы вынесем за скобки коэффициент <img src="/cache/referats/26251/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> и сократим на неговыражение (1), то получим уравнение

<img src="/cache/referats/26251/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1034">                                               (2)

Пусть <img src="/cache/referats/26251/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> тогда выражение (2)можно переписать как

<img src="/cache/referats/26251/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1036">                                                        (3)    

Преобразуем это уравнение, положив

<img src="/cache/referats/26251/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

где <img src="/cache/referats/26251/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> – новое неизвестное.Подставив это выражение <img src="/cache/referats/26251/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> в наше уравнение, мыполучим кубическое уравнение относительно неизвестного <img src="/cache/referats/26251/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1040"><img src="/cache/referats/26251/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> окажется равным нулю.Коэффициентом при первой степени <img src="/cache/referats/26251/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> и свободным членомбудут соответственно числа,

<img src="/cache/referats/26251/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> и <img src="/cache/referats/26251/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

Уравнение сокращенно запишется в виде

<img src="/cache/referats/26251/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1045">                                                                  (4)

Действия, в результате которых уравнение (3) преобразуется вуравнение (4) были впервые осуществлены итальянским математиком ДжероламоКардано (1501–1576), о чем свидетельствует его труд «Великое искусство»вышедший в свет в 1545 году. На этом, собственно и заканчивается вклад данногоученого в способ решения кубичного уравнения, который несправедливо носилдолгое время имя «формулы Кардано». Дело в том, что способ решения уравнения(4) был открыт другим итальянским ученым Никколо Тарталья (1499–1557) 12февраля 1535 года, при подготовке к математическому поединку с неким Фиоре. Вотход его рассуждений.

Будем искать корень уравнения <img src="/cache/referats/26251/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

<img src="/cache/referats/26251/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

 где <img src="/cache/referats/26251/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> и <img src="/cache/referats/26251/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1049">  <img src="/cache/referats/26251/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> и  <img src="/cache/referats/26251/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

<img src="/cache/referats/26251/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

Если подставить выражения для <img src="/cache/referats/26251/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> и  <img src="/cache/referats/26251/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> в левую часть данногоуравнения, то получим

<img src="/cache/referats/26251/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

 Выполнив действия иприведя подобные получим выражение <img src="/cache/referats/26251/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> Теперь получается система 

<img src="/cache/referats/26251/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1057">

решая которую получим решения

<img src="/cache/referats/26251/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> и <img src="/cache/referats/26251/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

Теперь получаем формулу Тартальи:

<img src="/cache/referats/26251/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1060">                      (5)

 Каждый из входящих вформулу (5) кубичных радикалов имеет три значения. Произвольным образом ихкомбинировать нельзя. Оказывается, что для каждого значения первого радикаламожно указать одно единственное такое значение второго радикала, чтопроизведение их равно числу <img src="/cache/referats/26251/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1061">

Пусть

<img src="/cache/referats/26251/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1062">  <img src="/cache/referats/26251/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

тогда для каждого<img src="/cache/referats/26251/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> нужно взять такое <img src="/cache/referats/26251/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1065"><img src="/cache/referats/26251/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

 Именно эти двазначения радикалов и нужно складывать для того, чтобы получить кореньуравнения. Мы получим таким путем три корня нашего уравнения. Всякое кубическоеуравнение с любыми числовыми коэффициентами имеет, следовательно, три корня, вобщем случае комплексных; некоторые из этих корней могут, конечно, совпадать,т. е. превратиться в кратный корень (об этом подробно будет рассказано втретьем пункте данной работы).

2. Преобразование формулы Тартальи – Карданок наиболее удобному для вычислений виду.

Итак, поехали:

<img src="/cache/referats/26251/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1067">

Пусть <img src="/cache/referats/26251/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/26251/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/26251/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

<img src="/cache/referats/26251/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1071">

Отсюда получаем соответствующие значения v:

<img src="/cache/referats/26251/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1072">,

<img src="/cache/referats/26251/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1073">.

Таким образом, корни уравнения (5) можно находить по формулам

<img src="/cache/referats/26251/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1074">                                                  (6)

Если  в качестве <img src="/cache/referats/26251/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> взять

<img src="/cache/referats/26251/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

то формулы (6) примут самый удобный для вычислений вид:

<img src="/cache/referats/26251/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1077">                          (6*)

Теперь можно подумать и о написании программы…

3. Дискриминант кубического уравнения и егосвязь с корнями.

Выражение

<img src="/cache/referats/26251/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1078">

фигурирующие под квадратным корнем в формуле Тартальи –Кардано, часто называют дискриминантом кубического уравнения. Возможны трислучая:

<img src="/cache/referats/26251/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1079">

Рассмотрим эти случаи.

Если <img src="/cache/referats/26251/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1080">

<img src="/cache/referats/26251/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1081">

Так как <img src="/cache/referats/26251/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1082"><img src="/cache/referats/26251/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1083">  Следовательно,

<img src="/cache/referats/26251/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1084">

откуда в качестве одного из значений u получается следующее выражение:

<img src="/cache/referats/26251/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1085">.

Соответственно значение <img src="/cache/referats/26251/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> будет равно

<img src="/cache/referats/26251/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1087">

На основании формул (6*) получаем:

<img src="/cache/referats/26251/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1088">

Итак, если <img src="/cache/referats/26251/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/26251/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> имеет один простой иодин двукратный. Эти корни можно найти, не прибегая к извлечению квадратных икубических корней, а именно, их можно вычислять по формулам

<img src="/cache/referats/26251/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1091">                                 (7)

Теперь докажем, что если <img src="/cache/referats/26251/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

Предположим противное. Пусть уравнение имеет два корня,равных одному и тому же числу <img src="/cache/referats/26251/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1093"><img src="/cache/referats/26251/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

<img src="/cache/referats/26251/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

Значит, <img src="/cache/referats/26251/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> и

<img src="/cache/referats/26251/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1097">

Отсюда следует, что

<img src="/cache/referats/26251/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1098">

что противоречит условию <img src="/cache/referats/26251/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1099">

Если <img src="/cache/referats/26251/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1100">

Обращаясь к выражению

<img src="/cache/referats/26251/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1101">

легко усмотреть, что под кубическим корнем находится действительноечисло, так как<img src="/cache/referats/26251/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1102">u должно быть действительным. Примем егоза <img src="/cache/referats/26251/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1103"><img src="/cache/referats/26251/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1104"> будет тожедействительным. Отсюда на основании формул (6*) заключаем, что уравнение имееттолько один действительный корень. Остальные корни будут комплексными.

Теперь перейдем к рассмотрению самого интересного (на мойвзгляд, конечно же) случая, когда <img src="/cache/referats/26251/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1105">  u и  v  являются мнимыми. И, тем не менее, все три корня уравнения будутдействительными. В данном случае приходится переходить к тригонометрическойформе записи. Теоретически, через формулы косинуса тройного угла можно сделатьобратную замену и выразить значения корней уравнения через радикалы.Практически же, это приведет к появлению очень громоздких выражений.     Так как <img src="/cache/referats/26251/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1106"><img src="/cache/referats/26251/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1107"><img src="/cache/referats/26251/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1108"> – некотороедействительное положительное число. Тогда

<img src="/cache/referats/26251/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> .

Найдем модуль rи аргумент <img src="/cache/referats/26251/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> подкоренноговыражения.

<img src="/cache/referats/26251/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1111">,

<img src="/cache/referats/26251/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1112">.

Таким образом,

<img src="/cache/referats/26251/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1113">

Полагая последовательно k=0, 1, 2 получим все три значения u:

<img src="/cache/referats/26251/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1114">

Произведение комплексного числа на сопряженное емукомплексное число равно квадрату модуля. Руководствуясь этим, мы легкоопределим <img src="/cache/referats/26251/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1115"><img src="/cache/referats/26251/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1116">u=<img src="/cache/referats/26251/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1117">

Отсюда квадрат модуля u будет равен <img src="/cache/referats/26251/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1118"><img src="/cache/referats/26251/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1119">u  и  v  связаны тем же самым соотношением <img src="/cache/referats/26251/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1120"><img src="/cache/referats/26251/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1121">

<img src="/cache/referats/26251/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1122">

Теперь корни уравнения находятся без труда:

<img src="/cache/referats/26251/image163.gif" v:shapes="_x0000_i1123">                       (8)

4. Примеры.

Решить уравнение  <img src="/cache/referats/26251/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1124">

<img src="/cache/referats/26251/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1125">

Ответ –3:3.

Решить уравнение<img src="/cache/referats/26251/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1126">.

<img src="/cache/referats/26251/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1127">

<img src="/cache/referats/26251/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1128">

Ответ: 4; <img src="/cache/referats/26251/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1129"><img src="/cache/referats/26251/image177.gif" v:shapes="_x0000_i1130">

И в завершении разберем уравнение подробнее.

Решить уравнение:<img src="/cache/referats/26251/image179.gif" v:shapes="_x0000_i1131">

<img src="/cache/referats/26251/image181.gif" v:shapes="_x0000_i1132">

<img src="/cache/referats/26251/image183.gif" v:shapes="_x0000_i1133">

Ответ: 5, <img src="/cache/referats/26251/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1134">.

Заключение.

Так кому же принадлежит открытие общего способа решениякубических уравнений? Есть разные мнения. Согласно одному из них, способ общегорешения уравнения <img src="/cache/referats/26251/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> впервые был найденпрофессором университета в Болонье (Италия) Сципионом дель Ферро. Эта версиядовольно таки сомнительна. Дело в том, что у Ферро был ученик Фиоре, которыйутверждал, что знает способ решения кубического уравнения от своего учителя. НоНикколо Тарталья ещё раньше, в 1530 году, добился решения для некоторых частныхслучаев этого уравнения. Решения достались ему с большим трудом, и поэтому онне очень доверял заявлению Фиоре, о том, что ему известно решение, и считал этохвастовством. Оба математика держали в тайне свои способы решения. И вотТарталья, уверенный в победе, вызывает Фиоре на публичный математическийпоединок. Поединок назначают на 22 февраля 1535 года. В этот день обаматематика должны были явиться к нотариусу. Каждый должен был принести  30 задач и обменяться ими друг с другом вприсутствии нотариуса. На решение задач давалось 50 дней. Кто к концу этогосрока решит наибольшее число задач из 30, предложенных соперником, тот и будетсчитаться победителем и, сверх того, получит по 5 сольди за каждую задачу.

Между тем, незадолго до этого дня до Тартальи доходятслухи, что Фиоре действительно знает общий способ решения уравнений вида<img src="/cache/referats/26251/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1136">

Тарталья чувствует, что если это так, то Фиореобязательно предложит ему именно такие уравнения и останется победителем. ТогдаНикколо Тарталья, как пишет он в одном из своих сочинений «приложил все своервение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и мнеудалось сделать это за 10 дней до срока, т. е. 12 февраля, благодаря счастливойсудьбе». На самом деле, благодаря его исключительному таланту.

Предположение Тартальи подтвердилось. В назначенноевремя Фиоре передал своему сопернику 30 задач, которые все приводились к  уравнениям вида 

<img src="/cache/referats/26251/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1137">

Каково же было удивление всех, когда Тарталья все 30 задачрешил за 2 часа! Фиоре же не справился ни с одной из задач предложенныхТартальей и за 50 дней. Отсюда можно смело сделать вывод, что Фиоре не владелобщим способом решения кубических уравнений. Скорее всего, не владел им иФерро…

Тарталья собирался опубликовать свое открытие, но сдерживалего неприводимый случай кубического уравнения <img src="/cache/referats/26251/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1138"><img src="/cache/referats/26251/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> невозможно.

Впоследствии Кардано удалось обманом получить у Тартальиспособ решения кубических уравнений и вероломно, в нарушение всех клятвопубликовать его в своем труде «Великое искусство». Заслугой Джероламо Карданобыло то, что, овладев решением уравнения <img src="/cache/referats/26251/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1140"><img src="/cache/referats/26251/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1141">. Оказалось, что если <img src="/cache/referats/26251/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> заменить через <img src="/cache/referats/26251/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1143">

История оказалась несправедливой по отношению к Тарталье –способ решения кубического уравнения долго был известен в математике подназванием «формулы Кардано».

                                                                                            Список литературы.

1.<span Times New Roman"">     

2.<span Times New Roman"">     

3.<span Times New Roman"">     

  Алгебра: Александров П. С., Маркушевич А. И.,Хинчин А. Я. – М.: Государственное издательство технико-теоретическойлитературы, 1951.

4.<span Times New Roman"">     

еще рефераты
Еще работы по математике