Реферат: Определитель прямоугольных матриц. Теорема Коши - Бине
Федеральное агентство по образованию
МурманскийГосударственный Педагогический Университет
Факультетприкладной математики, программирования и экономики
Кафедраалгебры, геометрии и прикладной математики
Курсоваяработа
на тему:
Определитель произведения прямоугольных матриц.
Теорема Коши-Бине.
Выполнила студентка
IIкурса группыПМИ
Решоткина Наталья Николаевна
Научный руководитель:
кандидат физико-математических
наук, доцент кафедры АГ и ПМ
Мостовской Александр Павлович
Мурманск
2007
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">TOCo «1-3» h z u Введение. PAGEREF _Toc169771091 h 4
Глава I. PAGEREF _Toc169771092 h 5
§ 1 Определение, обозначения и типы матриц. PAGEREF _Toc169771093 h 5
Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:PAGEREF _Toc169771094 h 7
Глава II. PAGEREF _Toc169771095 h 7
§1 Умножение матриц. PAGEREF _Toc169771096 h 7
§2 Свойства умножения матриц. PAGEREF _Toc169771097 h 8
§3 Техника матричного умножения. PAGEREF _Toc169771098 h 9
§4 Транспонирование произведения матриц. PAGEREF _Toc169771099 h 10
Глава III. PAGEREF _Toc169771100 h 10
§1 Обратимые матрицы… PAGEREF _Toc169771101 h 10
§2 Элементарные матрицы… PAGEREF _Toc169771102 h 12
Глава IV… PAGEREF _Toc169771103 h 13
§1 Определители. PAGEREF _Toc169771104 h 13
§2 Простейшие свойства определителей. PAGEREF _Toc169771105 h 14
§3 Основные свойства определителей. PAGEREF _Toc169771106 h 14
§4 Миноры и алгебраические дополнения.PAGEREF _Toc169771107 h 18
Теоремы об определителях.PAGEREF _Toc169771108 h 18
§5 Определитель произведение матриц. PAGEREF _Toc169771109 h 21
Необходимые и достаточные условия равенстваопределителя нулю… PAGEREF _Toc169771110 h 22
§6 Разбиение матриц. PAGEREF _Toc169771111 h 23
§7 Теорема (формула Бине-Коши)PAGEREF _Toc169771112 h 25
Заключение. PAGEREF _Toc169771113 h 28
Литература. PAGEREF _Toc169771114 h 30
Приложение. PAGEREF _Toc169771115 h 31
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:Arial; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA; mso-bidi-font-style:italic">Введение
При решенииразличных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел,называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейныхуравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачикомпьютерной графики и другие инженерные задачи.
Цель даннойработы: теоретическое обоснование и необходимость практического применениятеоремы Коши-Бине:
Пусть <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">,<img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> — <img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> и <img src="/cache/referats/25766/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">-матрицы соответственно, <img src="/cache/referats/25766/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/25766/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">
Тогда <img src="/cache/referats/25766/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">
Другимисловами, при <img src="/cache/referats/25766/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> определитель матрицы <img src="/cache/referats/25766/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> является суммойпроизведений всевозможных миноров порядка <img src="/cache/referats/25766/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> в <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> на соответствующиеминоры матрицы <img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> того же самого порядка
Работа состоит из четырех глав, содержит заключение,список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе Iрассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операциинад матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава IIпосвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонированиепроизведения двух матриц. В главе IIIрассматриваютсяобратимые и элементарные матрицы. В главе IVвводитьсяпонятие определителя квадратной матрицы,рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательствотеоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагаетсяпрограмма показывающая механизм нахождения определителя произведения двухматриц.
Глава I§ 1 Определение, обозначения и типы матриц
Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:
<img src="/cache/referats/25766/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1037">
Гдеэлементы матрицы aij(1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля<img src="/cache/referats/25766/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1038">.Для наших целей поле <img src="/cache/referats/25766/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> будет либо множествомвсех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы <img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1040">, где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят,что матрица квадратная, порядка n. В общемслучаем матрица называется прямоугольной.
Каждой<img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> матрице <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> с элементами aijсоответствует n×mматрица сэлементами aji. Она называетсятранспонированной к <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> и обозначается через<img src="/cache/referats/25766/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1044"><img src="/cache/referats/25766/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1045">=<img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1046">. Строки матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> становятсястолбцами в <img src="/cache/referats/25766/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> и столбцы матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> становятся строками в<img src="/cache/referats/25766/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
Матрицаназывается нулевой если все элементы равны 0:
<img src="/cache/referats/25766/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1051">
Матрицаназывается треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главнойдиагонали равны 0
<img src="/cache/referats/25766/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1052">
Треугольнаяматрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главнойдиагонали равны 0
<img src="/cache/referats/25766/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1053">
Диагональнойматрица называется единичной, если все элементы расположенные на главнойдиагонали равны 1
<img src="/cache/referats/25766/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1054">
Матрица,составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранныхстрок матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> и нескольких выбранныхстолбцов, называется субматрицей для матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1056"><img src="/cache/referats/25766/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/25766/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1058">
<img src="/cache/referats/25766/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1059">
Вчастности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.
§2Операции над матрицами
Определимследующие операции:
<span Times New Roman""> I.<span Times New Roman"">
Сумма двух <img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> матриц <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> <img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> с элементами <img src="/cache/referats/25766/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> и <img src="/cache/referats/25766/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> матрица С с элементами <img src="/cache/referats/25766/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1066"><img src="/cache/referats/25766/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><span Times New Roman""> II.<span Times New Roman"">
Произведениематрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> на число <img src="/cache/referats/25766/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/25766/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1070"><img src="/cache/referats/25766/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1071"><img src="/cache/referats/25766/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><span Times New Roman""> III.<span Times New Roman"">
Произведение <img src="/cache/referats/25766/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1074"><img src="/cache/referats/25766/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1075"><img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1076"><img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1077">матрица С с элементами <img src="/cache/referats/25766/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1078"><img src="/cache/referats/25766/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1079"><span Times New Roman""> IV.<span Times New Roman"">
<img src="/cache/referats/25766/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> поле скаляров,рассмотрим <img src="/cache/referats/25766/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1081"><img src="/cache/referats/25766/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1082"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1084"><img src="/cache/referats/25766/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><img src="/cache/referats/25766/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1086"><img src="/cache/referats/25766/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1087"><img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1088"><img src="/cache/referats/25766/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1090"><img src="/cache/referats/25766/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1091"><img src="/cache/referats/25766/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1092"><img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> матриц над полем <img src="/cache/referats/25766/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1094">Опр.Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местахрасположены одинаковые элементы. Другими словами: <img src="/cache/referats/25766/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1095"> равна матрице <img src="/cache/referats/25766/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1096"><img src="/cache/referats/25766/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1097">
Опр.Пусть <img src="/cache/referats/25766/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1099"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> и <img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> называется <img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1102"><img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1103"><img src="/cache/referats/25766/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1104"> столбце расположенэлемент <img src="/cache/referats/25766/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1105"><img src="/cache/referats/25766/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1106">
Пример:
<img src="/cache/referats/25766/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1107">
Опр.Пусть <img src="/cache/referats/25766/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1108"><img src="/cache/referats/25766/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1109"><img src="/cache/referats/25766/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1110"><img src="/cache/referats/25766/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1111"> на матрицу <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1112"> называется <img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> у которой в <img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1114"><img src="/cache/referats/25766/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> столбце расположенэлемент <img src="/cache/referats/25766/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1116"><img src="/cache/referats/25766/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> умножить на матрицу <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> нужно все элементыматрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> умножить на скаляр <img src="/cache/referats/25766/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
Определение.Противоположной к матрице <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1121"> называется матрица <img src="/cache/referats/25766/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1122">
Свойства сложения иумножения матриц на скаляры:<img src="/cache/referats/25766/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1123">
1) Сложение матриц <img src="/cache/referats/25766/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> ассоциативно икоммутативно.
2) <img src="/cache/referats/25766/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1125">
3) <img src="/cache/referats/25766/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1126">
а) <img src="/cache/referats/25766/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1127">
б) <img src="/cache/referats/25766/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1128">
4) <img src="/cache/referats/25766/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1129">
Глава II§1 Умножение матриц<img src="/cache/referats/25766/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1130"><img src="/cache/referats/25766/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1131">
<img src="/cache/referats/25766/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1132"><img src="/cache/referats/25766/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1133">
Опр.Произведением <img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> на <img src="/cache/referats/25766/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1136"> матрицу <img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> называется <img src="/cache/referats/25766/image163.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> матрица <img src="/cache/referats/25766/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1139"><img src="/cache/referats/25766/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1140"><img src="/cache/referats/25766/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1141">
<img src="/cache/referats/25766/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> <img src="/cache/referats/25766/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1143">
Говорят,что <img src="/cache/referats/25766/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1144"> есть скалярноепроизведение <img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1145"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1146"> на <img src="/cache/referats/25766/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1148">
<img src="/cache/referats/25766/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1149"><img src="/cache/referats/25766/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1150">
Пример:
<img src="/cache/referats/25766/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1151">
§2 Свойства умножения матриц1.<span Times New Roman"">
Умножение матриц ассоциативно:1)<img src="/cache/referats/25766/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> <img src="/cache/referats/25766/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1153"><img src="/cache/referats/25766/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> и <img src="/cache/referats/25766/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1155">
Доказательство:
Пусть<img src="/cache/referats/25766/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1156"><img src="/cache/referats/25766/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1157"><img src="/cache/referats/25766/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1158"> и определено <img src="/cache/referats/25766/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1159"><img src="/cache/referats/25766/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1160">
Определимматрицы:
а)<img src="/cache/referats/25766/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1161">
б)<img src="/cache/referats/25766/image199.gif" v:shapes="_x0000_i1162">
<img src="/cache/referats/25766/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1163"> (1) матрицы, тогда <img src="/cache/referats/25766/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1164"> имеют одинаковуюразмерность
2)Покажем, что на одинаковых местах в матрицах <img src="/cache/referats/25766/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> расположены одинаковыеэлементы
<img src="/cache/referats/25766/image205.gif" v:shapes="_x0000_i1166"><img src="/cache/referats/25766/image207.gif" v:shapes="_x0000_i1167"><img src="/cache/referats/25766/image209.gif" v:shapes="_x0000_i1168"><img src="/cache/referats/25766/image211.gif" v:shapes="_x0000_i1169">
<img src="/cache/referats/25766/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1170">
<img src="/cache/referats/25766/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1171"><img src="/cache/referats/25766/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1172"><img src="/cache/referats/25766/image219.gif" v:shapes="_x0000_i1173">
<img src="/cache/referats/25766/image221.gif" v:shapes="_x0000_i1174">
Вывод:Матрицы <img src="/cache/referats/25766/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> имеют одинаковуюразмерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
2.<span Times New Roman"">
Умножение матриц дистрибутивно <img src="/cache/referats/25766/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1176"><img src="/cache/referats/25766/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1177">Доказательство:
<img src="/cache/referats/25766/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1178"> так как определено <img src="/cache/referats/25766/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1179"><img src="/cache/referats/25766/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1180"> и определено <img src="/cache/referats/25766/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1181"><img src="/cache/referats/25766/image235.gif" v:shapes="_x0000_i1182">
<img src="/cache/referats/25766/image237.gif" v:shapes="_x0000_i1183">
<img src="/cache/referats/25766/image239.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> размерности
Матрицы<img src="/cache/referats/25766/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1185"> имеют одинаковуюразмерность, покажем расположение одинаковых элементов:
<img src="/cache/referats/25766/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/25766/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1187">
<img src="/cache/referats/25766/image245.gif" v:shapes="_x0000_i1188"><img src="/cache/referats/25766/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1189">
Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковыеэлементы.
3. <img src="/cache/referats/25766/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1190"><img src="/cache/referats/25766/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1191"><img src="/cache/referats/25766/image251.gif" v:shapes="_x0000_i1192"> матрицы, тодоказательство проводим аналогично свойству 2.
4. <img src="/cache/referats/25766/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1193"><img src="/cache/referats/25766/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1194"><img src="/cache/referats/25766/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1195"><img src="/cache/referats/25766/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1196">
Доказательство:
<img src="/cache/referats/25766/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1197"> <img src="/cache/referats/25766/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1198"><img src="/cache/referats/25766/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1199"><img src="/cache/referats/25766/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1200">
<img src="/cache/referats/25766/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1201"><img src="/cache/referats/25766/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1202"><img src="/cache/referats/25766/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1203">
<img src="/cache/referats/25766/image273.gif" v:shapes="_x0000_i1204">
<img src="/cache/referats/25766/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1205"><img src="/cache/referats/25766/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1206"><img src="/cache/referats/25766/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1207">
5.Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:
<img src="/cache/referats/25766/image281.gif" v:shapes="_x0000_i1208"><img src="/cache/referats/25766/image283.gif" v:shapes="_x0000_i1209"><img src="/cache/referats/25766/image285.gif" v:shapes="_x0000_i1210">
§3 Техника матричногоумножения<img src="/cache/referats/25766/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1211"> поле скаляров, <img src="/cache/referats/25766/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1212"><img src="/cache/referats/25766/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1213">
Свойства:
1)<span Times New Roman"">
Произведение <img src="/cache/referats/25766/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1214"> можно рассматривать,как результат умножения столбцов матрицы <img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1215"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1216"> слева и как результатумножения строк матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1217"> на <img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1218"> справа.<img src="/cache/referats/25766/image289.gif" v:shapes="_x0000_i1219">
<img src="/cache/referats/25766/image291.gif" v:shapes="_x0000_i1220">
2)<span Times New Roman"">
Пусть <img src="/cache/referats/25766/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1221"> матрица <img src="/cache/referats/25766/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1222"><img src="/cache/referats/25766/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1223"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1224"> коэффициенты которойслужат элементы матрицы <img src="/cache/referats/25766/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1225">Пример
<img src="/cache/referats/25766/image301.gif" v:shapes="_x0000_i1226">
Пусть <img src="/cache/referats/25766/image303.gif" v:shapes="_x0000_i1227"><img src="/cache/referats/25766/image305.gif" v:shapes="_x0000_i1228"><img src="/cache/referats/25766/image307.gif" v:shapes="_x0000_i1229"><img src="/cache/referats/25766/image309.gif" v:shapes="_x0000_i1230"> коэффициенты которойслужат элементы матрицы <img src="/cache/referats/25766/image303.gif" v:shapes="_x0000_i1231">
Пример:
<img src="/cache/referats/25766/image312.gif" v:shapes="_x0000_i1232">
3)<span Times New Roman"">
Столбцы матрицы <img src="/cache/referats/25766/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1233"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1234"><img src="/cache/referats/25766/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1235"><img src="/cache/referats/25766/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1236">§4 Транспонированиепроизведения матриц<img src="/cache/referats/25766/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1237"> поле скаляров, <img src="/cache/referats/25766/image317.gif" v:shapes="_x0000_i1238"><img src="/cache/referats/25766/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1239"><img src="/cache/referats/25766/image320.gif" v:shapes="_x0000_i1240"><img src="/cache/referats/25766/image322.gif" v:shapes="_x0000_i1241">
Теорема
<img src="/cache/referats/25766/image324.gif" v:shapes="_x0000_i1242"> если <img src="/cache/referats/25766/image326.gif" v:shapes="_x0000_i1243"><img src="/cache/referats/25766/image328.gif" v:shapes="_x0000_i1244"> <img src="/cache/referats/25766/image330.gif" v:shapes="_x0000_i1245"><img src="/cache/referats/25766/image332.gif" v:shapes="_x0000_i1246">
Доказательство:
<img src="/cache/referats/25766/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1247"> 1) Пусть <img src="/cache/referats/25766/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1248"><img src="/cache/referats/25766/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1249">
<img src="/cache/referats/25766/image337.gif" v:shapes="_x0000_i1250"> — размерности <img src="/cache/referats/25766/image339.gif" v:shapes="_x0000_i1251"><img src="/cache/referats/25766/image341.gif" v:shapes="_x0000_i1252"><img src="/cache/referats/25766/image339.gif" v:shapes="_x0000_i1253"><img src="/cache/referats/25766/image344.gif" v:shapes="_x0000_i1254"><img src="/cache/referats/25766/image346.gif" v:shapes="_x0000_i1255">
2)<img src="/cache/referats/25766/image348.gif" v:shapes="_x0000_i1256"><img src="/cache/referats/25766/image350.gif" v:shapes="_x0000_i1257"><img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1258"><img src="/cache/referats/25766/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1259"><img src="/cache/referats/25766/image354.gif" v:shapes="_x0000_i1260"> т.е <img src="/cache/referats/25766/image356.gif" v:shapes="_x0000_i1261">
<img src="/cache/referats/25766/image358.gif" v:shapes="_x0000_i1262"><img src="/cache/referats/25766/image360.gif" v:shapes="_x0000_i1263"><img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1264"><img src="/cache/referats/25766/image362.gif" v:shapes="_x0000_i1265"> на <img src="/cache/referats/25766/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1266"> столбец <img src="/cache/referats/25766/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1267"><img src="/cache/referats/25766/image365.gif" v:shapes="_x0000_i1268">
<img src="/cache/referats/25766/image367.gif" v:shapes="_x0000_i1269"><img src="/cache/referats/25766/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1270">
Глава III§1 Обратимые матрицы<img src="/cache/referats/25766/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1271"> поле скаляров,множество <img src="/cache/referats/25766/image370.gif" v:shapes="_x0000_i1272"><img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1273">
Определение.Квадратная матрица <img src="/cache/referats/25766/image373.gif" v:shapes="_x0000_i1274"> порядка <img src="/cache/referats/25766/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1275"> называется единичнойматрицей <img src="/cache/referats/25766/image375.gif" v:shapes="_x0000_i1276"><img src="/cache/referats/25766/image377.gif" v:shapes="_x0000_i1277">
Пусть<img src="/cache/referats/25766/image317.gif" v:shapes="_x0000_i1278"><img src="/cache/referats/25766/image380.gif" v:shapes="_x0000_i1279">
Теорема 1
<img src="/cache/referats/25766/image375.gif" v:shapes="_x0000_i1280"><img src="/cache/referats/25766/image382.gif" v:shapes="_x0000_i1281"> выполняется <img src="/cache/referats/25766/image384.gif" v:shapes="_x0000_i1282">
Доказательство:
<img src="/cache/referats/25766/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1283">
<img src="/cache/referats/25766/image387.gif" v:shapes="_x0000_i1284">
<img src="/cache/referats/25766/image389.gif" v:shapes="_x0000_i1285">
Изэтого следует <img src="/cache/referats/25766/image384.gif" v:shapes="_x0000_i1286"><img src="/cache/referats/25766/image373.gif" v:shapes="_x0000_i1287"> является единичнойматрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.
Определение. Квадратная матрица <img src="/cache/referats/25766/image392.gif" v:shapes="_x0000_i1288"><img src="/cache/referats/25766/image394.gif" v:shapes="_x0000_i1289"> так, что выполняютсяусловия <img src="/cache/referats/25766/image396.gif" v:shapes="_x0000_i1290">
Матрица<img src="/cache/referats/25766/image309.gif" v:shapes="_x0000_i1291"> называется обратной к <img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1292"> обозначается <img src="/cache/referats/25766/image401.gif" v:shapes="_x0000_i1293"><img src="/cache/referats/25766/image309.gif" v:shapes="_x0000_i1294"><img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1295"><img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1296"> обратная к <img src="/cache/referats/25766/image309.gif" v:shapes="_x0000_i1297"><img src="/cache/referats/25766/image406.gif" v:shapes="_x0000_i1298"><img src="/cache/referats/25766/image396.gif" v:shapes="_x0000_i1299">
Теорема 2
Если<img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1300"><img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1301">
Доказательство:
<img src="/cache/referats/25766/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1302"> Пусть дана матрица <img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1303"><img src="/cache/referats/25766/image409.gif" v:shapes="_x0000_i1304"><img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1305"> т.е. <img src="/cache/referats/25766/image411.gif" v:shapes="_x0000_i1306"><img src="/cache/referats/25766/image413.gif" v:shapes="_x0000_i1307">
<img src="/cache/referats/25766/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1308">
Обозначение:Множество всех обратимых матриц порядка <img src="/cache/referats/25766/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1309"> над полем <img src="/cache/referats/25766/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1310"> обозначается <img src="/cache/referats/25766/image418.gif" v:shapes="_x0000_i1311">
Теорема 3
Справедливыутверждения:
1)<img src="/cache/referats/25766/image420.gif" v:shapes="_x0000_i1312"> алгебра
2)<img src="/cache/referats/25766/image420.gif" v:shapes="_x0000_i1313"> группа
Доказательство:
<img src="/cache/referats/25766/image423.gif" v:shapes="_x0000_i1314"><img src="/cache/referats/25766/image425.gif" v:shapes="_x0000_i1315">
а)Пусть <img src="/cache/referats/25766/image427.gif" v:shapes="_x0000_i1316"><img src="/cache/referats/25766/image429.gif" v:shapes="_x0000_i1317"> <img src="/cache/referats/25766/image425.gif" v:shapes="_x0000_i1318">
<img src="/cache/referats/25766/image431.gif" v:shapes="_x0000_i1319"> обратные к <img src="/cache/referats/25766/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1320">
Аналогично:<img src="/cache/referats/25766/image434.gif" v:shapes="_x0000_i1321"><img src="/cache/referats/25766/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1322"> обратимая матрица т.е <img src="/cache/referats/25766/image425.gif" v:shapes="_x0000_i1323">
б)<img src="/cache/referats/25766/image437.gif" v:shapes="_x0000_i1324"><img src="/cache/referats/25766/image439.gif" v:shapes="_x0000_i1325"><img src="/cache/referats/25766/image441.gif" v:shapes="_x0000_i1326">
в)<img src="/cache/referats/25766/image443.gif" v:shapes="_x0000_i1327"> обратима т.е <img src="/cache/referats/25766/image445.gif" v:shapes="_x0000_i1328">
<img src="/cache/referats/25766/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1329">
2)Докажем второе утверждение, что <img src="/cache/referats/25766/image420.gif" v:shapes="_x0000_i1330"> группа. Для этогопроверим аксиомы групп:
1)<img src="/cache/referats/25766/image448.gif" v:shapes="_x0000_i1331">
2)<img src="/cache/referats/25766/image450.gif" v:shapes="_x0000_i1332">
3)<img src="/cache/referats/25766/image452.gif" v:shapes="_x0000_i1333">
<img src="/cache/referats/25766/image454.gif" v:shapes="_x0000_i1334"> группа
<img src="/cache/referats/25766/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1335">
Следствие:
1)<span Times New Roman"">
Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица2)<span Times New Roman"">
Если <img src="/cache/referats/25766/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1336"> обратима, то <img src="/cache/referats/25766/image439.gif" v:shapes="_x0000_i1337">3)<span Times New Roman"">
<img src="/cache/referats/25766/image458.gif" v:shapes="_x0000_i1338">4)<span Times New Roman"">
<img src="/cache/referats/25766/image460.gif" v:shapes="_x0000_i1339">§2 Элементарные матрицыПусть <img src="/cache/referats/25766/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1340"> поле скаляров
Определение.Элементарной матрицей называется матрица, полученнаяиз единичной матрицы <img src="/cache/referats/25766/image462.gif" v:shapes="_x0000_i1341"> в результате одного изследующих элементарных преобразований:
1)<span Times New Roman"">
Умножение строки (столбца) <img src="/cache/referats/25766/image462.gif" v:shapes="_x0000_i1342"> на скаляр <img src="/cache/referats/25766/image464.gif" v:shapes="_x0000_i1343">2)<span Times New Roman"">
Прибавление к какой либо строке (столбцу) <img src="/cache/referats/25766/image462.gif" v:shapes="_x0000_i1344"> другой строки(столбца), умноженный на скаляр <img src="/cache/referats/25766/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1345">Обозначение: <img src="/cache/referats/25766/image467.gif" v:shapes="_x0000_i1346"><img src="/cache/referats/25766/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1347"> <img src="/cache/referats/25766/image469.gif" v:shapes="_x0000_i1348"><img src="/cache/referats/25766/image462.gif" v:shapes="_x0000_i1349">
<img src="/cache/referats/25766/image471.gif" v:shapes="_x0000_i1350"><img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1351">
<img src="/cache/referats/25766/image473.gif" v:shapes="_x0000_i1352"><img src="/cache/referats/25766/image469.gif" v:shapes="_x0000_i1353"><img src="/cache/referats/25766/image462.gif" v:shapes="_x0000_i1354"> <img src="/cache/referats/25766/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1355"><img src="/cache/referats/25766/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1356">
<img src="/cache/referats/25766/image476.gif" v:shapes="_x0000_i1358"><img src="/cache/referats/25766/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1359">
Пример: Элементарные матрицы порядка 2
<img src="/cache/referats/25766/image478.gif" v:shapes="_x0000_i1360"><img src="/cache/referats/25766/image480.gif" v:shapes="_x0000_i1361"><img src="/cache/referats/25766/image482.gif" v:shapes="_x0000_i1362"><img src="/cache/referats/25766/image484.gif" v:shapes="_x0000_i1363"><img src="/cache/referats/25766/image486.gif" v:shapes="_x0000_i1364">
Обозначение: <img src="/cache/referats/25766/image488.gif" v:shapes="_x0000_i1365"><img src="/cache/referats/25766/image462.gif" v:shapes="_x0000_i1366"> <img src="/cache/referats/25766/image491.gif" v:shapes="_x0000_i1367">
Глава IV§1 ОпределителиОпределитель матрицы <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1368"><img src="/cache/referats/25766/image494.gif" v:shapes="_x0000_i1369"><img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1370"><img src="/cache/referats/25766/image496.gif" v:shapes="_x0000_i1371"> умноженная на знак,соответствующей подстановки.
Пример
<img src="/cache/referats/25766/image498.gif" v:shapes="_x0000_i1372">
<img src="/cache/referats/25766/image500.gif" v:shapes="_x0000_i1373">
Определительвторого порядка равен произведению элементов главной диагонали вычестьпроизведение элементов на побоичной.
Для<img src="/cache/referats/25766/image502.gif" v:shapes="_x0000_i1374">
<img src="/cache/referats/25766/image504.gif" v:shapes="_x0000_i1375">
Получилиправило треугольника:
SHAPE * MERGEFORMAT <img src="/cache/referats/25766/image505.gif" v:shapes="_x0000_s1027 _x0000_s1026 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046">
§2 Простейшие свойства определителей1)<span Times New Roman"">
Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом)равен нулю2)<span Times New Roman"">
Определитель треугольной матрицы равен произведениюэлементов, расположенных на главной диагонали<img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1376">
Определительдиагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главнойдиагонали. Матрица <img src="/cache/referats/25766/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1377"> диагональная если всеэлементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.
</p