Реферат: Метод релаксации переменных при решении систем линейных уравнений

Вступ

Бурхливий розвитокновітньої техніки й все більше впровадження сучасних розділів математикинезмірно підвищили вимоги до математичної підготовки фахівців і вдосконалюваннютехніки програмування. Програмістам, що займаються прикладним, системним або Webпрограмуванням необхідно чітко бачити алгоритм створюваного проекту, будь тетекстовий процесор або серйозна операційна система. Математичне утворення даєпрограмістові можливість простіше й оптимальніше побудувати як сам алгоритм,так і програму.

Сьогодні серйознікомпанії працюють над новими мовами програмування й засобами реалізації коду.Так, завдяки Б.Страуструпу було уведено об’єктно — орієнтоване програмування, створений їм мова C++ відкрив передпрограмістами нові обрії. Але час не коштує на місці й C++ перестає бутипопулярним, на зміну йому приходить JAVA, що має винятково класову структуру,написані на ньому програми займають менший об'єм пам'яті й виконуються набагатошвидше. Але деякі мови не мають об’єктно — орієнтованої структури еволюціонувалий представляють саму перспективну галузь серед інших мов, такими мовами єDelphi (Остання версія якого — 2006), Visual Basic 2005(Visual Studio 2005).

У своєму проекті я будувикористовувати Borland C++ версії 4.5, тому що вважаю його найбільш оптимальнимдля поставленої мною задачі.

1.1Загальна характеристика методів рішення систем лінійних рівнянь.

Способи вирішення системлінійних рівнянь в основному розділяються на дві групи: 1) точні методи, що представляють собою кінцеві алгоритми дляобчислення корінь системи ( до таких методів ставляться: правило Крамера, методГаусса, метод головних елементів, метод квадратних корінь і ін.), і 2) ітераційні методи, що дозволяютьодержувати корінь системи із заданою точністю, шляхом збіжних нескінченнихпроцесів (до їхнього числа належать метод ітерацій, метод Зейделя, метод релаксації і ін.).

Внаслідок неминучихокруглень результати навіть точних методів є наближеними, причому оцінкапогрішностей корінь у загальному випадку скрутна. При використанні ітераційнихпроцесів, поверх того, додається погрішність методу.

Однак ефективнезастосування ітераційних методів істотно залежить від вибору початковогонаближення й швидкості збіжності процесу.

1.2 Методрелаксації змінних систем лінійних рівнянь

П.З.:

Дана система лінійних рівнянь, необхідно знайти <img src="/cache/referats/24968/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> та ін.

Нехай маємо наступну систему лінійних рівнянь:

<img src="/cache/referats/24968/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> (1)

Перетворимо цю систему в такий спосіб: перенесемовільні члени ліворуч і розділимо перше рівняння на — <img src="/cache/referats/24968/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/24968/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> і т.д. Тоді одержимосистему, приготовлену до релаксації,

<img src="/cache/referats/24968/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> (2)

де

Нехай <img src="/cache/referats/24968/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> початкове наближеннярішення системи (2). Підставляючи ці значення в систему (2), одержимо нев'язання

<img src="/cache/referats/24968/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> (3)

Якщо однієї з невідомих <img src="/cache/referats/24968/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> дати приріст <img src="/cache/referats/24968/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/24968/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> зменшиться на величину<img src="/cache/referats/24968/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/24968/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> збільшаться навеличини <img src="/cache/referats/24968/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1040"><img src="/cache/referats/24968/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> в 0, досить величині <img src="/cache/referats/24968/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> дати приріст

і ми будемо мати:

Метод релаксації (по-російському: ослаблення) уйого найпростішій формі полягає в тім, що на кожному кроці перетворюють у нульмаксимальну по модулі нев'язання шляхом зміни значень відповідного компонентанаближення. Процес закінчується, коли всі нев'язання останньої перетвореноїсистеми будуть рівні 0 із заданою точністю. Питання про збіжність цього процесуми залишаємо без розгляду .

1.3 Використання методарелаксації змінних в системах лінійних рівнянь на прикладі

Приклад.Методом релаксаціївирішити систему

<img src="/cache/referats/24968/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> (4)

роблячи обчислення із двома десятковими знаками.

Рішення. Приводимо систему (4) довиду, зручному для релаксації

Вибираючи як початкові наближення корінь нульовізначення

Знаходимо відповідні їм нев'язку

Відповідно до загальної теорії думаємо:

Звідси одержуємо нев'язку

0,60

0,70

0,80

0,16

-0,80

0,76

0,86

0,17

0,86

-0,86

0,09

0,93

0,09

0,93

-0,93

0,09

0,18

0,04

-0,18

0,04

0,13

0,03

-0,13

0,01

0,07

0,01

-0,07

0,01

0,02

-0,02

0,01

-0,01

1,00

Далі, думаємо

і т.д. Відповідні результати обчислень наведені втаблиці.

Підсумовуючи всі прирости <img src="/cache/referats/24968/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1061">

Для контролю підставляємо знайдені значення коріньу вихідні рівняння; у цьому випадку система вирішена точно.

Висновки

Я навчився розв’язувати системи лінійнихрівнянь методом релаксації змінних, та закріпив отримані навички розробкоюпрограми на мові BorlandC++ 4.5.

Додаток А

Вирішити систему лінійних рівнянь методомрелаксації змінних.

Лістинг програми 1.1:

#include<iostream.h>

#include<math.h>

int maximal(int n,double R0[]);

void main(){

int i,j,n,f,k,iter;

double S,det;

cout<<«Введитеразмерность матрицы(матрица должна быть квадратной)= »;cin>>n;

double *x=new double [n];

double **b=new double *[n];

for(i=0;i<n;i++)

b[i]=new double[n+1];

double **a=new double *[n];

for(i=0;i<n;i++)

a[i]=new double[n+1];

cout<<«Введитеколичество итераций:»;

cin>>iter;

cout<<«Введитерасширенную матрицу:n»;

for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<=n;j++)

cin>>b[i][j];

}

cout<<«Подготавливаюматрицу к релаксации...n»;

for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<n;j++)

a[i][j]=-b[i][j]/b[i][i];

a[i][n]=b[i][n]/b[i][i];

}

for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<n+1;j++)

cout<<" "<<a[i][j]<<" ||";

cout<<«n»;

}

double *x0=new double [n];

for(i=0;i<n;i++)

x[i]=0.0;

double *R0=new double [n];

cout<<«Введитезначения начальных приближений:n»;

for(i=0;i<n;i++)

cin>>x0[i];

S=0.0;

for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<n;j++)

S=S+a[i][j]*x0[i];

}

for(i=0;i<n;i++){

R0[i]=a[i][n]-x0[i]+S;

cout<<«R(»<<i<<")="<<R0[i]<<"| ";

}

f=maximal(n,R0);

det=R0[f];

for(k=0;k<iter;k++){

cout<<«det{»<<k<<"}="<<det<<«n»;

for(i=0;i<n;i++){

if(i!=f)R0[i]=R0[i]+a[i][f]*det;

else R0[i]=R0[i]-det;

}

for(i=0;i<n;i++)

cout<<«R[»<<i+1<<"]="<<R0[i]<<" ";

x[f]=x[f]+det;

f=maximal(n,R0);

det=R0[f];

}

cout<<«n»;

for(i=0;i<n;i++)

cout<<«X{»<<i+1<<"}="<<x[i]<<«n»;

delete []x;

delete []R0;

delete []x0;

delete []a;

}

int maximal(int n,double R0[]){

int i,f;

f=0.0;

for(i=0;i<n-1;i++){

if(R0[i+1]>R0[i]) f=i+1;

}

return f;

}

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Графовые модели. Остов минимального веса

20 Июня 2015

Реферат по математике

Элементы теории множеств

20 Июня 2015

Реферат по математике

Определитель прямоугольных матриц. Теорема Коши - Бине

29 Августа 2013

Реферат по математике

Задачи оптимизации и методы их решения. Обзор

29 Августа 2013