Реферат: Дзета-функция Римана

Министерство образования РоссийскойФедерации

Ставропольский Государственныйуниверситет

Кафедра математического анализа

Курсоваяработа на тему:

<span Monotype Corsiva"">«Дзета-функцияРимана»

Выполнил:студент  2го курса ФМФ группы«Б» Симонян Сергей Олегович

Ставрополь, <st1:metricconverter ProductID=«2004 г» w:st=«on»>2004 г</st1:metricconverter>.

Введение.

Функция – одно из основных понятий во всехестественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получаютинтуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знанийпополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная,показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики кругизвестных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные игиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции),тета-функции, функции Якоби и многие другие.

Что же такое функция? Строгого определения длянеё не существует. Это понятие является в математике первичным,аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которомукаждому элементу какого-то множества Xставитсяв соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества Xназываются аргументами,а множества Y– значениями функции.Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называетсяоднозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции являетсятермин «отображение». В простейшем случае множество X  может бытьподмножеством поля действительных Rили комплексных Cчисел. Тогда функцияназывается числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами:словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будемрассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря натакое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она можетбыть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различнымтеоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функцииРимана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в наукувеликий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие еёсвойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математикБернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовалнесколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них онраспространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл еёаналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньшихзаданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участиемфункции <img src="/cache/referats/17558/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> и высказал своюгипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которойбезрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.

 Научнаяобщественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетныхзадач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижскойматематической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки ирассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем,подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд.А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Instituteназвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллиондолларов. В их число также попала гипотеза Римана.

Таким образом, даже бы поверхностное знакомство сдзета-функцией будет и интересным, и полезным.

Глава 1.

Итак,приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В даннойглаве мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя изеё определения с помощью ряда.

Определение. Дзета-функцией Римана ζ(s)называют функцию, которая любому действительномучислу sставит в соответствие сумму ряда

<img src="/cache/referats/17558/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">                                                                                                      (1)

если она существует.

Основнойхарактеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашейфункции.

Пустьсначала s≤0,тогда s=−t, где tпринадлежит множеству неотрицательных действительныхчисел R+<img src="/cache/referats/17558/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/17558/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> и ряд (1) обращается вряд <img src="/cache/referats/17558/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">t>0, так и при t=0. То естьзначения s≤0 невходят в область определения функции.

Теперьпусть s>0. Для исследования сходимостиряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом sрассмотрим функцию <img src="/cache/referats/17558/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/17558/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">,которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонноубывающей. Возникает три различных возможности:

1)<span Times New Roman"">   

0<s<1. Тогда <img src="/cache/referats/17558/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

2)<span Times New Roman"">   

s=1. Получаем <img src="/cache/referats/17558/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">s=1дзета-функция Римана также не определена;

3)<span Times New Roman"">   

s>1.  В   этом    случае    <img src="/cache/referats/17558/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

<img src="/cache/referats/17558/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

Обобщив результаты, находим, что область определениядзета-функции есть промежуток <img src="/cache/referats/17558/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Докажем непрерывность функции ζ(s)на области определения. Возьмёмпроизвольное число s0>1. Перепишем ряд (1)в виде <img src="/cache/referats/17558/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037"><img src="/cache/referats/17558/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> сходится, а функции <img src="/cache/referats/17558/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> при s>s0монотонно убывают и все вместе ограниченыединицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0ряд (1) сходится равномерно.Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что влюбой точке s>s0дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0ζ(s)непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1),пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:

<img src="/cache/referats/17558/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">                                                                                                (2).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том,что ряд (2) равномерно сходится на промежутке <img src="/cache/referats/17558/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> и воспользоватьсятеоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде <img src="/cache/referats/17558/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> для s>s0. Множители <img src="/cache/referats/17558/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">n=2,монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln2. Поэтому по признакуАбеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можнозаключить между <img src="/cache/referats/17558/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> и <img src="/cache/referats/17558/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><img src="/cache/referats/17558/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1046"><img src="/cache/referats/17558/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1047"><img src="/cache/referats/17558/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> применимавышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться в существованиидля дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в видерядов:

<img src="/cache/referats/17558/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

Попытаемся построить наглядное изображениефункции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечностии в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимостиряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем <img src="/cache/referats/17558/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1050">n=1предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому <img src="/cache/referats/17558/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

Чтобы исследовать случай <img src="/cache/referats/17558/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

 Во-первых,известно, что если для ряда <img src="/cache/referats/17558/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> существуетнепрерывная, положительная, монотонно убывающая функция <img src="/cache/referats/17558/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054"><img src="/cache/referats/17558/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/17558/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1056"><img src="/cache/referats/17558/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> оценивается   так: <img src="/cache/referats/17558/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1058"><img src="/cache/referats/17558/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> Применяя  вышесказанное   к   ряду  (1),   найдём,  что   необходимая функция

<img src="/cache/referats/17558/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1060"><img src="/cache/referats/17558/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> и <img src="/cache/referats/17558/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1062">

<img src="/cache/referats/17558/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1063">                                                           (3). В левом неравенстве положим n=0, тогда <img src="/cache/referats/17558/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/17558/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1065">n=1 и получим <img src="/cache/referats/17558/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1066"><img src="/cache/referats/17558/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><img src="/cache/referats/17558/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> и, наконец, <img src="/cache/referats/17558/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/17558/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> к пределу при <img src="/cache/referats/17558/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1071"><img src="/cache/referats/17558/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

Отсюда, в частности, следует, что <img src="/cache/referats/17558/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1073"><img src="/cache/referats/17558/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1074"><img src="/cache/referats/17558/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1075"><img src="/cache/referats/17558/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> <img src="/cache/referats/17558/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1077"><img src="/cache/referats/17558/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1078"><img src="/cache/referats/17558/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1079"><img src="/cache/referats/17558/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> 

Можно, однако, получить ещё более точныйрезультат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чемприведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного припроизвольном nравенства <img src="/cache/referats/17558/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1081"><img src="/cache/referats/17558/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> и вычтем <img src="/cache/referats/17558/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><img src="/cache/referats/17558/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1084">sстремитсяк единице. По правилу Лопиталя легко вычислить <img src="/cache/referats/17558/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> и <img src="/cache/referats/17558/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1086"><img src="/cache/referats/17558/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> при <img src="/cache/referats/17558/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1088"><img src="/cache/referats/17558/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1089">

<img src="/cache/referats/17558/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1090">nвозьмём <img src="/cache/referats/17558/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1091">C(C<img src="/cache/referats/17558/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1092">0,577). Значит <img src="/cache/referats/17558/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1093"><img src="/cache/referats/17558/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

 Найденныевыше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о видеграфика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможностьнанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определимзначения <img src="/cache/referats/17558/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1095">k–натуральное число.

Возьмём известное разложение <img src="/cache/referats/17558/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1096"><img src="/cache/referats/17558/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1097">  — знаменитые числаБернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое <img src="/cache/referats/17558/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1098"> в левую частьравенства. Слева получаем <img src="/cache/referats/17558/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1099"> <img src="/cache/referats/17558/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1100">cth<img src="/cache/referats/17558/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1101">, а в правой части — <img src="/cache/referats/17558/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1102"><img src="/cache/referats/17558/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1103">cth<img src="/cache/referats/17558/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1104">. Заменяем <img src="/cache/referats/17558/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> на <img src="/cache/referats/17558/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1106">, получаем <img src="/cache/referats/17558/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1107">cth<img src="/cache/referats/17558/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1108">.

С другой стороны, существует равенство cth<img src="/cache/referats/17558/image163.gif" v:shapes="_x0000_i1109">, из которого <img src="/cache/referats/17558/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1110">cth<img src="/cache/referats/17558/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1111">. Подстановкой <img src="/cache/referats/17558/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1112"> вместо <img src="/cache/referats/17558/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> находим <img src="/cache/referats/17558/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1114">cth<img src="/cache/referats/17558/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> <img src="/cache/referats/17558/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1116">. Если <img src="/cache/referats/17558/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1117"><img src="/cache/referats/17558/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1118">N<img src="/cache/referats/17558/image177.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> <img src="/cache/referats/17558/image179.gif" v:shapes="_x0000_i1120"> и по теореме о сложениибесконечного множества степенных рядов <img src="/cache/referats/17558/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1121">cth<img src="/cache/referats/17558/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1122"> <img src="/cache/referats/17558/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1123">     

Приравняем полученные разложения: <img src="/cache/referats/17558/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> 

 <img src="/cache/referats/17558/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1125"><img src="/cache/referats/17558/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1126">

  <img src="/cache/referats/17558/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1127">                                                                                      (4),где <img src="/cache/referats/17558/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1128">  — k-е число Бернулли. Онаудобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.   

Теперь, исходя из полученных результатов, можнопостроить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий еёповедение на всей области определения.

<img src="/cache/referats/17558/image196.jpg" v:shapes="_x0000_i1129">

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию,получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногдатоже принимают за определение:

<img src="/cache/referats/17558/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1130">pi– i-е простое число                                             (4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4).Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство <img src="/cache/referats/17558/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1131">

<img src="/cache/referats/17558/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1132"> Если перемножитьконечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящимзаданного натурального числа N,то получившееся частичное произведение окажется равным   <img src="/cache/referats/17558/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1133">    символ    *   означает,     что    суммирование распространяется не на всенатуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своёмразложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые Nнатуральныхчисел этим свойством обладают, то

<img src="/cache/referats/17558/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1134">                                                                      (5).

Сумма <img src="/cache/referats/17558/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> содержит не все числа,большие N+1, поэтому, очевидно, <img src="/cache/referats/17558/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1136">

<img src="/cache/referats/17558/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1137">                                                                 (6).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее егоостаток после N-го члена, стремится кнулю при Nстремящимся кбесконечности, а <img src="/cache/referats/17558/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> есть произведение (4).Значит из неравенства при <img src="/cache/referats/17558/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> <img src="/cache/referats/17558/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1140">, чтои требовалось доказать.

Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд,представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множествомпростых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив <img src="/cache/referats/17558/image220.gif" v:shapes="_x0000_i1141"><img src="/cache/referats/17558/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1142"><img src="/cache/referats/17558/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1143"> остаётся ограниченнымпри <img src="/cache/referats/17558/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1144">

Из (4) следует, что <img src="/cache/referats/17558/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1145"><img src="/cache/referats/17558/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1146">N, а <img src="/cache/referats/17558/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1147"> при <img src="/cache/referats/17558/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1148">.Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда <img src="/cache/referats/17558/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> <img src="/cache/referats/17558/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1150"><img src="/cache/referats/17558/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> <img src="/cache/referats/17558/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1152">Nк бесконечности, имеем <img src="/cache/referats/17558/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1153"><img src="/cache/referats/17558/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1154">  так как <img src="/cache/referats/17558/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1155"> <img src="/cache/referats/17558/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1156"><img src="/cache/referats/17558/image250.gif" v:shapes="_x0000_i1157">

На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана длядействительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладнойинтерес представляет  случай изложенный во второй главе.

Глава 2.

Все результаты первой главы, касающиесядзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s– действительное число.Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения сталивозможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел.Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкийматематик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший еёв теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силеопределение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет <img src="/cache/referats/17558/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1158">C. Возникает необходимостьнайти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: вполуплоскости <img src="/cache/referats/17558/image254.gif" v:shapes="_x0000_i1159"> (<img src="/cache/referats/17558/image256.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> действительная частьчисла x) ряд

<img src="/cache/referats/17558/image258.gif" v:shapes="_x0000_i1161">                                                                                                               (1) сходится абсолютно.

Пусть <img src="/cache/referats/17558/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1162"><img src="/cache/referats/17558/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1163"><img src="/cache/referats/17558/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1164"><img src="/cache/referats/17558/image266.gif" v:shapes="_x0000_i1165"><img src="/cache/referats/17558/image268.gif" v:shapes="_x0000_i1166"><img src="/cache/referats/17558/image270.gif" v:shapes="_x0000_i1167"><img src="/cache/referats/17558/image272.gif" v:shapes="_x0000_i1168"><img src="/cache/referats/17558/image274.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> при α>1, имеемабсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функцияаналитична. Действительно, при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд <img src="/cache/referats/17558/image276.gif" v:shapes="_x0000_i1170"> мажорирует ряд изабсолютных величин <img src="/cache/referats/17558/image278.gif" v:shapes="_x0000_i1171"><img src="/cache/referats/17558/image254.gif" v:shapes="_x0000_i1172">  в полуплоскости <img src="/cache/referats/17558/image254.gif" v:shapes="_x0000_i1173">

Нетрудно показать, что все полученные длядзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексногоаргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанныес переходом к абсолютным величинам.

В связи с этим замечанием становится возможнымиспользовать разложение дзета-функции в произведение <img src="/cache/referats/17558/image282.gif" v:shapes="_x0000_i1174">sтеперь любое комплексное число, такое, что <img src="/cache/referats/17558/image254.gif" v:shapes="_x0000_i1175"><img src="/cache/referats/17558/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1176"> корней.

Оценим величину <img src="/cache/referats/17558/image286.gif" v:shapes="_x0000_i1177"><img src="/cache/referats/17558/image288.gif" v:shapes="_x0000_i1178"><img src="/cache/referats/17558/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1179"><img src="/cache/referats/17558/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1180"><img src="/cache/referats/17558/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1181"><img src="/cache/referats/17558/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1182"><img src="/cache/referats/17558/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1183">

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другиеприкладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, еслираспространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним измногих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции ивыведем её функциональное уравнение, характеризующее и  однозначно определяющее <img src="/cache/referats/17558/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1184">

Для этого нам понадобится формула

<img src="/cache/referats/17558/image300.gif" v:shapes="_x0000_i1185">  (2), котораявыводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать <img src="/cache/referats/17558/image302.gif" v:shapes="_x0000_i1186">dпри<img src="/cache/referats/17558/image304.gif" v:shapes="_x0000_i1187"> <img src="/cache/referats/17558/image306.gif" v:shapes="_x0000_i1188">  значит <img src="/cache/referats/17558/image308.gif" v:shapes="_x0000_i1189"> и <img src="/cache/referats/17558/image310.gif" v:shapes="_x0000_i1190"><img src="/cache/referats/17558/image312.gif" v:shapes="_x0000_i1191"><img src="/cache/referats/17558/image314.gif" v:shapes="_x0000_i1192"><img src="/cache/referats/17558/image316.gif" v:shapes="_x0000_i1193"> <img src="/cache/referats/17558/image318.gif" v:shapes="_x0000_i1194"> <img src="/cache/referats/17558/image320.gif" v:shapes="_x0000_i1195"><img src="/cache/referats/17558/image322.gif" v:shapes="_x0000_i1196"><img src="/cache/referats/17558/image324.gif" v:shapes="_x0000_i1197"><img src="/cache/referats/17558/image326.gif" v:shapes="_x0000_i1198"> можно найтиинтегрированием по частям, принимая <img src="/cache/referats/17558/image328.gif" v:shapes="_x0000_i1199"><img src="/cache/referats/17558/image330.gif" v:shapes="_x0000_i1200"><img src="/cache/referats/17558/image332.gif" v:shapes="_x0000_i1201"><img src="/cache/referats/17558/image334.gif" v:shapes="_x0000_i1202"><img src="/cache/referats/17558/image336.gif" v:shapes="_x0000_i1203"> <img src="/cache/referats/17558/image338.gif" v:shapes="_x0000_i1204"><img src="/cache/referats/17558/image340.gif" v:shapes="_x0000_i1205">

Теперь положим в (2) <img src="/cache/referats/17558/image342.gif" v:shapes="_x0000_i1206"><img src="/cache/referats/17558/image344.gif" v:shapes="_x0000_i1207">aиb– целые положительныечисла. Тогда <img src="/cache/referats/17558/image346.gif" v:shapes="_x0000_i1208"> <img src="/cache/referats/17558/image348.gif" v:shapes="_x0000_i1209"><img src="/cache/referats/17558/image350.gif" v:shapes="_x0000_i1210">a=1,а bустремим кбесконечности. Получим <img src="/cache/referats/17558/image352.gif" v:shapes="_x0000_i1211">

<img src="/cache/referats/17558/image354.gif" v:shapes="_x0000_i1212">                                                                       (3).

Выражение <img src="/cache/referats/17558/image356.gif" v:shapes="_x0000_i1213"> является ограниченным,так как <img src="/cache/referats/17558/image358.gif" v:shapes="_x0000_i1214"><img src="/cache/referats/17558/image360.gif" v:shapes="_x0000_i1215"> абсолютно интегрируемана промежутке <img src="/cache/referats/17558/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1216"> при <img src="/cache/referats/17558/image363.gif" v:shapes="_x0000_i1217"><img src="/cache/referats/17558/image365.gif" v:shapes="_x0000_i1218"><img src="/cache/referats/17558/image367.gif" v:shapes="_x0000_i1219"><img src="/cache/referats/17558/image369.gif" v:shapes="_x0000_i1220"> абсолютно сходится при<img src="/cache/referats/17558/image367.gif" v:shapes="_x0000_i1221"><img src="/cache/referats/17558/image372.gif" v:shapes="_x0000_i1222">s, регулярную при <img src="/cache/referats/17558/image367.gif" v:shapes="_x0000_i1223"><img src="/cache/referats/17558/image367.gif" v:shapes="_x0000_i1224"> и имеет там лишь одинпростой полюс в точке <img src="/cache/referats/17558/image376.gif" v:shapes="_x0000_i1225"> с вычетом, равнымединице.

Для <img src="/cache/referats/17558/image378.gif" v:shapes="_x0000_i1226"> можно преобразоватьвыражение (3) дзета-функции. При <img src="/cache/referats/17558/image380.gif" v:shapes="_x0000_i1227"> имеем <img src="/cache/referats/17558/image382.gif" v:shapes="_x0000_i1228"><img src="/cache/referats/17558/image384.gif" v:shapes="_x0000_i1229"> и<img src="/cache/referats/17558/image386.gif" v:shapes="_x0000_i1230"><img src="/cache/referats/17558/image378.gif" v:shapes="_x0000_i1231"> (3) может бытьзаписано в виде <img src="/cache/referats/17558/image389.gif" v:shapes="_x0000_i1232">

Немного   более сложными  рассуждениями  можно   установить, что   в действительности (3) даёт аналитическоепродолжение дзета-функции на полуплоскость <img src="/cache/referats/17558/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1233"><img src="/cache/referats/17558/image393.gif" v:shapes="_x0000_i1234"><img src="/cache/referats/17558/image395.gif" v:shapes="_x0000_i1235"><img src="/cache/referats/17558/image397.gif" v:shapes="_x0000_i1236">  первообразная для <img src="/cache/referats/17558/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1237"><img src="/cache/referats/17558/image397.gif" v:shapes="_x0000_i1238"> ограничена, так как <img src="/cache/referats/17558/image400.gif" v:shapes="_x0000_i1239"><img src="/cache/referats/17558/image402.gif" v:shapes="_x0000_i1240"> <img src="/cache/referats/17558/image404.gif" v:shapes="_x0000_i1241"> и <img src="/cache/referats/17558/image406.gif" v:shapes="_x0000_i1242"> <img src="/cache/referats/17558/image408.gif" v:shapes="_x0000_i1243"> ограничен из-за того,что <img src="/cache/referats/17558/image410.gif" v:shapes="_x0000_i1244"><img src="/cache/referats/17558/image412.gif" v:shapes="_x0000_i1245"> при x1>x2и <img src="/cache/referats/17558/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1246"><img src="/cache/referats/17558/image415.gif" v:shapes="_x0000_i1247"><img src="/cache/referats/17558/image417.gif" v:shapes="_x0000_i1248"><img src="/cache/referats/17558/image419.gif" v:shapes="_x0000_i1249"><img src="/cache/referats/17558/image421.gif" v:shapes="_x0000_i1250"><img src="/cache/referats/17558/image423.gif" v:shapes="_x0000_i1251"> <img src="/cache/referats/17558/image425.gif" v:shapes="_x0000_i1252"><img src="/cache/referats/17558/image427.gif" v:shapes="_x0000_i1253"><img src="/cache/referats/17558/image429.gif" v:shapes="_x0000_i1254"><img src="/cache/referats/17558/image431.gif" v:shapes="_x0000_i1255"><img src="/cache/referats/17558/image433.gif" v:shapes="_x0000_i1256"> потому  что  <img src="/cache/referats/17558/image397.gif" v:shapes="_x0000_i1257">  является   ограниченной   функцией.   Значит,

 <img src="/cache/referats/17558/image436.gif" v:shapes="_x0000_i1258">                                                                       (4).

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла <img src="/cache/referats/17558/image438.gif" v:shapes="_x0000_i1259"><img src="/cache/referats/17558/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1260"><img src="/cache/referats/17558/image397.gif" v:shapes="_x0000_i1261"><img src="/cache/referats/17558/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1262"><img src="/cache/referats/17558/image442.gif" v:shapes="_x0000_i1263">

Нетрудно установить, что для отрицательных <img src="/cache/referats/17558/image444.gif" v:shapes="_x0000_i1264"> <img src="/cache/referats/17558/image446.gif" v:shapes="_x0000_i1265">

<img src="/cache/referats/17558/image448.gif" v:shapes="_x0000_i1266">                                                                                       (5) при <img src="/cache/referats/17558/image450.gif" v:shapes="_x0000_i1267">

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелыхзначений xсправедливо разложение вряд

<img src="/cache/referats/17558/image452.gif" v:shapes="_x0000_i1268">                                                                                    (6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:

<img src="/cache/referats/17558/image454.gif" v:shapes="_x0000_i1269"><img src="/cache/referats/17558/image456.gif" v:shapes="_x0000_i1270"><img src="/cache/referats/17558/image458.gif" v:shapes="_x0000_i1271"><img src="/cache/referats/17558/image460.gif" v:shapes="_x0000_i1272"><img src="/cache/referats/17558/image462.gif" v:shapes="_x0000_i1273"><img src="/cache/referats/17558/image464.gif" v:shapes="_x0000_i1274"> <img src="/cache/referats/17558/image466.gif" v:shapes="_x0000_i1275"><img src="/cache/referats/17558/image468.gif" v:shapes="_x0000_i1276"> <img src="/cache/referats/17558/image470.gif" v:shapes="_x0000_i1277"><img src="/cache/referats/17558/image472.gif" v:shapes="_x0000_i1278"><img src="/cache/referats/17558/image474.gif" v:shapes="_x0000_i1279"><img src="/cache/referats/17558/image476.gif" v:shapes="_x0000_i1280"> <img src="/cache/referats/17558/image478.gif" v:shapes="_x0000_i1281">

Итак, мы получили функциональное уравнениедзета-функции Римана

<img src="/cache/referats/17558/image480.gif" v:shapes="_x0000_i1282">                                                                    (7),

которое само по себе может служить средством изучения этойфункции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другаяфункция <img src="/cache/referats/17558/image482.gif" v:shapes="_x0000_i1283"><img src="/cache/referats/17558/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1284">

Пока, правда, как следует из рассуждений, мыдоказали формулу (7) для <img src="/cache/referats/17558/image450.gif" v:shapes="_x0000_i1285">sи при <img src="/cache/referats/17558/image486.gif" v:shapes="_x0000_i1286"><img src="/cache/referats/17558/image376.gif" v:shapes="_x0000_i1287">

Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещёобосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду иего частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любомконечном отрезке допустимо. Ввиду <img src="/cache/referats/17558/image489.gif" v:shapes="_x0000_i1288"> <img src="/cache/referats/17558/image491.gif" v:shapes="_x0000_i1289"> для любого <img src="/cache/referats/17558/image493.gif" v:shapes="_x0000_i1290"><img src="/cache/referats/17558/image495.gif" v:shapes="_x0000_i1291"> <img src="/cache/referats/17558/image497.gif" v:shapes="_x0000_i1292"> при <img src="/cache/referats/17558/image450.gif" v:shapes="_x0000_i1293">   имеем <img src="/cache/referats/17558/image500.gif" v:shapes="_x0000_i1294">

<img src="/cache/referats/17558/image502.gif" v:shapes="_x0000_i1295">

Функциональное уравнение дзета-функции (7) можетбыть записано многими способами. Например, заменим sна 1-s,получаем равносильное равенство

<img src="/cache/referats/17558/image504.gif" v:shapes="_x0000_i1296">                                                                       (8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо sчисло 2m, где m– натуральное число.Имеем <img src="/cache/referats/17558/image506.gif" v:shapes="_x0000_i1297"><img src="/cache/referats/17558/image508.gif" v:shapes="_x0000_i1298"> <img src="/cache/referats/17558/image510.gif" v:shapes="_x0000_i1299"><img src="/cache/referats/17558/image512.gif" v:shapes="_x0000_i1300"><img src="/cache/referats/17558/image514.gif" v:shapes="_x0000_i1301"> и произведя в правойчасти все сокращения, учитывая, что <img src="/cache/referats/17558/image516.gif" v:shapes="_x0000_i1302"><img src="/cache/referats/17558/image518.gif" v:shapes="_x0000_i1303">

Покажем ещё, что <img src="/cache/referats/17558/image520.gif" v:shapes="_x0000_i1304"><img src="/cache/referats/17558/image522.gif" v:shapes="_x0000_i1305">  <img src="/cache/referats/17558/image524.gif" v:shapes="_x0000_i1306"> и результатпродифференцируем <img src="/cache/referats/17558/image526.gif" v:shapes="_x0000_i1307"> <img src="/cache/referats/17558/image528.gif" v:shapes="_x0000_i1308">s=1 <img src="/cache/referats/17558/image530.gif" v:shapes="_x0000_i1309">, <img src="/cache/referats/17558/image532.gif" v:shapes="_x0000_i1310"> <img src="/cache/referats/17558/image534.gif" v:shapes="_x0000_i1311"><img src="/cache/referats/17558/image536.gif" v:shapes="_x0000_i1312">С –постоянная Эйлера, а k– произвольная постоянная. Следовательно, устремляя sк единице, получим <img src="/cache/referats/17558/image538.gif" v:shapes="_x0000_i1313"><img src="/cache/referats/17558/image540.gif" v:shapes="_x0000_i1314">k=0 <img src="/cache/referats/17558/image542.gif" v:shapes="_x0000_i1315"><img src="/cache/referats/17558/image520.gif" v:shapes="_x0000_i1316">

Глава 3.

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широкоприменяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность еёвыявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучениираспределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ осерьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамкиэтой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем сеё помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечномного. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оносостоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел,обозначим их p1, p2, …, pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с однимиз них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, чтопротиворечит предположению. Значит, количество простых чисел не может бытьконечным.

Другое доказательство этого факта, использующеедзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство(5) при s=1, получим <img src="/cache/referats/17558/image545.gif" v:shapes="_x0000_i1317"><img src="/cache/referats/17558/image547.gif" v:shapes="_x0000_i1318"> и ввиду расходимостигармонического ряда, имеем при <img src="/cache/referats/17558/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1319"> 

<img src="/cache/referats/17558/image550.gif" v:shapes="_x0000_i1320">                                                                                         (1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и этопроизведение имело конечное значение. Однако, полученный результатсвидетельствует об обратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде <img src="/cache/referats/17558/image552.gif" v:shapes="_x0000_i1321"><img src="/cache/referats/17558/image554.gif" v:shapes="_x0000_i1322"> расходится. Этопредложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, чтооно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так какздесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном рядеимеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: <img src="/cache/referats/17558/image556.gif" v:shapes="_x0000_i1323"><img src="/cache/referats/17558/image558.gif" v:shapes="_x0000_i1324"><img src="/cache/referats/17558/image560.gif" v:shapes="_x0000_i1325">

Несмотря на свою простоту приведённые вышепредложения важны в концептуальном плане, так как они начинают чередуисследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, котораяпродол

еще рефераты
Еще работы по математике