Реферат: Военные игры. Игры преследования

Министерство образования,здравоохранения и культурыРеспублики КазахстанВУЗ АВИЭККафедра ЭВМКурсовая работаПо дисциплине: «Теория принятия решений»

Тема:«Военные игры. Игры преследования.»

Выполнил:

Ст-тгрЗПОС-96-1

ГриневМ.В.

Принял:

Доцент, к.ф.-м.н.

ПшенинЕ.С.

Алматы2000г.

Введение.

Когда собака гонится закроликом, то даже если она все время видит его, она не знает его дальнейшегоповедения и может руководствоваться только знанием физических возможностейкролика и своих собственных. Таково своеобразие задачи преследования одногоуправляемого объекта другим управляемым объектом, математическому описаниюкоторой посвящена данная работа. Конечно, здесь речь пойдет не о животных, а отехнических объектах, но у этих объектов предполагается некоторая свободадействий, аналогичная свободе воли животных. Заранее нужно сказать, что рассматриваемые вработе технические объекты чрезвычайноэлементарны, и весь вопрос ввиду его новизны находится на очень низком уровнеразвития. В работе рассматриваются игры, в которых участвуют два игрока:убегающий и преследующий. Такие игры преследования называются дифференциальнымипотому, что в них поведение обоих игроков описывается дифференциальнымиуравнениями.

Фазовые координаты и управления.Типичными примерамидифференциальных игр являются сражения, воздушные бои, преследование суднаторпедой, перехват самолета зенитной ракетой, охрана объектов. Если один изигроков выключается из игры, мы получаем обычную задачу максимизации. Она ужеотносится к вариационному исчислению исоставляет основную часть теории управления.

Решения игроков всегда заключаютсяв выборе некоторых величин, называемых управлениями. Они всвою очередь определяют собой значения других величин – фазовыхкоординат. Последние обладают тем свойством, сто знание их значенийв любой момент времени полностью определяет течение игры.

Военные игры.

Фазовые координаты должны быть такими величинами, которые характеризуютположение дел в той мере, в какой понеобходимости упрощенная модель задачи соответствует реальному процессу.Фазовыми координатами могут, в частности, быть число людей, самолетов, танков,судов; может оказаться целесообразным разделить их на группы порасположению в различных районах или покакому-либо другому признаку, например по удаленности от линии фронта и т.д.

Пусть армия1 – «минимизирующая» — имеет в своем распоряжении управления……; соответственно армия2 –«максимизирующая» — имеет управления ………. Выбор управлений часто обусловленобстоятельствами. Предположим, например, что платой является разница в живойсиле (или снаряжении и т.п.) в концеигры или в фиксированный момент времени Т. Пусть x1 – соответствующая координата I-той армии, тогда плата равна x2 – x1. Механизмразвития подобной игры лучше всего продемонстрировать на конкретных примерах.

Пусть x1 – количество живой силыармии1 в некотором секторе; это количество может уменьшаться за счет воздушныхналетов противника. Пусть x3– число самолетов армии2 (противника), которые можно использовать для этой целичерез. Через y

1обозначим (<=y1<=1) обозначим долю общего числасамолетов x3 ,которую противник решает использовать в некоторый момент времени. Теперь нужноиз опыта или каким-либо другим образом определить, как ожидаемые потери в живойсиле зависят от числа j1x3 посланныхсамолетов противника. Пусть они прямопропорциональны j1x3 и коэффициентпропорциональности равен C.

Для того чтобы иметь возможностьиспользовать мощный аппарат математического анализа, будем предполагать, чтопроцесс является не дискретным, а непрерывным. Это дает непрерывнуюаппроксимацию дискретной игры.

Представим, что армия1 получаетпополнение с фиксированной скоростью r. Тогда имеем уравнение

X`1=r-cy

1x3 +… (1)

Многоточие вправой части уравнения означает различные другие члены, как, например,изменения в результате других действий армии2 или маневрирования живой силойармии1. если игра полностью симметрична, то имеем такое же уравнение,только армии меняются ролями.

Пусть x4 – запас военногоснаряжения армии1, который служит для ее снабжения. Пусть b - максимальная скорость такого снабжения. Пусть j

1 (0<=j1<=1) — доля от b, которуюармия1 решает использовать в данный момент. Тогда

X`4 = -bj

1. (2)

При определении пространствасостояний E мы будемтребовать, чтобы выполнялось условие x4³

0. тогда (2) представляет собой ограничение наиспользование этого запаса и дает игроку возможность распоряжаться этим запасомс учетом его ограниченности.

В левых частях уравнений (1) и (2)стоят обычные производные от координат по времени. Уравнения такого типа служатосновным средством описания развития дифференциальной игры. Они называютсяуравнениями движения и имеют вид:

X`ì = fi(x1,…xn,j

i,…, jn, yn…yn), I=1,…n (3)

Итак,скорость изменения фазовых координат является заданной функцией от фазовыхкоординат и управлений обоих игроков.

Игры с движущимся объектом.

Возьмем в качестве примерадвижущегося объекта автомобиль и рассмотрим при этом уравнение движения,фазовые координаты, управления и различия между последними. Автомобиль выбранпотому, что его свойства общеизвестны. Рассуждения можно применить, лишь смалыми изменениями, к любому движущемуся объекту. Летательные аппараты движутсяв трехмерном пространстве, но принцип остается тот же.

Геометрическое положение объекта,например автомобиля, описывается тремя фазовыми координатами: x1,x2 – декартовы координатынекоторой фиксированной точки автомобиля и x3 – угол, образуемый осью автомобиля с фиксированнымнаправлением, например направлением x1. Предполагается, что движение происходит во всейплоскости x1,x2. Еслиавтомобиль фигурирует в дифференциальной игре, то нужно знать о нем больше.Предположим, сто автомобиль управляется с помощью мотора и руля. Моторуправляет тангенциальным ускорением. Эта величина, находящаяся под контролемигрока, является управлением и будет обозначаться через j

1. Чтобы иметьпростой и единообразный вид границ уравнений, мы примем ускорение равным Aj1. Здесь A – максимальное возможноеускорение, и управление j1 подчиняется теперь ограничению вида 0£j1£1.Таким образом, оно является долейполного ускорения и находится под контролем водителя. Скорость x4 не находитсяпод непосредственным контролем водителя, но ее величину, как и величины x1,x2,x3, оба игрокадолжны принимать в расчет. Следовательно, она должна рассматриваться какфазовая координата.

Положение руля определяет кривизну траектории автомобиля. Но нереальносчитать, сто водитель может менять ее произвольно. Имеет смысл принять кривизнутраектории автомобиля за еще одну фазовую координату x5 (очевидно, физически этоесть угол поворота передних колес), а долю скорости ее изменения — за управление j

2. Итак, еслиW – максимальнаяскорость изменения величины x5, то скорость, выбираемая водителем, равна Wj2, где -1 £j2£1.

В этих предположениях движение автомобиля будет определяться следующимиуравнениями движения.

x`1 = x4cos x3 (1)

x`2 = x4sin x3, (2)

x`3 = x4x5, (3)

x`4 = A j

1, 0£j1£1 (4)

x5 = Wj

2, -1 £j2£1(5).

Здесь (1), (2) есть просто разложение скорости автомобиля по осямкоординат; (3) устанавливает, что скорость изменения направления равнаскорости, умноженной на кривизну. Что касается (4), то скорость измененияскорости есть ускорение.

Резюмируя, можем сказать, что величины x1…x5описывают те свойства автомобиля, которые существенны при его участии, скажем,в игре преследования. Они называются фазовыми координатами. Водитель управляетс помощью величин j

1(положение педали газа) и j1 (доля скорости вращения руля). Эти величиныявляются управлениями, и только они одни в каждый момент времени находятся подконтролем игрока. Они, в отличие от фазовых координат, не могут быть измененыизмерены противником.

Данная модель имеет недостаток — неограниченная скорость. Это можно исправить, налагая ограничения на x4, но более естественно изменить само управление (4). Во-первых, утверждение, что сила,развиваемая мотором, пропорциональна величине, на которую отжата педаль газа,следует считать сверхупрощением динамики автомобиля. Во-вторых, самое важное,эта сила пропорциональна ускорению автомобиля, только если пренебрегатьтрением. Если предположить, что трение пропорционально скорости и направлено впротивоположном направлении, то получим улучшенный вариант уравнения (4):

x`4 = F(Aj

1)– Kx4.

Здесь Aj

1(0 £j1£1)– величина, на которую отжата педаль газа, F – результирующая сила (на единицу массы автомобиля),развиваемая мотором, а K– коэффициент трения. Тогда скорость будет ограничена величиной F(A)/K.

Другая существенная поправка состоитв ограничении кривизны x5.

Итак, уравнения движения можноусложнить для получения более точного соответствия с действительностью илиупростить для облегчения математических выкладок.

Игры преследования.

Многопримеров игр преследования можно привести из области военного дела: торпеда икорабль, корабль и подлодка, танк и джип и т.д.

Чтобыполучить общую картину, будем обозначать преследователя через Р, апреследуемого через Е. Соответствующие движущиеся объекты могут управлятьсячеловеком или автоматически. В более сложных случаях участников игры может бытьбольше двух, например группа боевых самолетов противостоит эскадре вражескихбомбардировщиков или – уже из другойобласти – в футболе несколько нападающих играют с удерживающим мяч противником.В общем случае Р и Е — разумныепротивники с противоположными интересами. Но если каждый из них управляет лишьодним движущимся объектом, то символами Р и Е будут обозначаться сами эти объекты. Так, Р может быть некоторойфиксированной точкой преследующего объекта, например его геометрическимцентром. Игра преследования обычно считается оконченной, когда произошелзахват. Это означает, что расстояние РЕ стало меньше некоторой наперед заданнойвеличины l.

Для пояснения идей остановимся нанекоторых типичных моментах. За Е обычно принимают вторгающийся бомбардировщик,самолет или управляемый снаряд, а за Р – защищающий перехватчик, также самолетили снаряд. Во-вторых, спрашивается: как наилучшим образом должен преследоватьЕ? Далее, если в каждый момент времени Р знает и свое положение и положение Е,то как он должен в этот момент изменятьсвои управления? Под положением понимаются не только координаты точек Р или Е,но и другие характеризующие состояние величины, такие, как направление полета,ориентация, скорость, короче – фазовые координаты.

Во-вторых,нужно определить, что означает «наилучшим образом». По терминологии теории игрнеобходимо выбрать плату. Критерий наиболее очевиден, если захват всегдаосуществим. В том случае, когда интерес представляют только два исхода игры,будем говорить о проблеме как о некоторой игре качества (в отличии от игры степени, которые имеютконтинуум возможных исходов). Но Р может быть перехватчиком с ограниченнымзапасом горючего. Тогда наиболее реальный критерий должен основываться на том,сможет ли произойти захват раньше некоторого определенного момента времени.Если Е – бомбардировщик, цель которого — достижение данного объекта, то наиболее интересным является вопрос, сможет либыть осуществлен захват прежде, чем Е выполнит свое назначение. Если Риспользует снаряды, ракеты или другоеподобное оружие, то захват состоит в том, чтобы оказаться в зоне достижимостиЕ. Если же Р не уверен, что попадет в цель точно, он может ставить своей задачейоказаться в зоне достижимости Е в течение определенного времени.

Все вышеописанные случаисоответствуют дискретной, точнее, двузначной плате, и мы будем классифицироватьсоответствующие им игры как игры качества. Но бывают случаи, когда противникистремятся минимизировать или максимизировать определенную переменную величину.Эта величина есть плата, и игра является игрой степени.

Часто в качестве платы удаетсявыбрать такую непрерывную величину, что она автоматически содержит в себеопределенный выше дискретный критерий. Например, предположим, что насинтересует только один вопрос: может ли быть осуществлен захват? В качествеплаты можно взять время захвата, причем цель Р – сделать это время повозможности меньшим, а цель Е – по возможности большим. Бесконечное времясоответствует случаю, когда захват неосуществим. Тогда, если Р действует всоответствии с этим предписанием, он, конечно, достигает своей основной целивсякий раз, когда захват осуществим. Притом сделает это в кратчайшее время.Теперь предположим, что вначале целью Р был захват за время, не превосходящеенекоторого фиксированного Т. минимизируя время захвата Р, разумеется, добьетсяуспеха, если у него есть для этого возможность; нужно только взять минимальнуювеличину времени за захвата, которой смог добиться Р, и посмотреть, превосходитэта величина Т или нет.

Эта мысль является достаточно общей.Если, скажем, первоначально было желательно узнать, сможет или нет Е достичьопределенной приближенности к некоторому объекту, в качестве платы можновыбрать расстояние до объекта в момент захвата. Имеется в виду, что Рстремиться максимизировать это расстояние, можно быть уверенным, что он не только выполнит свою задачу, защитыобъекта, если это возможно, но и достигнет наибольшего резерва безопасности илиже сделает все, что в его силах, если он окажется не в состоянии расстроитьпланы Е.

Итак, ответом на вопрос, чтоозначает в играх «наилучшим образом», является установление численного значенияплаты. Для игр качества это можно сделать несколько искусственно, приписав два(или более) числовых значения величине платы для двух (или более) исходов.«Наилучшим образом» для Р означает сделать эту плату наиболее малой.

Предположим, что плата выбрана; какР должен минимизировать ее? Если он преследует снаряд Е, как ему действовать?Должен ли он, например, используя данные о положении Е, пытатьсяэкстраполировать будущее движение Е и маневрировать так, чтобы преградить емупуть?

Краткое размышление показывает, чтотакие вопросы бессмысленны. Ответ зависит от того, как будет вести себя Е. Еслион принял решение двигаться по прямой с постоянной скоростью, то Р, разумеется,сможет преградить ему путь, причем довольно просто подсчитать, как это сделатьнаилучшим образом. Но если Р всегда будет действовать так, то Е, если ондостаточно проницателен, может заманить Р в ловушку. Таким образом, никакойплан преследования не будет для Р оптимальным, если противник движетсяпроизвольно.

Из этого следует, сто нельзяговорить об оптимальном преследовании, не определив, что такое оптимальноеуклонение. Необходимо одновременно рассматривать всевозможные способы поведенияобоих противников, для того чтобы разработать методы анализа игровых ситуаций.

Оптимальное уклонение можноклассифицировать так же как оптимальное преследование. Все замечания, сделанныевыше относительно Р и его цели преследования, сохраняют свой смысл и для Е с его целью уклонения. Например, можноговорить о способах избежать захвата или по крайней мере предупредить его доистечении времени Т. Если за плату принять расстояние до объекта в моментзахвата, то можно обсуждать вопрос о том, как Е должен максимизировать эторасстояние. В военных задачах, разумеется, обе стороны рассматривают оба классаэтих вопросов. Выше обсуждались задачи игры и понятия платы только с точкизрения преследователя Р, но это делалось лишь для того, чтобы облегчитьописание.

На рисунке 1 С есть областьрасположения объекта, который Р защищает от атакующего врага Е; Р и Е обасовершают простое движение с одинаковой скоростью и начинают двигаться из положения, указанного на рис.1. Примемздесь для простоты, что захват означает совпадение точек Р и Е. Платой являетсярасстояние от точки захвата до С (еслизахват возможен); Р должен максимизировать это расстояние, а Е – минимизироватьего. Если Е может достичь С и захвата не произойдет, то этот исход считаетсядля Е наилучшим.

Вообразим, что Е – носительмогущественного оружия, скажем, ядерного, и если он не может достичь объекта,то стремиться взорваться как можно ближе к нему. Соответственно перехватчик Р стремитьсявстретить его в наиболее удаленной от С точке.

.Е

.Р

Рисунок 1.

А вотпример посложнее. Он представляет собой игру преследования, где один изпротивников вынужден двигаться так, чтобы кривизна его траектории не превышаланекоторой величины. Это кинематическое ограничение типично.

Дано: автомобиль на бесконечнойпустой площади, который пытается наехать на пешехода. Таким образом,рассматривается игра преследования, где Р обладает превосходящей скоростью, номеньшей маневренностью по сравнению с Е. Преследователь Р движется с постояннойскоростью w1, радиускривизны его траектории ограничен заданной величиной R; P управляет выбором значения этой кривизны в каждый момент.Убегающий Е обладает более простым движением. Это значит, что его скорость w2фиксирована, и управление состоитв том, что в каждый момент выбирается направление движения. В этом случаедопустимы любые крутые повороты; траектория может не иметь касательной в каждойточке.

Захват происходит, когда расстояниеРЕ не больше заданной величины l, радиусазахвата. Преследователь обязан быть быстрее w1>w2.

Насинтересуют два вопроса.

Игра качества. Когда Р может поймать Е? Ясно, что если Rвелико, lмало и w1не очень превышает w2, то Е всегда может избежать захвата. Можно считать, например, что он сделает это, просто отступая в сторону всякий раз, когда появляется угроза захвата. Ограничение кривизны траектории преследователя запрещает ему слишком резкие повороты. Он может промчаться мимо Е и, вернувшись обратно для новой попытки, может быть снова обманут тем же маневром Е.

Задачасостоит в том, чтобы определить точные условия: значения R,l,w1/w2, которые разграничивают эти возможности.

Игра степени с временем захвата в качестве платы. Теперь предположим, что Р всегда может поймать, и выберем платой время, в течении которого происходит захват. В терминах принятой терминологии можно считать, что пешеход надеется на прибытие спасения и потому, если он сам не может избежать захвата, то по крайней мере старается отсрочить его. Разумеется, Р стремиться действовать настолько быстро, насколько позволяют обстоятельства.

Если вначале Е находится более или менее впереди Р, оптимальный ход игры очевиден. Нарис.2(а) точка Р изображает начальноеположение преследователя, его скорость направлена вверх; убегающий находится вточке Е, впереди Р и, скажем, немного правее его. На рисунке изображена частьокружности максимальной кривизны, допустимой для траектории преследователя;вектор скорости касается ее в точке Р. согласно предписанию своей оптимальнойстратегии, Р должен начать движение по этой дуге, делая максимально крутойповорот вправо – до точки Р1, где его скорость направлена на Е. Далее ондвижется по касательной, как показано. Соответственно Е движется по той жекасательной, и это простое преследование продолжается вдоль прямой вплоть досовершения захвата, скажем, в точке С.

Пусть теперь Р начинаетпреследование из положения, когда Е находится у него в тылу, как показано на рис.2 (б). Если Р будет действовать, какописано выше, может случиться, что Е успеет попасть внутрь окружностимаксимальной кривизны раньше, чем Р успеет его задавить.

Для осуществления захвата Р должендействовать менее прямолинейно, например, как показано на рис.2(в). Вначале ондвижется прочь от Е и, отступив достаточно далеко, возвращается по дугеокружности, чтобы начать прямое преследование. Со своей стороны Е, учитывая,что время является платой, стремится отсрочить захват. С этой целью он начинаетсвое отступление, сперва следуя за Р, скажем вдоль ЕЕ1. В некоторой точке Е1 онповорачивается и убегает в направлении, выбранном так же, как в случае (а).

Такой тип преследования будетназываться маневром разворота. Он составляет наиболее интересный случай с точкизрения математики игры степени.

<img src="/cache/referats/3493/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1033"><img src="/cache/referats/3493/image003.gif" v:shapes="_x0000_s1034">Рис. 2(а) .С

<img src="/cache/referats/3493/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1035"><img src="/cache/referats/3493/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1032"><img src="/cache/referats/3493/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1031"><img src="/cache/referats/3493/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1030"> Р1

Р а

<img src="/cache/referats/3493/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1038">Рис.2 (б)

<img src="/cache/referats/3493/image011.gif" v:shapes="_x0000_s1040"><img src="/cache/referats/3493/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1041"> Р

Рис. 2(в)

<img src="/cache/referats/3493/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1050"><img src="/cache/referats/3493/image015.gif" v:shapes="_x0000_s1045"> E1

<img src="/cache/referats/3493/image016.gif" v:shapes="_x0000_s1053"><img src="/cache/referats/3493/image017.gif" v:shapes="_x0000_s1049"><img src="/cache/referats/3493/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1042"><img src="/cache/referats/3493/image019.gif" v:shapes="_x0000_s1043"> E

R P

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Сетевые методы в планировании

20 Июня 2015

Реферат по математике

Поиск клик в графах

20 Июня 2015

Реферат по математике

Регрессионный анализ в моделировании систем. Исследование посещаемости WEB сайта

29 Августа 2013

Реферат по математике

Вычисление интеграла фукции f (x) методом Симпсона

29 Августа 2013