Реферат: Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

БЕЛОРУССКИЙАГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРАВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему“вычисление определенного интеграла
методами трапеций и средних прямоугольников”

Студента2-го курса: Полушкина О.А.

Научныйруководитель: Севернева Е.В.

Минск, 1997

Содержание.

TOCo «1-3» Введение, математическое обоснование и анализ задачи. GOTOBUTTON_Toc408901220 PAGEREF_Toc408901220 3

Алгоритм и егоописание.… GOTOBUTTON_Toc408901221 PAGEREF_Toc408901221 5

Листинг программы.… GOTOBUTTON_Toc408901222 PAGEREF_Toc408901222 6

Исходные данные.Результаты расчетов и анализ.… GOTOBUTTON_Toc408901223 PAGEREF_Toc408901223 8

Заключение ивыводы.… GOTOBUTTON_Toc408901224 PAGEREF_Toc408901224 10

Список литературы.… GOTOBUTTON_Toc408901225 PAGEREF_Toc408901225 11

Введение, математическоеобоснование и анализ задачи.

Известно,<img src="/referat/public/cache/referats/2759/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> что определенныйинтеграл функции <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> типа <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> численно представляетсобой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y=<img src="/referat/public/cache/referats/2759/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> (Рис. 1). Естьдва метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций(Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3).

Рис. 1.Криволинейная трапеция.

Рис. 2.Метод трапеций.

Рис. 3.Метод средних прямоугольников.

Пометодам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен суммеплощадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малаявеличина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основаниепрямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется поточке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функциидолжен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

<img src="/referat/public/cache/referats/2759/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1032">,

для методасредних прямоугольников:

<img src="/referat/public/cache/referats/2759/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1033">.

Соответственноэтим формулам и составим алгоритм.

Рис.4. Алгоритм работы программы integral.pas.

Программанаписана на Tubro Pascla 6.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

program

Integral;

uses

Crt, Dos;

var

dx,x1,x2,e,i:real;

function

Fx(x:real):real;

begin

Fx:=2+x; {В этомместе запишите функцию, для вычисления интеграла.}

end

;

procedure

CountViaBar;

var

xx1,xx2:real;

c:longint;

begin

writeln('------------------------------------------------');

writeln('-->Методсредних прямоугольников.');

writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e));

i:=0;

for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin

write('Итерация',c,chr(13));

xx1:=Fx(x1+c*e);

xx2:=Fx(x1+c*e+e);

i:=i+abs(xx1+xx2)/2*e;

end;

writeln('------------------------------------------------');

writeln('Интеграл=',i);

end

;

procedure

CountViaTrap;

var

xx1,xx2,xx3:real;

c:longint;

begin

writeln('------------------------------------------------');

writeln('-->Методтрапеций.');

writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e));

i:=0;

for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin

write('Итерация',c,chr(13));

xx1:=Fx(x1+c*e);

xx2:=Fx(x1+c*e+e);

if xx2>xx1 then xx3:=xx1 else xx3:=xx2;

i:=i+abs(xx2-xx1)*e+abs(xx3)*e;

end;

writeln('------------------------------------------------');

writeln('Интеграл=',i);

end

;

begin

writeln('------------------------------------------------');

writeln('-=Программавычисления определенного интеграла=-');

writeln('Введитеисходные значения:');

write('Начальноезначение x (x1)=');Readln(x1);

write('Конечноезначение x (x2)=');Readln(x2);

write('Точностьвычисления (e)=');Readln(e);

CountViaBar;

CountViaTrap;

writeln('------------------------------------------------');

writeln('Спасибо заиспользование программы ;^)');

end

.

Исходные данные.Результаты расчетов и анализ.

Нижеприведен результат работы написанной и откомпилированной программы:

------------------------------------------------

-=Программавычисления определенного интеграла=-

Введитеисходные значения:

Начальноезначение x (x1)=0

Конечноезначение x (x2)=10

Точностьвычисления (e)=0.01

------------------------------------------------

-->Методсредних прямоугольников.

Всегоитераций:1000

------------------------------------------------

Интеграл=7.0100000000E+01

------------------------------------------------

-->Методтрапеций.

Всегоитераций:1000

------------------------------------------------

Интеграл=7.0150000001E+01

------------------------------------------------

Спасибоза использование программы ;^)

Расчетпроверялся для функции <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1035">, а определенный интеграл брался от 0 до 10, точность 0,01.

Врезультате расчетов получаем:

1.Интеграл <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1036">.

2.Методом трапеций <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1037">.

3.Методом средних прямоугольников <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1038">.

Такжебыл произведен расчет с точностью 0,1:

1.Интеграл <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1039">.

2.Методом трапеций <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1040">.

3.Методом средних прямоугольников <img src="/referat/public/cache/referats/2759/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1041">.

Такимобразом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапецийи средних прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чемниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции илипрямоугольника, в зависимости от метода), тем точнее результат получаемыймашиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное отчисленного значения точности. Следовательно для большей точности необходимобольшее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисленияинтеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.

Использованиедля вычисления одновременно двух методов (трапеций и средних прямоугольников)позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоихметодов.

Следовательнопри понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов пообеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату.

1. ВольвачевА.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМЕС. Минск.: 1989 г.

2. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.

3. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль.М. 1988 г.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

29 Августа 2013

Реферат по математике

Метод касательных решения нелинейных уравнений

20 Июня 2015

Реферат по математике

Военные игры. Игры преследования

29 Августа 2013

Реферат по математике

Сетевые методы в планировании

20 Июня 2015