Реферат: Дифференцированные уравнения

1.ВВЕДЕНИЕ

2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.

Первая форма записи . Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены — в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:

=(1)

При такой записи коэффициенты k,k1 ,...,kn называют коэффициентами передачи, а T1 ,...,Tn -постоянными времени данного звена.

Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

Размерности коэффициентов передачи определяются как

размерность k = размерность y(t): размерность g(t)

размерность k1 = размерность y(t): размерность g(t) (?)

Постоянными времени T1 ,...,Tn имеют размерность времени.

Вторая форма записи . Считая условно оператор дифференцирования p=алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):

=

=(2)

2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА

Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):

y(t)==

==

=W1 (s)+W2 (s)+...+Wn (s)

Здесь W1 (s),W2 (s),...,Wn (s) — передаточные функции.

При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.

2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия — скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:

w(t)=

2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.

Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)=.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(jw)=U(w)+jV(w)

где U(w) и V(w) — вещественная и мнимая части.

W(jw)=A(w),

где A(w) — модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) — аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ — это модуль частотной передаточной функции:

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ<w

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:

j(w)=argW(jw)

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

Позиционные звенья — это такие звенья, в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) — многочлены.

4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

ao y(t)=bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao =2

bo =4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao :

y(t)=g(t)

y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)

W(s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==kd(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=2Ч1(t)

w(t)=2Чd(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса — импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=k

W(jw)=k (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=k

V(w)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(w)=2

j(w)=0

L(w)=20lg2

U(w)=2

V(w)=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев, рассмотренных ниже, если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

ao y(t)=bo g(t-t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao =2

bo =4

t=0,1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao :

y(t)= g(t-t)

y(t)=kg(t-t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t-t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t-t)=G(s)e-ts

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)e-ts

W(s)= ke-ts (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда

h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==kd(t-t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=2Ч1(t-t)

w(t)=2Чd(t-t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t=0,1с, а функция веса — импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=k e-ts

W(jw)=k e-jwt =k(costw-jsintw) (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=k costw

V(w)=-ksintw

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)= tw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(w)=2

j(w)=0,1w

L(w)=20lg2

U(w)=2cos0,1w

V(w)=-2sin0,1w

Вывод:

4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 +ao y(t) =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1 =1,24

ao =2

bo =4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t)

T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1 =-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=eЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T1 =0.62

h(t)=2Ч1(t)

w(t)=3.2eЧ1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса — также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=(7)

W(jw)=U(w)+jV(w)==-j

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk — arctg

j(w)=-arctgT1 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T1 =0.62

A(w)=

j(w)=arctg0.62w

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=

4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 -ao y(t) =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1 =1,24

ao =2

bo =4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

-y(t)=g(t)

T-y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(Tp-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

TsY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=eЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T=0.62

h(t)=2Ч1(t)

w(t)=3.2eЧ1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса — также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=(7)

W(jw)==j=U(w)+jV(w)

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk — arctg

j(w)=-arctg(-Tw) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T=0.62

A(w)=

j(w)=-arctg(-0.62w)

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+a1 +ao y(t) =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2 =0,588

a1 =50,4

ao =120

bo =312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1 =,T22 =-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1 >2T2 ), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T1 =0,42

2T2 =0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение — апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(p2 +T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s2 Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2 Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==, где

T3,4 =

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t)=

=k Ч1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1==

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= =

=(6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw) ==

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=................

j(w)=… (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+a1 +ao y(t) =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2 =0,588

a1 =0,504

ao =12

bo =31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1 =,T22 =-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1 <2T2 ), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1 =0,042

2T2 =0,14

0,042

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2 =T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T — постоянная времени, x — декремент затухания (0<x<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(p2 +2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s2 Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2 Y(s)+2xTsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

=

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k=

=k Ч1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1===

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw)=

U(w)=

V(w)

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — arg(2xTjw — T2 w2 +1)= — arctg

j(w)= — arctg(9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2 — a1 +ao y(t) =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2 =0,588

a1 =0,504

ao =12

bo =31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

— +y(t)=g(t)

-T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1 =,T22 =-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1 <2T2 ), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1 =0,042

2T2 =0,14

0,042

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2 =T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T — постоянная времени, x — декремент затухания (0<x<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(p2 — 2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s2 Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2 Y(s) — 2xTsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

=

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k=

=k Ч1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1===

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw)=

U(w)=

V(w)

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — arg(1 — 2xTjw — T2 w2 )= — arctg

j(w)= — arctg(9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+ao y(t) =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2 =0,0588

ao =12

bo =31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t)

+ y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T2 =-постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(T2 p2 +1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=s2 Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T2 s2 Y(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Заменим .Тогда

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t)(5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= kw0sinw0tЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=(7)

U(w)=

V(w)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — arg(1-T2 w2 )=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg(10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ

4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1 =1,24

bo =4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :

=g(t)

=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

py(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=ktЧ1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

w(t)==kЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=(7)

W(jw)=

U(w)=0

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — argjw

j(w)= — arctgw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

+a1 =bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2 =0,0588

a1 =0,504

bo =31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :

+ =g(t)

T+=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(Tp2 +p)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

=s2 Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Ts2 Y(s)+sY(s)=kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= — kTЧ1(t)+ktЧ1(t)+kTЧ1(t)=

=(5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=kЧ1(t)(6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=(7)

W(jw)

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — argjw — arg

j(w)= — arctgw — arctgTw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 =b1+bo g(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1 =1,24

bo =4

b1 =4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :

=+g(t)

=k1+kg(t) (2),

где k1 =, k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

py(t)=(k1 p+k)g(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(t)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=k1 sG(s)+kG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= Ч 1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1

W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k1 Чd(t)+kЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=(7)

U(w)=k1

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=............

j(w)=… (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg........

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

ao y(t)=b1(1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao =2

b1 =4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao :

y(t)=

y(t)=k(2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=ksG(s)

W(s)=ks (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа, т.е.

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=k

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧd(t) (5)

Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1=ks

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k(6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=ks

W(jw)=jkw (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=0

V(w)=kw

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=kЅwЅ (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgkw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgkЅwЅ

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.

4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 +ao y(t) =b1(1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1 =1,24

ao =2

b1 =4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :

+y(t)=

T+y(t)=k(2),

где k=-коэффициент передачи,

T1 =-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим:

(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

TsY(s)+Y(s)=ksG(s)

W(s)=(4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=Чd(t)eЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=

W(jw)==

6.Найдем АЧХ:

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==

Найдем ФЧХ:

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgkw-arctgTw

L(w)=20lgA(w)

L(w)=20lg

4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

Данное звено описывается следующим уравнением:

a0y(t)=b1+b0g(t)

y(t)=+g(t)

k1=

k=

p=

y(t)=k1pg(t)+kg(t)

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

Y(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=k1s+k

H(s)==k1+

h(t)=k1d(t)+k1(t)

W(jw)=k1jw+k

U(w)=k

V(w)=k1w

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctg

L(w)=20lgA(w)

L(w)=20lg

4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

a0y(t)=b2+b1+b0g(t)

y(t)=++g(t)

y(t)=k2+k1+kg(t)

y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)

Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)

W(s)=k2s2+k1s+k

H(s)=k2s+k1+

h(t)=k2+k1d(t)+k11(t)

w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k

w(t)=k2+k1+kd(t)

W(jw)=k1jw+k — k2w2

U(w)=k — k2w2

V(w)=k1jw

A(w)=

j(w)=arctg

L(w)=20lg

еще рефераты
Еще работы по математике