Реферат: Теория устойчивости

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ); во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( l ) = l n + a1l n-1 + a2l n-2 +… + an = 0. (13)

Зная его корни l 1, l 2,…, l n, характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( l ) = ( ll 1 ) ( ll 2 )… ( ll n ). (14)


Im Im


0 Re 0 Re


а) б)


Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а — для двух корней l и l i;

б — для четырех корней l 1, l ‘1, l 2, l ‘2


Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( ll i ), как это показано на рис.12, а. Положим теперь, что l = j w; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12, б). При изменении w от — Ґ до + Ґ векторы j wl 1 и j wl ‘1 комплексных корней l и l ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p, а векторы j wl 2 и j wl ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно — p. Таким образом, приращение аргумента arg( j wl i ) для корня характеристического уравнения l i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p, а для корня, находящегося в правой полуплоскости, — p. Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D( j w ) = ( n — m ) p — m p = ( n — 2m ) p. (15)

ҐwҐдля левой для правой

полуплоскости полуплоскости

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w )n + a1 ( j w )n-1 + a2 ( j w )n-2 +… + an(16)

содержит лишь четные степени w, а мнимая его часть — только нечетные, поэтому

arg D ( j w ) = — arg D ( -j w ), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до Ґ. В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

D arg D( j w ) = ( n — 2m ) p / 2. (18)

0 ЈwҐ

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D( j w ) = n p / 2. (19)

0 ЈwҐ

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n — порядок характеристического уравнения системы).

j V’ j V’


0 U’ 0 U’


а) б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а — устойчивые системы при n = 1 — 6; б — неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах


Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13, а. На рис. 13, б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.


Введение


Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.


1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений


x’ = f ( t, x )


(1)


с начальными условиями x ( t0 ) = x0 (2)

где x = ( x1, x2,…, xn ) — n — мерный вектор; t О I = [t0, + Ґ[ — независимая переменная, по которой производится дифференцирование;


f ( t, x ) = ( f1 ( t, x ), f2 ( t, x ),…, fn ( t, x ) ) — n — мерная вектор — функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t, x ) с начальным условием x ( t0) = x0. С целью упрощения все рисунки п. 10, если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

x


0 t

Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) — как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1 (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t0 , x0 ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t0, x0) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t; t0, x0). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t0, x0) приводят к существенному изменению решения x ( t; t0, x0), приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t0, x0) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t; t0, x0), вызванное отклонением D x0начального значения x0, будем записывать следующим образом:

| x ( t; t0, x0 + D x0 ) — x ( t ) | = | x ( t; t0, x0 + D x0 ) — x ( t; t0, x0 ) |.


Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t; t0, x0) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x0на интервале I = = [ t0, + Ґ[, т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x0

| D x0| Ј d Ю | x ( t; t0, x0 + D x0 ) — x ( t ) | Ј e " t і t0.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + Ґдля достаточно малых D x0, т.е. $ D > 0 " D x0.

| D x0| Ј D Ю | x ( t; t0, x0 + D x0 ) — x ( t ) | ® 0, t ® + Ґ. (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ): все решения x ( t; t0, x0 + D x0 ), близкие в начальный момент t0к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d — трубки ), не выходят за пределы e — трубки при всех значениях t і t0.

x


0 t

Рис.2


2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3): любое решение x1 ( t ), начинающееся в момент t0в D — трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x2 ( t ), начинающееся при t = t0за пределами области притяжения, но в пределах d — трубки, не покидает e — трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t; t0, x0) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t0к решению х ( t ), найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e — трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, — это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I — это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II — это модель не устойчивого положения равновесия.


x


0 t

Рис.3 Рис.4


Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x — x (t). Тогда получим систему

y’ = F ( t, y ). (4)

где F ( t, y ) = f ( t, y ( t ) + x ( t ) ) — f ( t, x ( t ) ), F (t, 0) є 0 " t і t0.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) є 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t, 0 ) = 0 " t і t0, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1).


Определение 3. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x0

| D x0| Ј d Ю | x ( t; t0, x0 ) | Ј e " t і t0.

Если кроме того,

$ D > 0 " x0| D x0| Ј D Ю | x ( t; t0, x0 ) | ® 0, t ® + Ґ,

то решение x ( t ) є 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ).

Определение 4. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$ e > 0 $ t1 > t0" d > 0 x0 0 | x0| Ј d Ю | x ( t; t0, x0 ) | > e .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.


x


t


Рис.5

x


t


Рис.6



x


t


Рис.7



2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n — го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f ( x ). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) — есть решение системы (5). Направленная кривая g, которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t ) ( i = 1,…, n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1,…, xn ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t, x1 = x1 ( t ),…, xn = xn ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами ( t, x1 , x2,…, xn ), а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2, т.е. когда Rn+1 — трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn — двумерная плоскость. На рис.8, а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 ( t ), x2 = x2 ( t ), на рис.8, б — ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ), x2 = x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

x2 x2


0 t 0 x1


x1

а) Рис.8 б)


Определение 5. Точка ( a1, a2,…, an ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1, f2,…, fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0,где a = ( a1 , a2,…, an ), 0 = ( 0, 0,…, 0 ).

Если ( a1,…, an ) — точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) є 0, т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e — трубки и d — трубки являются окружности с радиусами e и d. Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d — окружности, не покидают e — окружность " t і t0(рис.9); асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D, стремятся к началу (рис.10); неустойчиво, если для любой e — окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A — постоянная матрица размера n ґ n, является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

x2




0 x1


Рис.9

x2




0 x1


Рис.10


x2




0 x1


Рис.11



3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

ж dx / dt = P ( x, y ),

н (A)

о dy / dt = Q ( x, y ).


Точка ( x0 , y0) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0, y0) = 0, Q ( x0, y0) = 0.

Рассмотрим систему

ж dx / dt = a11 x + a12 y,

н (7)

о dy / dt = a21 x + a22 y.


где aij ( i, j = 1, 2 ) — постоянные. Точка ( 0, 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a 1 e k t , y = a 2 e k t . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a11 — k a12

= 0. (9)

a21 a22 — k


Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k12

2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 > 0, k2

4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k1 = 0, k2

II. Корни характеристического уравнения комплексные: k1 = p + q i, k2 = p — q i. Подслучаи :

1) p № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0, q 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k1 = k2. Подслучаи :

1) k1 = k2

2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dxin

= е ai j xj ( i = 1, 2,…, n ) (10)

dt i=1


характеристическим уравнением будет

a11 — k a12 a13 … a1n

a21 a22 — k a23… a2n = 0. (11)

........

an1 an2 an3… ann — k


1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t ) є 0 ( i = 1, 2,…, n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi ( t ) є 0 ( i = 1, 2,… n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя xi ( t ) є 0 ( i = 1, 2,… n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

.

ж x = a11 x + a12 y,

н. (12)

о y = a21 x + a22 y


характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k2 + a1 k + a2 = 0.

1) Если a1 > 0, a2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а1 > 0, a2 = 0, или a1 = 0, a2 > 0, то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a1 = a2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.


Список литературы:


1. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.

2. Шестаков А. А., Малышева И. А., Полозков Д. П. Курс высшей математики. М.: ВШ, 1987.

3. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. М.: ВШ, 1973.

4. Абрамович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексого переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968.

5. Чемоданов Б.К. Математические основы теории автоматического регулирования. М.: ВШ ,1977.

еще рефераты
Еще работы по математике