Реферат: Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях

Реферат

Дипломная работа содержит 59 страниц, 42 использованных источника, 3рисунка.

УСТОЙЧИВОСТЬ, СТАБИЛИЗАЦИЯ, ЧАСТИЧНАЯУСТОЙЧИВОСТЬ, ЧАСТИЧНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ, ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ЧАСТЬПЕРЕМЕННЫХ, ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА, НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА.

Объект исследования – динамическая система.

Предмет исследования – устойчивость и стабилизация движенияотносительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.

Цель работы – исследование устойчивости и стабилизации линейных инелинейных систем относительно части переменных при постоянно действующихвозмущениях; анализ научной и учебной литературы по теме исследования.

Методы исследования – воснову исследования теории устойчивости и стабилизации относительно частипеременных при постоянно действующих возмущениях положены основные задачичастичной устойчивости Ляпунова, Румянцева, Воротникова. При решении полученныхматематических задач используется метод, основанный на нелинейной заменепеременных, метод функций Ляпунова, где рассматривается ряд теорем обустойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующихвозмущениях.

Полученныерезультаты – проанализирована научная и учебная литература по исследуемой теме,приведены основные определения и теоремы и условия устойчивости движениятвердого тела с одной неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях;с помощью метода функций Ляпунова рассмотрен ряд теорем об устойчивостидвижения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях, приводитсяобобщение теорема Ляпунова – Малкина об устойчивости и (одновременно)экспоненциальной асимптотической устойчивости по части переменных по линейномуприближению, рассмотрена оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при наличии постояннодействующих возмущений, исследована математическая модель на условие устойчивостии стабилизации движения относительно части переменных при постоянно действующихвозмущениях.

Область применения – внелинейной теории управления, механике, биологии, экономике, на стыке физики,химии и теории управления, в системах с распределенными параметрами (в частныхпроизводных), в стохастических, дискретных, а также в абстрактных динамическихсистемах в метрическом пространстве.

Содержание

Введение                                                                                                                        7     

1 Устойчивость линейных систем                                                                             13        

1.1  Определение и основные теоремы  <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">                                                                                                     13

1.2  Устойчивость движения твердого тела с однойнеподвижной точкой         19   

1.3  Алгебраический критерий асимптотической <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1026">                    23

1.4  Условие устойчивости и асимптотическойустойчивости при не

       малых постоянных возмущениях                                                                      24

1.5  Обобщение теоремы Ляпунова – Малкина                                                     30                                                      

2 Устойчивость нелинейных систем                                                                          32      

2.1  Устойчивость  движения  относительно  части  переменныхпри

       постоянно  действующих возмущениях для нелинейных систем

       (1 случай)                                                                                                             32

2.1.1 Основныеопределения и теоремы                                                               32

2.1.2 Пример  движения  голономной  механической  системы                        36

2.1.3 Распространениепринципа сравнения с вектор — функцией 

         Ляпунова на задачу <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1027">  — устойчивости  при  постоянно

         действующих возмущениях                                                                          37

2.2 Устойчивость движения относительно части переменных при

постояннодействующих возмущениях для нелинейных систем

(2случай)                                                                                                            38

2.3 Оптимальнаястабилизация одной нелинейной системы при

наличии постоянно действующихвозмущений                                             40                                          

 3 Устойчивость и стабилизация движенияасимметричного твердого тела         45

3.1<span Times New Roman"">    

 Стабилизация по части переменных перманентноговращения асимметричного твердого тела посредством одного маховика                    45

3.2<span Times New Roman"">    

 Устойчивость и стабилизация движенияасимметричного твердого

тела                                                                                                                     47

3.3 Динамическоеуравнение Эйлера, описывающее угловое движение твердого тела под действиемуправляющих моментов                              51

3.4 Динамическоеуравнение Эйлера, описывающее угловое движение твердого тела под действиемпостоянно действующих возмущений        52

Заключение                                                                                                                  54

Список использованных источников                                                                         56                                                                          

Введение

Дипломнаяработа посвящена разделу общей теории устойчивости, в котором, в отличие оттрадиционных исследований в этой области, рассматриваются задачи устойчивости истабилизации динамических систем не по всем, а лишь по отношению к заданнойчасти характеризующих их переменных. Такие задачи естественным образомвозникают в приложениях, как из требования нормального функционирования, так ипри оценке возможностей системы.

Начиная  с середины XXстолетия эти задачи, а затем и тесно связанные с нейзадачи стабилизации по отношению к части переменных стали систематическиразрабатываться в научных центрах России и бывшего СССР, а также Европы, США,Индии, Японии и Китая. Благодаря большой математической общности постановкиуказанные задачи являются междисциплинарными и естественным образом возникаютпри моделировании многих явлений и управляемых процессов в самых разныхразделах науки: механике, физике, экономике, биологии, и других. Они частоназываются также задачами частичной устойчивости (стабилизации).

Начинаяс основополагающих работ В.В. Румянцева [28 — 31], которые привлекли к задачамустойчивости по отношению к части переменных внимание многих ученых, ведущимметодом исследования является метод функций Ляпунова, оказавшийся весьмаэффективным при анализе как теоретических, так и прикладных проблем.

 Однако хотя во многих важных прикладныхзадачах метод функций Ляпунова и позволяет получить строгие и легкоинтерпретируемые условия устойчивости по части переменных, тем не менее, вцелом вопросы конструктивного  построенияфункций Ляпунова остаются малоизученными. В такой ситуации значительный интереспредставляет как дальнейшее развитие метода в плане ослабления требований кфункциям Ляпунова и указания конструктивных путей их построения, так и развитиедругих подходов к задачам устойчивости по отношению к части переменных.

Исследование устойчивостиотносительно части переменных  позволяетвыявить дополнительные свойства модели, которые не «видны» при исследовании«полной» устойчивости. Перечислим некоторые из обнаруженных к настоящемувремени таких возможностей, не имеющих места при исследовании устойчивости поотношению ко всем переменным [6].

1<span Times New Roman"">      

Допустимость устойчивости «в малом»одной группы переменных при больших начальных возмущениях другой их группы ( <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/26368/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> или при больших <img src="/cache/referats/26368/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

2<span Times New Roman"">      

 Возможность инвариантности свойствустойчивости по части переменных при сколь угодно больших постоянно действующихвозмущениях [27], действующих по некоторым каналам системы.

3 Допустимостьасимптотического характера устойчивости по части переменных при постояннодействующих возмущениях[4, 5].

Развитиеисследований, проведенных к настоящему времени, можно условно разделить на дваэтапа. Первый этап (конец 50-х – начало 70-х годов XXвека) связан почти исключительно с развитием методафункций Ляпунова и подытожен (по работам [12, 21, 24, 28, 29, 31, 36, 38,  40, 41, 42]) в обзорной статье А.С. Озиранераи В.В. Румянцева [26], сыгравшей существенную стимулирующую роль винициировании дальнейшего исследования проблемы устойчивости (стабилизации) почасти переменных.

      Начиная с середины 70-х годов прошлогостолетия (второй этап исследований) круг вопросов, решаемых в рамках даннойпроблемы, значительно расширился. В числе их оказались следующие направленияисследований.

1<span Times New Roman"">      

Дальнейшее развитие метода функций Ляпуноваприменительно к задаче устойчивости и стабилизации по части переменных припостоянно действующих возмущениях (п.д.в.) для систем обыкновенныхдифференциальных уравнений. Потребность в этом, в частности, возниклавследствие ряда выявленных на первом этапе исследований существенных трудностейпри переносе основных теорем  методафункций Ляпунова на случай задачи устойчивости  и стабилизации по части переменных припостоянно действующих возмущениях (Озиранер А.С, Румянцев В.В.[26], ГермаидзеВ.Е., Красовский Н.Н. [10]).     

2<span Times New Roman"">      

В работах К. Кордуняну [37], Каримова А.У.[14],Озиранера А.С. [25], Мики К., Масамиси А., Шойси С. [39], Игнатьева А.О.[13]метод функции Ляпунова  используется длярешения задач устойчивости по части переменным при постоянно действующихвозмущениях и сохранения устойчивости. Одной из особенностей задачиустойчивости и стабилизации по части переменных при постоянно действующихвозмущениях является ее отличный, в сравнении со случаем устойчивости истабилизации при постоянно действующих возмущениях по отношению ко всемпеременным, характер взаимоотношений с задачей частичной устойчивости приструктурных (параметрических) возмущениях. Это видно уже на примереасимптотической устойчивости по отношению к части переменных линейной стационарнойсистемы, которая, будучи устойчива по этим переменным при постоянно действующихвозмущениях, может, вообще говоря, терять устойчивость по указанным переменнымдаже при малых возмущениях своих коэффициентов. Именно задачи частичнойустойчивости (стабилизации), в отличии от задач устойчивости (стабилизации) повсем переменным, становятся строгой математической базой для многих важныхсовременных исследований.

Объект исследования – динамическая система.

Предмет исследования – устойчивость и стабилизация движенийотносительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.

Цельисследования – анализ устойчивости и стабилизации динамических систем поотношению к части переменных.

Длядостижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1)<span Times New Roman"">              

проанализироватьнаучную литературу, посвящённую проблеме устойчивости и стабилизации движенияпри постоянно действующих возмущениях и применить эти исследования для решенияпрактической задачи;

2)<span Times New Roman"">              

рассмотретьустойчивость и стабилизацию движений относительно частим переменных припостоянно действующих возмущениях для линейных систем;

3)<span Times New Roman"">              

раскрыть определение устойчивости и стабилизации движенияотносительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;

4)<span Times New Roman"">              

рассмотреть основные теоремы, исследующие условия <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1031">;

5)<span Times New Roman"">              

рассмотретьустойчивость и стабилизацию движений относительно части переменных припостоянно действующих возмущениях для нелинейных систем;

6)<span Times New Roman"">              

спомощью метода функций Ляпунова рассмотреть ряд теорем об устойчивости движенияотносительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;

7)<span Times New Roman"">              

рассмотреть оптимальную стабилизацию нелинейных систем при наличиипостоянно действующих возмущенийвыявить

8)<span Times New Roman"">              

провестианализ устойчивости и стабилизации движений относительно части переменных дляконкретной математической модели с использованием современных методов.

Дипломнаяработа состоит из 3 разделов.

Первыйраздел посвящен задачеоб устойчивости и асимптотической устойчивости движения относительно части  переменных при постоянно действующихвозмущениях, когда некоторые из них могут не быть достаточно малыми.Единообразным приемом, основанным на нелинейной замене переменных идифференциальных неравенствах, приводятся условия устойчивости движениятвердого тела с одной неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях.

Далее показывается, чтозадача об устойчивости движения относительно части переменных (<img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1034">ряд известных результатов, исходным пунктом в которыхявляется теорема Ляпунова – Малкина об устойчивости и (одновременно)экспоненциальной асимптотической устойчивости по части переменных по линейномуприближению [1].

 Во 2 разделе дается  исследование нелинейных систем. Спомощью метода функций Ляпуноварассматривается ряд теорем об устойчивости движения относительно частипеременных при постоянно действующих возмущениях.Опираясь на широко известную теоремуН.Н. Красовского об оптимальной стабилизации [16,  285] и метод оптимальной стабилизации линейныхнеоднородных управляемых систем [15, 73-83] приводиться построение управленияоптимально стабилизирующего множество  относительнорешений уравнения.

Втретьем разделе рассмотрена стабилизация по части переменных перманентноговращения асимметричного твердого тела с помощью одного маховика. Показано, чтопока гиростат совершает заданное движение, маховик находится в состоянии покоя(управляющий двигатель включен). При появлении малых постоянных возмущенийспециальные устройства формируют и прикладывают к маховику управляющий момент,в результате основное тело гиростата с течением времени возвращается в исходныйрежим стационарного вращения, а сам маховик – в состояние покоя. Такжерассмотрен пример устойчивости  (стабилизации)и управления по части переменных угловым движением асимметричного твердоготела. Рассмотрен этот же случай при постоянно действующих возмущениях.

 

1 Устойчивость линейных систем

1.1<span Times New Roman"">           

Определение и основные теоремы <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

Пусть имеем линейнуюстационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений возмущенногодвижения

<img src="/cache/referats/26368/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

или в переменных <img src="/cache/referats/26368/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

                             <img src="/cache/referats/26368/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1038">                                           (1.1.1) 

где <img src="/cache/referats/26368/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

Наряду с системой (1.1) рассмотрим«возмущенную» систему

             <img src="/cache/referats/26368/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1040">                           (1.1.2)

разобьем на две группы и представим <img src="/cache/referats/26368/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> и  <img src="/cache/referats/26368/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> в виде <img src="/cache/referats/26368/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1043"><img src="/cache/referats/26368/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1044">.

Определение 1.1.1 (Воротников В.И. [4]). Движение <img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> системы (1.1.1)называется <img src="/cache/referats/26368/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1046"><img src="/cache/referats/26368/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> могут быть указаныположительные числа <img src="/cache/referats/26368/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

                           <img src="/cache/referats/26368/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1049">                              (1.1.3)                                                     

выполняется на всех движениях системы(1.2), начинающихся в области

                         <img src="/cache/referats/26368/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1050">                               (1.1.4)

при любых значениях <img src="/cache/referats/26368/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

         <img src="/cache/referats/26368/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1052">            (1.1.5)

в области (1.1.3).

Если, кроме того, <img src="/cache/referats/26368/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> при <img src="/cache/referats/26368/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1054">, то движение<img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> системы (1.1.1)называется асимптотически <img src="/cache/referats/26368/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

Замечание 1.1.1 Если вектор <img src="/cache/referats/26368/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/26368/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> в (1.1.5)удовлетворяют соответственно условиям <img src="/cache/referats/26368/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> и <img src="/cache/referats/26368/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1060"><img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> системы (1.1.1) <img src="/cache/referats/26368/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1062"><img src="/cache/referats/26368/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> определение <img src="/cache/referats/26368/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/26368/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1065"><img src="/cache/referats/26368/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1066">  — в определение <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1067">

Замечание 1.1.2 Определение <img src="/cache/referats/26368/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/26368/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/26368/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

Замечание 1.1.3 Определение асимптотической <img src="/cache/referats/26368/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1071">  <img src="/cache/referats/26368/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/26368/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> согласно [19].

Рассмотрим матрицы

                                      <img src="/cache/referats/26368/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1074">                                   (1.1.6)

                                    <img src="/cache/referats/26368/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1075">                               (1.1.7)

где <img src="/cache/referats/26368/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1076"><img src="/cache/referats/26368/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1077"><img src="/cache/referats/26368/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1078"><img src="/cache/referats/26368/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> — линейно-независимые векторы-столбцы матрицы <img src="/cache/referats/26368/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1080"><img src="/cache/referats/26368/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1081"><img src="/cache/referats/26368/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> невырожденная, <img src="/cache/referats/26368/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><img src="/cache/referats/26368/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1084">

Теорема 1.1.1(Воротников В.И. [4]). Пусть движение <img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> системы (1.1)асимптотически <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1086"><img src="/cache/referats/26368/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> строки с номерами <img src="/cache/referats/26368/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> нулевые, то движение <img src="/cache/referats/26368/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/26368/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> и вектор – функцию <img src="/cache/referats/26368/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> входят соответственнопеременные <img src="/cache/referats/26368/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> и функции <img src="/cache/referats/26368/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> с номерами <img src="/cache/referats/26368/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

Доказательство. Сделаем в системе (1.1) замену  переменных<img src="/cache/referats/26368/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1095"><img src="/cache/referats/26368/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> имеет вид (1.1.7). Вновых переменных уравнения системы (1.1.1), согласно [2, 7] распадаются на двегруппы:

<img src="/cache/referats/26368/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1097">

причем  <img src="/cache/referats/26368/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1098">  — мерный вектор <img src="/cache/referats/26368/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1099">

                                              <img src="/cache/referats/26368/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1100">                                                        (1.1.8)

полностью определяет поведениепеременных <img src="/cache/referats/26368/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> системы (1.1.1).   

Рассмотрим наряду с (1.1.8)систему

<img src="/cache/referats/26368/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1102">

Движение <img src="/cache/referats/26368/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1103">  <img src="/cache/referats/26368/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1104"><img src="/cache/referats/26368/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> не содержит возмущений<img src="/cache/referats/26368/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1106"><img src="/cache/referats/26368/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1107"><img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1108"> системы (1.1) <img src="/cache/referats/26368/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1109"><img src="/cache/referats/26368/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> и вектор – функцию <img src="/cache/referats/26368/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1111"> входят соответственнопеременные  <img src="/cache/referats/26368/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1112"> и <img src="/cache/referats/26368/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> с номерами <img src="/cache/referats/26368/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1114">

Следствие. Если движение <img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> системы (1.1)асимптотически <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1116"><img src="/cache/referats/26368/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1117">

Пример 1.1.1 Пусть уравнения возмущенного движения(1.1) имеют вид

                               <img src="/cache/referats/26368/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1118">                                             (1.1.9)

<img src="/cache/referats/26368/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1119">

Систему (1.1.8) в данном случаесоставят уравнения

<img src="/cache/referats/26368/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1120">

Собственные числа матрицы<img src="/cache/referats/26368/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1121"> имеют отрицательныечасти <img src="/cache/referats/26368/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1122">  нулевая, поэтому,согласно теореме 1.1.1, движение <img src="/cache/referats/26368/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1123">  системы (1.1.9) <img src="/cache/referats/26368/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1124">  <img src="/cache/referats/26368/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1125"><img src="/cache/referats/26368/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1126">. Такимобразом, невозмущенное движение системы (1.1.9) <img src="/cache/referats/26368/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1127"><img src="/cache/referats/26368/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1128"><img src="/cache/referats/26368/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1129">

Пример 1.1.2Рассмотрим уравнения возмущенного движения регулируемойсистемы в критическом случае двух нулевых корней

                             <img src="/cache/referats/26368/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1130">                                 (1.1.10)

где <img src="/cache/referats/26368/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1131">  — постоянные числа, <img src="/cache/referats/26368/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1132"><img src="/cache/referats/26368/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1133">

Введем новую переменную [3]<img src="/cache/referats/26368/image163.gif" v:shapes="_x0000_i1134">, где <img src="/cache/referats/26368/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1135">

                            <img src="/cache/referats/26368/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1136">                                (1.1.11)

<img src="/cache/referats/26368/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1137">

Известные условияустойчивости в целом невозмущенного движения системы (1.1.11) [17] будут,согласно [3], достаточными условиями <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1138">  любом конечном числе <img src="/cache/referats/26368/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1139"><img src="/cache/referats/26368/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1140"> можно сделатьдостаточно малой за счет подходящего выбора величины <img src="/cache/referats/26368/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1141">

Пусть вектор – функции <img src="/cache/referats/26368/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> и <img src="/cache/referats/26368/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1143"> в системе (1.1.2)имеют вид

     <img src="/cache/referats/26368/image181.gif" v:shapes="_x0000_i1144">

где <img src="/cache/referats/26368/image183.gif" v:shapes="_x0000_i1145"> и <img src="/cache/referats/26368/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1146">  — постоянные векторысоответствующих размеров.

Допустим, что <img src="/cache/referats/26368/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><img src="/cache/referats/26368/image189.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><img src="/cache/referats/26368/image191.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> линейно – независимые векторы – столбцыматрицы <img src="/cache/referats/26368/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1150"><img src="/cache/referats/26368/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> линейно  независимы. Рассмотрим систему алгебраическихуравнений для определения <img src="/cache/referats/26368/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> <img src="/cache/referats/26368/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1153">

<img src="/cache/referats/26368/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1154"><img src="/cache/referats/26368/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1155">

Предположим, что

                          <img src="/cache/referats/26368/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1156">                       (1.1.12)

                                <img src="/cache/referats/26368/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1157">                              (1.1.13)

где <img src="/cache/referats/26368/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1158">  — достаточно малыеположительные постоянные.

Теорема 1.1.2 (Воротников В.И. [4]). Еслидвижение  <img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1159"> системы (1.1.1)асимптотически <img src="/cache/referats/26368/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1160"><img src="/cache/referats/26368/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1161"><img src="/cache/referats/26368/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1162"><img src="/cache/referats/26368/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1163"> и любых удовлетворяющих условиям (1.1.13)возмущениях <img src="/cache/referats/26368/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1164"><img src="/cache/referats/26368/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> строки с номерами <img src="/cache/referats/26368/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1166"> нулевые, то этодвижение асимптотически <img src="/cache/referats/26368/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1167">  — устойчиво, причем ввектор <img src="/cache/referats/26368/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> и вектор – функцию <img src="/cache/referats/26368/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> входят соответственнопеременные <img src="/cache/referats/26368/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1170"> и функции <img src="/cache/referats/26368/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1171"> с номерами <img src="/cache/referats/26368/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1172"> .

Пример 1.1.3  Пусть уравнения возмущенного движения (1.1) имеют вид

                              <img src="/cache/referats/26368/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1173">                                           (1.1.14)

Поскольку <img src="/cache/referats/26368/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1174">

                                        <img src="/cache/referats/26368/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1175">                                             (1.1.15)

После введения новой переменной <img src="/cache/referats/26368/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1176"> система

<img src="/cache/referats/26368/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1177"> приводиться к виду

<img src="/cache/referats/26368/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1178">

Поэтому при выполненииусловий (1.1.13) невозмущенное движение системы (1.1.14) асимптотически <img src="/cache/referats/26368/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1179">

Дальнейшим развитиемпроблемы устойчивости на класс управляемых систем является задача стабилизации движения.Эта задача имеет большое значение в связи с бурным развитием теории управленияи ее обширными практическими применениями.

Рассмотрим системууравнений возмущенного движения управляемого объекта

                                    <img src="/cache/referats/26368/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1180">                           

или, в переменных <img src="/cache/referats/26368/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1181">

                           <img src="/cache/referats/26368/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1182">                         (1.1.16)

правые части определены инепрерывны  в области

                             <img src="/cache/referats/26368/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1183">                                  (1.1.17)

Вектор управляющих воздействий <img src="/cache/referats/26368/image250.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> ищем в виде <img src="/cache/referats/26368/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1185"><img src="/cache/referats/26368/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/26368/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1187">

                                       <img src="/cache/referats/26368/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1188">                                          (1.1.18)

а система (1.1.16) при <img src="/cache/referats/26368/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1189"> удовлетворяетограничениям, наложенным на систему (1.1.18). Пусть <img src="/cache/referats/26368/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1190">

<img src="/cache/referats/26368/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1191">

в котором <img src="/cache/referats/26368/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1192"><img src="/cache/referats/26368/image266.gif" v:shapes="_x0000_i1193"><img src="/cache/referats/26368/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1194"><img src="/cache/referats/26368/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1195">

Задача оптимальной стабилизации. Найти вектор-функцию <img src="/cache/referats/26368/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1196"><img src="/cache/referats/26368/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1197"> системы (1.1.16)асимптотически устойчиво относительно <img src="/cache/referats/26368/image274.gif" v:shapes="_x0000_i1198">

1.2<span Times New Roman"">          

Устойчивость движения твердого тела содной неподвижной точкой

Рассмотрим движениетяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, вызванное начальными ипостоянно действующими возмущениями. Уравнения возмущенного движения имеют вид

        <img src="/cache/referats/26368/image276.gif" v:shapes="_x0000_i1199">         (1.2.1)

где <img src="/cache/referats/26368/image278.gif" v:shapes="_x0000_i1200"><img src="/cache/referats/26368/image280.gif" v:shapes="_x0000_i1201"><img src="/cache/referats/26368/image282.gif" v:shapes="_x0000_i1202"><img src="/cache/referats/26368/image284.gif" v:shapes="_x0000_i1203"> <img src="/cache/referats/26368/image286.gif" v:shapes="_x0000_i1204">.

Будем изучатьустойчивость невозмущенного движения системы (1.2.1) при ряде предположенийотносительно вида функций <img src="/cache/referats/26368/image288.gif" v:shapes="_x0000_i1205">

10. <img src="/cache/referats/26368/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1206">   

т.е. система (3.1) имеет вид

                                        <img src="/cache/referats/26368/image292.gif" v:shapes="_x0000_i1207">                                       (1.2.2)

Введем новую переменную <img src="/cache/referats/26368/image294.gif" v:shapes="_x0000_i1208"><img src="/cache/referats/26368/image296.gif" v:shapes="_x0000_i1209"> или <img src="/cache/referats/26368/image298.gif" v:shapes="_x0000_i1210"> имеем следующие оценкидля системы (3.2):

а) <img src="/cache/referats/26368/image300.gif" v:shapes="_x0000_

еще рефераты
Еще работы по математике