Реферат: Псевдоевклидово пространство
Содержание.
TOC o «1-1» h z u ВВЕДЕНИЕ.PAGEREF _Toc107374907 h 2
ГЛАВА I.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
I.1.ОБОБЩЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫПРОСТРАНСТВА.PAGEREF _Toc107374908 h 3<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
I.2.ПСЕВДОЕВКЛИДОВАПЛОСКОСТЬ (ПЛОСКОСТЬ МИНКОВСКОГО)PAGEREF _Toc107374909 h 5<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
I.3.Движение плоскости МИНКОВСКОГО.PAGEREF _Toc107374910 h 7<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
I.4.Угол между векторами и прямыми.PAGEREF _Toc107374911 h 10<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
I.5.ТРЕУГОЛЬНИКВ ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.PAGEREF_Toc107374912 h 13<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
I.6.ЧИСЛОВАЯМОДЕЛЬ ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.PAGEREF _Toc107374913 h 15<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
ГлаваII.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ И ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.
II.1Аксиоматическоеопределение псевдоевклидовых и полуевклидовых векторных пространств.PAGEREF _Toc107374914 h 19<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
II.2.Полуевклидовы и псевдоевклидовы точечныепространства <img src="/cache/referats/20067/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/20067/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">PAGEREF _Toc107374915 h 22<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
Глава III.ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО<img src="/cache/referats/20067/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">
III.1.Псевдоевклидово пространство (пространство Минковского)PAGEREF _Toc107374916 h 24<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
III.2.Нагляднаямодель пространства<img src="/cache/referats/20067/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028">… PAGEREF_Toc107374917 h 26<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
Глава IVГиперболическая плоскость Г2.
IV.1.Гиперболическаяплоскость Г2.PAGEREF _Toc107374918 h 28<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
Приложения.PAGEREF _Toc107374919 h 32<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
Список литературы.PAGEREF _Toc107374920 h 33<span Times New Roman";mso-no-proof:yes">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«MS Mincho»;mso-bidi-font-family:Arial;mso-font-kerning: 16.0pt;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">ВВЕДЕНИЕ.
В евклидовом пространстве вортонормированном базисе скалярное произведение определяется по формуле <img src="/cache/referats/20067/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1029">, где <img src="/cache/referats/20067/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1030">, <img src="/cache/referats/20067/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1031">. Отсюда <img src="/cache/referats/20067/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> из теорииотносительности в 4х мерномпространстве времени следует, что длина отрезка вычисляется по формуле <img src="/cache/referats/20067/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1033">n переменных. Но симметрические билинейныемогут быть как различных рангов, так и различных положительных индексов инерции. Это дает возможность дляобобщения скалярного произведения и определения обобщенных евклидовых пространств.
Существует и аксиоматический подход копределению евклидова векторного пространства. Обобщая его, можно датьаксиоматическое определение обобщенного скалярного произведения векторов. Спомощью евклидова пространства определяется евклидово точечное пространство. Поаналогии с этим можно дать определение обобщенных псевдоевклидовых иполуевклидовых точечных пространств. С его помощью определяются псевдоевклидовыи полуевклидовы векторные пространства. Для того, чтобы показать структуруновых пространств, более подробно рассматривается псевдоевклидова плоскость(плоскость Минковского)
Дипломная работа состоит из введения,четырех глав, списка использованной литературы и приложения.
В первой главе дается аналитическое определение обобщенного скалярногопроизведения векторов в данном n-мерном (векторном)пространстве.
Во второй главе обобщенное скалярноепроизведение и пространства <img src="/cache/referats/20067/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> и <img src="/cache/referats/20067/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> определяютсяс помощью системы аксиом. Показывается эквивалентность аналитического и аксиоматического определенияскалярного произведения, а поэтому и всех рассматриваемых пространств.
В третьей главе описывается псевдоевклидовоточечное пространство, виды его прямых, плоскостей и сфер. Даётся «наглядная»модель этого пространства.
В последней, четвертой, главе даетсяодин из способов получения «новых»пространств с помощью сфер в псевдоевклидовом пространстве. Этот способ описанна примере сферы в пространстве <img src="/cache/referats/20067/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1036">. Таким образом получена гиперболическаяплоскость (плоскость Лобачевского).
В приложение вынесена система аксиомплоскости Лобачевского.
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «MS Mincho»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">ГЛАВА I.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫХПРОСТРАНСТВ
I.1.ОБОБЩЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.
ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫПРОСТРАНСТВА.
Пусть <img src="/cache/referats/20067/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1037">nмерное векторное пространство. <img src="/cache/referats/20067/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/20067/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> }-базис, <img src="/cache/referats/20067/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1040">, <img src="/cache/referats/20067/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1041">.Зафиксируем билинейную форму <img src="/cache/referats/20067/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> к нормальному виду, т.е. к виду <img src="/cache/referats/20067/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1043">r≤n.Будем считать что базисB выбран уже такой, что форма <img src="/cache/referats/20067/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> имеет нормальный вид.
Определение 1. Обобщеннымскалярным произведением векторов называется билинейная форма от наборов координат этих векторов, котораяимеет вид <img src="/cache/referats/20067/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1045">r≤n.
Свойства
10<img src="/cache/referats/20067/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1046">
Доказательство.
<img src="/cache/referats/20067/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> , <img src="/cache/referats/20067/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> <img src="/cache/referats/20067/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> =<img src="/cache/referats/20067/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
20 <img src="/cache/referats/20067/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1051">.
Доказательство. <img src="/cache/referats/20067/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1052">,<img src="/cache/referats/20067/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1053">,<img src="/cache/referats/20067/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1054"><img src="/cache/referats/20067/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/20067/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1056">
<img src="/cache/referats/20067/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1057">
Определение 2. Обобщенной длинойвектора <img src="/cache/referats/20067/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> называется число <img src="/cache/referats/20067/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> (обозн.<img src="/cache/referats/20067/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> <img src="/cache/referats/20067/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1061">
Подлине ненулевые векторы разбиваются на 3типа:
-векторы 1-го рода <img src="/cache/referats/20067/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
-векторы 2-го рода <img src="/cache/referats/20067/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> длина чисто мнимое число.
-изотропные векторы <img src="/cache/referats/20067/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> равна 0, а сам вектор не нулевой.
30 Коллинеарные векторы- векторы одного и того же рода.
Доказательство.
Пусть<img src="/cache/referats/20067/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1065">вектор 1 рода, а вектор <img src="/cache/referats/20067/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1066">коллинеарен ему. Тогда по условию коллинеарности <img src="/cache/referats/20067/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><img src="/cache/referats/20067/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/20067/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/20067/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1070"><img src="/cache/referats/20067/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1071">
=<img src="/cache/referats/20067/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/20067/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> <img src="/cache/referats/20067/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1074">
Прямаяназывается прямой 1-го рода, если её направляющий вектор 1-го рода.
Прямаяназывается прямой 2-го рода, если её направляющий вектор 2-го рода.
Прямаяназывается изотропной, если её направляющий вектор изотропный.
Определение 3. Векторноепространство <img src="/cache/referats/20067/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1075">r=n (r<n).Число к называется положительныминдексом инерции. Псевдоевклидово пространство индекса к обозначают <img src="/cache/referats/20067/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1076">r ранг билинейной формы, а d=n-r её дефект, то полуевклидововекторное пространство индекса к идефекта d обозначают<img src="/cache/referats/20067/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1077">
Пусть <img src="/cache/referats/20067/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1078"><img src="/cache/referats/20067/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1079"><img src="/cache/referats/20067/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1080">
Определение 4. Множество точек <img src="/cache/referats/20067/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> называютпсевдоевклидовым (полуевклидовым) точечным пространством, если определеноотображение <img src="/cache/referats/20067/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1082"><img src="/cache/referats/20067/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> (или<img src="/cache/referats/20067/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1084"><img src="/cache/referats/20067/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><img src="/cache/referats/20067/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> аксиомы
В1.<img src="/cache/referats/20067/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1087">
В2.<img src="/cache/referats/20067/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1088">n мерное векторноепсевдоевклидово(полуевклидово) пространство
индекса к (и дефекта d).
В3.<img src="/cache/referats/20067/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1089">
В4.<img src="/cache/referats/20067/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1090">
В5. <img src="/cache/referats/20067/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1091">
Псевдоевклидово точечное пространствообозначается <img src="/cache/referats/20067/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1092"><img src="/cache/referats/20067/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1093">
Таккак <img src="/cache/referats/20067/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1094"><img src="/cache/referats/20067/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1095"><img src="/cache/referats/20067/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1096"><img src="/cache/referats/20067/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1097"><img src="/cache/referats/20067/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><img src="/cache/referats/20067/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1099">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«MS Mincho»;mso-bidi-font-family:Arial;mso-font-kerning: 16.0pt;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">I.2.ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ (ПЛОСКОСТЬ МИНКОВСКОГО)
Рассмотрим частный случай псевдоевклидоваточечного пространства при n=2(т.е. плоскость). Возможны случаи:
1)<img src="/cache/referats/20067/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> (евклидов случай)
2)<img src="/cache/referats/20067/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1101">
3)<img src="/cache/referats/20067/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1102">
4)<img src="/cache/referats/20067/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1103"> (изоморфно евклидовуслучаю)
5)<img src="/cache/referats/20067/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1104">
Зафиксируем на аффинной плоскости системукоординат и будем изображать на ней новую плоскость. Для длин вектора возможно три случая
1)<img src="/cache/referats/20067/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1105">
e1
a2
a1
IV
III
II
I
x
y
<img src="/cache/referats/20067/image128.gif" v:shapes="_x0000_s2100 _x0000_s1198 _x0000_s1224 _x0000_s1223 _x0000_s1222 _x0000_s1218 _x0000_s1217 _x0000_s1215 _x0000_s1214 _x0000_s1205 _x0000_s1204 _x0000_s1203 _x0000_s1200 _x0000_s1201 _x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1219 _x0000_s1220 _x0000_s1221"> SHAPE * MERGEFORMAT <img src="/cache/referats/20067/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1106">Если такие векторы откладывать отначала координат, то они отложатся внутри I и IIIуглов, образованных “биссектрисами” координатных углов .
2)<img src="/cache/referats/20067/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1107">
3)<img src="/cache/referats/20067/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1108">II и IV углах.
Таккак все коллинеарные векторы естьвекторы одного и того же рода, то всепрямые можно разбить тоже на три типа:
-Прямаяназывается прямой 1-го рода, если её направляющий вектор 1-го рода.
-Прямая называется прямой 2-го рода, если её направляющийвектор 2-го рода.
-Прямая называется прямой изотропной, если её направляющийвектор изотропный.
Определение 5. Расстоянием между точками A и B назовем обобщенную длину вектора <img src="/cache/referats/20067/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1109"><img src="/cache/referats/20067/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1110">A<img src="/cache/referats/20067/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1111"> B<img src="/cache/referats/20067/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1112"> то <img src="/cache/referats/20067/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> числом, нулем, и чисто мнимым числом.
Свойства расстояний:
10<img src="/cache/referats/20067/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> для<img src="/cache/referats/20067/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1115">А, В.
20если <img src="/cache/referats/20067/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> и того же рода, то выполняется неравенство
<img src="/cache/referats/20067/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1117">
Введем вспомогательную систему координат, повернув данную с.к. на 450. Формулы преобразованиякоординат будут:
<img src="/cache/referats/20067/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1118">
x
O
y
Y
X
45
<img src="/cache/referats/20067/image154.gif" align=«left» v:shapes="_x0000_s1281 _x0000_s1253 _x0000_s1280 _x0000_s1235 _x0000_s1236 _x0000_s1234 _x0000_s1232 _x0000_s1233 _x0000_s1240 _x0000_s1242 _x0000_s1248 _x0000_s1249 _x0000_s1260">Тогда <img src="/cache/referats/20067/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1119">
<img src="/cache/referats/20067/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
Определение 6. Окружностьюназывается множество точек плоскости Минковского, равноудаленных от даннойточки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние, на котороеудалены все точки окружности от центра, называется радиусом окружности. ПустьС(Х0, У0)-центр, r радиусокружности, тогда точка М(Х, У)<img src="/cache/referats/20067/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1121"><img src="/cache/referats/20067/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1122"> или <img src="/cache/referats/20067/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1123"> — уравнение вовспомогательной с.к. (в основных координатах <img src="/cache/referats/20067/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1124">
Если r>0, то окружность называется окружностью 1 рода.
Если r чисто мнимое число,то окружность называется окружностью 2 рода.
Если r=0, то окружность называется изотропной.
Из уравнения окружности следует, что она изображается гиперболой с центром в С(х0, у0).Оси этой гиперболы параллельны осям Ох, Оу, а асимптоты параллельны биссектрисамкоординатных углов, т.е. параллельны осям ОХ,ОУ.
y
x
Y
X
Окружность 1го рода
Окружность 2го рода
<img src="/cache/referats/20067/image167.gif" v:shapes="_x0000_s1415 _x0000_s1416 _x0000_s1417 _x0000_s1418 _x0000_s1419 _x0000_s1420 _x0000_s1421 _x0000_s1422 _x0000_s1423 _x0000_s1424 _x0000_s1425 _x0000_s1426 _x0000_s1427 _x0000_s1428 _x0000_s1429 _x0000_s1430 _x0000_s1431 _x0000_s1432 _x0000_s1433 _x0000_s1434 _x0000_s1435 _x0000_s1436 _x0000_s1437 _x0000_s1438 _x0000_s1439 _x0000_s1440"> <span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «MS Mincho»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA"><span Times New Roman";mso-font-kerning:0pt;mso-ansi-language: EN-US;mso-bidi-font-weight:normal">I
<span Times New Roman";mso-font-kerning:0pt;mso-bidi-font-weight: normal">.3.Движение плоскости МИНКОВСКОГО.Определение7. Движением плоскости <img src="/cache/referats/20067/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1125"> называют такое аффинное преобразование, которое сохраняетобобщенное расстояние между точками. Выведем формулы движения. Так как движениеаффинное преобразование, то его формулы во вспомогательных координатах
(1)<img src="/cache/referats/20067/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> <img src="/cache/referats/20067/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> mi и ni так, чтобы сохранялосьрасстояние между точками. Пусть <img src="/cache/referats/20067/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> Тогда <img src="/cache/referats/20067/image177.gif" v:shapes="_x0000_i1129">
<img src="/cache/referats/20067/image179.gif" v:shapes="_x0000_i1130">
<img src="/cache/referats/20067/image181.gif" v:shapes="_x0000_i1131">
Так как <img src="/cache/referats/20067/image183.gif" v:shapes="_x0000_i1132"><img src="/cache/referats/20067/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1133">
<img src="/cache/referats/20067/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> и правойчасти стоят многочлены от <img src="/cache/referats/20067/image189.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> при всехзначениях переменных. Это верно тогда и только тогда, когда равны соответствующие коэффициенты:
<img src="/cache/referats/20067/image191.gif" v:shapes="_x0000_i1136">
Решим полученную систему. Возможны случаи:
1) m1=0.Таккак <img src="/cache/referats/20067/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1137">n1<img src="/cache/referats/20067/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> и m2<img src="/cache/referats/20067/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> следовательно, n2=0, из 3гоуравнения n1m2=1.Если обозначить m2=v, то n1=1/v и v-любое, отличное от 0действительное число. На a и b никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим
<img src="/cache/referats/20067/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1140"> (2).
2) n1=0 так как <img src="/cache/referats/20067/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1141">m1<img src="/cache/referats/20067/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> и m2=0, следовательно n2≠0,из 3го уравнения n2m1=1.Если обозначить m2=v, то n1=1/v и v-любое, отличное от 0действительное число. На a и b никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим:
<img src="/cache/referats/20067/image199.gif" v:shapes="_x0000_i1143">
Итак, всякое движение псевдоевклидовой плоскости вовспомогательной с.к. можно задать формулами (2) или (3). Обратно, если преобразование задано формулами (2)или (3), то оно сохраняет обобщенное расстояние,т.е. является движением Минковского.
Движение, задаваемое формулами (3), называется движением 1-го рода.
Движение, задаваемое формулами (2), называется движением 2-го рода.
Свойства движения.
10Тождественное преобразование есть движение.
20Преобразование, обратное движению, есть движение.
30Произведение 2-х движений есть движение.
Следствие. Множество движений плоскости Минковского есть группа.
40Движение сохраняет обобщенное скалярное произведение.
Доказательство.
Движение сохраняет расстояние между точками <img src="/cache/referats/20067/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1144"> оно сохраняетскалярный квадрат вектора. Пусть a и b –любые вектора.<img src="/cache/referats/20067/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1145"><img src="/cache/referats/20067/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1146"> <img src="/cache/referats/20067/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1147">
Рассмотрим частные случаи движений 1-го и 2-го рода
Движения Iрода (собственные).
1) v=1;a,b – любые действительныечисла. Формулы (3) перепишутся<img src="/cache/referats/20067/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><img src="/cache/referats/20067/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1149">.Они задают параллельный перенос.
y
x
Y
X
M1
M
<img src="/cache/referats/20067/image211.gif" v:shapes="_x0000_s1102 _x0000_s1067 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1066 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1100 _x0000_s1101"> a=b=0<img src="/cache/referats/20067/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1150"> любая точка М(Х, У) и её образ М’(Х’, У’) лежат на одной гиперболе ХУ=с, т.е. на одной окружности Минковского. По аналогии с евклидовой плоскостью это движение называют гиперболическим поворотом с центром в т. О и коэффициент v.3)a,b — любыедействительные числа, v отличное от 0. Преобразование, задаваемое формулами (3),можно представить как произведение двухпреобразований. Пусть <img src="/cache/referats/20067/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1151"><img src="/cache/referats/20067/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> и <img src="/cache/referats/20067/image219.gif" v:shapes="_x0000_i1153"><img src="/cache/referats/20067/image221.gif" v:shapes="_x0000_i1154"><img src="/cache/referats/20067/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1155"><img src="/cache/referats/20067/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1156">
Вывод. Всякое собственное движение плоскостиМинковского есть либо параллельный перенос, либо гиперболический поворот сцентром в начале координат, либо произведение гиперболического поворота и параллельногопереноса.
Пусть <img src="/cache/referats/20067/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1157"><img src="/cache/referats/20067/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1158"> и <img src="/cache/referats/20067/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1159"> подставим в (3) иполучим <img src="/cache/referats/20067/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> v<img src="/cache/referats/20067/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1161">, т.е. f — не параллельныйперенос, то из последней системы <img src="/cache/referats/20067/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1162">С(<img src="/cache/referats/20067/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1163"><img src="/cache/referats/20067/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1164">
<img src="/cache/referats/20067/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1165">f есть произведениегиперболического поворота с центром в т. Си параллельного переноса на вектор <img src="/cache/referats/20067/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1166">
Движение 2-го рода (несобственное).
<img src="/cache/referats/20067/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1167"> (2).
1) v=1,a=b=0 получим <img src="/cache/referats/20067/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> есть формулыосевой симметрии относительно биссектрисы 1-го координатного угла в системе ХОУ, т.е относительно оси ОУ в основной системекоординат.
2) При общих формулах (2) <img src="/cache/referats/20067/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> , где <img src="/cache/referats/20067/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1170"><img src="/cache/referats/20067/image251.gif" v:shapes="_x0000_i1171"><img src="/cache/referats/20067/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1172">
Вывод. Любое несобственное движение естьлибо симметрия относительно основной оси Оу, либо может быть представлено в виде произведения этой симметрии и собственногодвижения.
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «MS Mincho»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA"><span Times New Roman";mso-font-kerning:0pt;mso-ansi-language: EN-US;mso-bidi-font-weight:normal">I
<span Times New Roman";mso-font-kerning:0pt;mso-bidi-font-weight: normal">.4.Угол междувекторами и прямыми.Определение 8. Углом междунеизотропными векторами <img src="/cache/referats/20067/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1173"> и <img src="/cache/referats/20067/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1174"> называется, такоечисло <img src="/cache/referats/20067/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> (действительное иликомплексное), которое определяется формулой:
<img src="/cache/referats/20067/image256.gif" v:shapes="_x0000_i1176"> (4).
Определение 9.Угломмежду прямыми ( неизотропными) называется угол между их направляющими векторами.
Свойства углов.
10Для<img src="/cache/referats/20067/image258.gif" v:shapes="_x0000_i1177">, т.е.углы между сонаправленными векторами равны. Согласно этому <img src="/cache/referats/20067/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1178"> <img src="/cache/referats/20067/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1179"><img src="/cache/referats/20067/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1180"> сонаправленны с <img src="/cache/referats/20067/image266.gif" v:shapes="_x0000_i1181"><img src="/cache/referats/20067/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1182"> и имеют длину 1 или i.
20Если <img src="/cache/referats/20067/image268.gif" v:shapes="_x0000_i1183"><img src="/cache/referats/20067/image270.gif" v:shapes="_x0000_i1184"><img src="/cache/referats/20067/image272.gif" v:shapes="_x0000_i1185">
30Таккак все направляющие векторы прямых коллинеарны, то с помощью опр. 9 мы получаем два угла междупрямыми.
40Движение сохраняет угол между векторами(а поэтому и между прямыми). Это следует из того, что при движении сохраняетсяобобщенное скалярное произведение и обобщенная длина.
<img src="/cache/referats/20067/image273.gif" v:shapes="_x0000_s1190"><img src="/cache/referats/20067/image274.gif" v:shapes="_x0000_s1189"><div v:shape="_x0000_s1186">
y
<img src="/cache/referats/20067/image275.gif" v:shapes="_x0000_s1185"> Рассмотрим угол между векторамиодного и того же рода. Пусть это будутвекторы 1-го рода (для векторов 2-города аналогично). Отложим <img src="/cache/referats/20067/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/20067/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1187"> от начала координат.Тогда их концы лежат на единичной окружности с центром в начале координат.Y
X
x
b0
a0
е1
<img src="/cache/referats/20067/image276.gif" v:shapes="_x0000_s1443 _x0000_s1444 _x0000_s1184 _x0000_s1187 _x0000_s1191 _x0000_s1192 _x0000_s1202 _x0000_s1194 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1197 _x0000_s1943 _x0000_s1944">Совершим гиперболический поворот так, чтобы вектор <img src="/cache/referats/20067/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1188"> повернулся в вектор <img src="/cache/referats/20067/image278.gif" v:shapes="_x0000_i1189"><img src="/cache/referats/20067/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1190"> повернется в <img src="/cache/referats/20067/image281.gif" v:shapes="_x0000_i1191"><img src="/cache/referats/20067/image283.gif" v:shapes="_x0000_i1192"> <img src="/cache/referats/20067/image285.gif" v:shapes="_x0000_i1193"><img src="/cache/referats/20067/image287.gif" v:shapes="_x0000_i1194"> Так как вектор<img src="/cache/referats/20067/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1195"> – первого рода, то <img src="/cache/referats/20067/image264.gif" v:shapes="_x0000_i1196">’ тоже первого рода и он будет откладываться в I и III углах, т.е.<img src="/cache/referats/20067/image289.gif" v:shapes="_x0000_i1197"><img src="/cache/referats/20067/image291.gif" v:shapes="_x0000_i1198"> одного рода). Отсюда следует, что <img src="/cache/referats/20067/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1199"><img src="/cache/referats/20067/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1200"><img src="/cache/referats/20067/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1201"><img src="/cache/referats/20067/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1202"><img src="/cache/referats/20067/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1203"><img src="/cache/referats/20067/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1204"><img src="/cache/referats/20067/image299.gif" v:shapes="_x0000_i1205"> называют действительным углом между векторамиодного рода.
Тогда <img src="/cache/referats/20067/image301.gif" v:shapes="_x0000_i1206"><img src="/cache/referats/20067/image303.gif" v:shapes="_x0000_i1207"> для векторов одногорода. Если использовать график функции у=<img src="/cache/referats/20067/image305.gif" v:shapes="_x0000_i1208"> получим:
Y=ch
X
1
<img src="/cache/referats/20067/image307.gif" align=«left» v:shapes="_x0000_s1449 _x0000_s1448 _x0000_s1454 _x0000_s1455 _x0000_s1458 _x0000_s1452 _x0000_s1450 _x0000_s1451 _x0000_s1457 _x0000_s1456">1) <img src="/cache/referats/20067/image309.gif" v:shapes="_x0000_i1209"><img src="/cache/referats/20067/image305.gif" v:shapes="_x0000_i1210">
2) Если <img src="/cache/referats/20067/image305.gif" v:shapes="_x0000_i1211"> возрастает от 1 до <img src="/cache/referats/20067/image313.gif" v:shapes="_x0000_i1212"><img src="/cache/referats/20067/image315.gif" v:shapes="_x0000_i1213"> возрастает от 0 до <img src="/cache/referats/20067/image313.gif" v:shapes="_x0000_i1214">
Следовательно, между двумя векторами одного рода угол (с точностью до знака ) определяется однозначно (в отличие отевклидовой плоскости. Там углы <img src="/cache/referats/20067/image317.gif" v:shapes="_x0000_i1215"> это углы междуодной и той же парой векторов).
Если вектора разныхродов, то <img src="/cache/referats/20067/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1216"> являетсясмешенным комплексным числом вида <img src="/cache/referats/20067/image319.gif" v:shapes="_x0000_i1217">
Определение 10Два ненулевых вектора <img src="/cache/referats/20067/image266.gif" v:shapes="_x0000_i1218"><img src="/cache/referats/20067/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1219"> называются ортогональными,если <img src="/cache/referats/20067/image321.gif" v:shapes="_x0000_i1220">=0.(или<img src="/cache/referats/20067/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1221"><span MS Mincho";mso-ascii-font-family: «Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-fareast-language: JA">┴
<img src="/cache/referats/20067/image325.gif" v:shapes="_x0000_i1222">Свойства.
10Изотропный вектор ортогонален сам себе.(<img src="/cache/referats/20067/image327.gif" v:shapes="_x0000_i1223">).
20Если <img src="/cache/referats/20067/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1224"><span MS Mincho";mso-ascii-font-family: «Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-fareast-language: JA">┴
<img src="/cache/referats/20067/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1225">, то <img src="/cache/referats/20067/image329.gif" v:shapes="_x0000_i1226"><img src="/cache/referats/20067/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1227"><span MS Mincho";mso-ascii-font-family: «Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-fareast-language: JA">┴<img src="/cache/referats/20067/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1228"> для <img src="/cache/referats/20067/image331.gif" v:shapes="_x0000_i1229">30<img src="/cache/referats/20067/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1230"><span MS Mincho";mso-ascii-font-family: «Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-fareast-language: JA">┴
<img src="/cache/referats/20067/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1231"><img src="/cache/referats/20067/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1232"><img src="/cache/referats/20067/image334.gif" v:shapes="_x0000_i1233">, а это есть условие сопряженностинаправлений <img src="/cache/referats/20067/image336.gif" v:shapes="_x0000_i1234"><img src="/cache/referats/20067/image338.gif" v:shapes="_x0000_i1235"> относительногиперболы <img src="/cache/referats/20067/image340.gif" v:shapes="_x0000_i1236"> относительно гиперболы <img src="/cache/referats/20067/image340.gif" v:shapes="_x0000_i1237">
y
x
b
a
<img src="/cache/referats/20067/image341.gif" v:shapes="_x0000_s1181 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107 _x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1170 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1129 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1132 _x0000_s1135 _x0000_s1533">Две прямые называтьсяортогональными, если ортогональны их направляющие векторы. Если прямаяизотропна, то любой её направляющий вектор ортогонален сам себе и всем параллельнымему векторам. Поэтому для изотропных прямых параллельность и перпендикулярностьсовпадают.
Пример Данапрямая l и точка A. Построить прямую s<img src="/cache/referats/20067/image343.gif" v:shapes="_x0000_i1238"><span MS Mincho"; mso-ascii-font-family:«Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-fareast-language:JA">┴
l .A) l неизотро