Реферат: Высшая математика

Федеральноеагентство по образованию

ГОУ ВПО

ФилиалУральского государственного экономического университета

в г. Березники

Кафедра«математических и естественнонаучных дисциплин»

Контрольнаяработа

по дисциплине:«высшая математика»

Тема: «Вариант №18»

Выполнил:

студент Iкурса, группы ЭКПС-091

Лоскутова ИринаПетровна .

Проверил:

к. ф-м. н., профессор .

Кобзев ВикторНиколаевич .

Березники

2010

Содержание

1. Задача № 1

2. Задача№ 2

3. Списоклитературы

Вариант № 18

№ 1

Составить оптимальныйсуточный рацион для откорма крупного рогатого скота, имеющий наименьшуюстоимость. Рацион состоит из силоса и концентратов. Содержание каротина икормовых ед. в 1 кг силоса 0 и 4 ед. соответственно, а в 1 кг концентратов 1 и3 ед. соответственно. Для каждого животного суточная норма каротина 5 ед., акормовых ед. 31. Цена 1 кг силоса 20 руб., а 1 кг. концентратов 30 руб.

а) Записатьматематическую модель задачи.

б) Решить задачуграфическим методом.

а) Пусть Х1 и Х2 –количество каротина и кормовых единиц, необходимых для откорма.

Тогда суточный рационзадается целевой функцией Z(Х)=20Х1+30Х2

Т.к. суточная нормаограничена, то Х1 и Х2 должны удовлетворять неравенствам 4Х2 ≥5

Х1+3Х2≥31

Х1≥0, Х2≥0

математическийфункция уравнение неизвестное

Таким образом,математическая модель имеет вид

Найти значения Х1 и Х2,удовлетворяющие системе неравенств

/> 4Х2≥5

Х1+3Х2≥31

Х1≥0, Х2≥0

и при которых функция Z(Х)=5Х1+31Х2достигает минимума.

б) Решим задачуграфическим методом.

1. построим прямые

4Х2=5 Х1+3Х2=31

Х2=1,25

Х1 31 Х2 10,3 0

2. Для каждой прямойвыделим полуплоскость, соответствующую неравенству

— выбираем точку непринадлежащую прямым (например, т. (0;0))

— подставляем еекоординаты в каждое неравенство

— если неравенствоверное, то выделяем полуплоскость, в которой лежит данная точка.

— если неравенство неверное, то выделяем другую полуплоскость.

/>т. (0;0) 4*0=0<5(в)

1*0+3*0=0<31 (в)

3. выделим общую частьполуплоскостей, получая ОДР задачи.

/>/>4.Сроим вектор n ={5;31} и прямую(линию уровня) Z=0 n

5. Продвигаем линиюуровня Z=0 в направлениивектора n до тех пор, пока онане перестанет пересекать ОДР, т.е. пока не будут касаться этой области.

6. Найдем координаты т.С решив систему уравнений

/>/>/>/>/>/> 4Х2=5 Х2=1,25 Х2=1,25

Х1+3Х2=31 Х1=30 — 3Х2 Х1=27,25

т. С (27,25;1,25)

7. Найдем значениецелевой функции в т. С

Z(Х)=5*27,25+31*1,25=136,25+38,75=175 (руб.)

Ответ: для полученияоптимального суточного рациона стоимостью 175 руб. необходимо 27,25 кг силоса и1,25 кг концентрата.

№2

Решить транспортнуюзадачу методом потенциалов.

поставщик потребитель Запасы груза В1 В2 В3 В4 А1 5 9 11 3 7 А2 19 8 7 5 17 А3 4 6 3 1 10 Потребность 11 19 20 3

1. Определимтип задачи: для этого найдем суммарные запасы

поставщиков∑ Аi и суммарные запасыпотребителей ∑ Вj

i≥1j≥1

∑Ai= 7+17+10=34

i≥13 4

∑Ai≠∑ Bjзадачаоткрытого типа.

4i≥1 j≥1

∑Bj= 11+19+20+3=53

j≥1

Приведемзадачу к закрытому типу:

Введемфиктивного поставщика А4iс запасом груза в 19 ед. (53-34) и стоимостью перевозок С4j=0.

Получимтаблицу 1.

/>Bj

11 19 20 3 7

(7)

U1=0 17

(4)

(13)

U2=3 10

(7)

(3)

U3=-1 19

(4)

(15)

U4=-5 V1=5 V2=2 V3=4 V4=2

2. Составляемначальный опорный план методом наименьшей стоимости: начинаем загружать склетки с наименьшей стоимостью (С34 = 1), в которую пишем min(3;3) = 3 (т.к. у поставщика А2 -3 ед. груза, а потребителю В нужно 3 ед.груза), далее из оставшихся клеток загружаем опять клетку с наименьшейстоимостью и так до тех пор, пока все запасы не будут исчерпаны, а все запросы– удовлетворены. Всего должно быть загружено 4+4-1=7 клеток.

Найдемзначение целевой функции при полученном плане перевозок

Z(X)=7*5+4*0+4*8+15*0+13*7+7*3+3*1=35+32+91+21+3=182

3. Проверяемплан на оптимальность

— каждому поставщику ставим в соответствие число Ui, а каждому потребителю – число Vj, называемые потенциалами.

— для каждой «загруженной» клетки составим уравнение Ui+Vj=Cij.В результате получим систему, состоящую из 7 уравнений с 8-ю неизвестными.Чтобы найти решение этой системы одной из переменных придаем конкретноечисловое значение ( например, U1= 0), тогда все остальные переменные находятся однозначно.

/> U2=3

/>/>/>U1+V1=5 V1=5 U3=-1

/>/>U2+V2=8U1=0 V2=3 U4=-5

/>U2+V3=7 V3=4

/>U3+V3=3 V4=2

U3+V4=1

U4+V1=0

U4+V2=0

- длякаждой «пустой» клетки вычисляем оценку

Sij=Cij-(Ui+Vj)

S12=9-(0+2)=7 S21=19-(3+5)=11 S32=6-(-1+2)=5

S13=11-(0+4)=7S24=5-(3+2)=0 S43=0-(-5+4)=1