Реферат: Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Курсоваяработа

Тема:

Автокорреляционнаяфункция. Примеры расчётов

/>Введение

Периодическая зависимостьиграть роль общего типа компонентов временного ряда. Не сложно заметить, чтокаждое наблюдение очень похоже на пограничное; к тому же имеется повторяющаясяпериодическая составляющая, что означает, что каждое наблюдение также похоже нанаблюдение, имевшееся в том же самое время период назад.

В общей сложности, периодическаязависимость может быть формально определена как корреляционная зависимостьпорядка n между каждым i-м элементом ряда и (i-n) – м элементом. Ее можно измерятьс помощью автокорреляции (т.е. корреляции между самими членами ряда); n обычноназывают лагом (иногда используют эквивалентные термины: сдвиг, запаздывание).Если оплошность измерения не слишком большая, то периодичность можно определитьвизуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые n временных единиц.

Периодическиесоставляющие временного ряда могут быть отысканы с помощью коррелограммы.Коррелограмма (автокоррелограмма) представляет численно и графическиавтокорреляционную функцию. Другими словами, коэффициенты автокорреляции дляпоследовательности шагов из определенного диапазона. На коррелограмме простоотмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однакообычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому чтоинтерес в основном представляют очень сильные автокорреляции [6, 207].

При изучении коррелограммследует знать следующее: автокорреляции последовательных лагов формальнозависимы между собой.

Рассмотрим пример. Еслипервый член ряда тесно связан со вторым, а второй с третьим, то первый элементдолжен также каким-то образом зависеть от третьего и т.д. Это приводит к тому,что периодическая зависимость может существенно измениться после удаленияавтокорреляций первого порядка, (т.е. после взятия разности с лагом 1).

Цель работы:

1. Дать основныетеоретические сведения

2. Дать примерырасчета АКФ

 
1. Теоретическиесведения 1.1 Коэффициент автокорреляции и его оценка

Для совершеннойхарактеристики случайного движения недостаточно его математического ожидания идисперсии. Вероятность того, что на определенном месте возникнут те или иныеконкретные значения зависит от того, какие роли случайная величина получилараньше или будет получать позже.

Другимисловами, существует поле рассеяния пар значений x(t), x (t+n) временного ряда,где n – постоянный интервал или задержка, которая характеризует зависимостьпоследующих реализаций процесса от предыдущих. Теснота этой взаимосвязиоценивается коэффициентами автоковариации –

g (n) = E[(x(t) – m) (x (t + n) – m)] –

иавтокорреляции

r (n) = E[(x(t) – m) (x (t + n) – m)] / D,

где m и D – математическоеожидание и дисперсия случайного процесса. Для расчета автоковариации иавтокорреляции реальных процессов необходима информация о совместномраспределении вероятностей уровней ряда p (x(t1), x(t2)).

r (n) = g (n)/g (0),

откудавытекает, что r (0) = 1. В тех же условиях стационарности множитель корреляцииr (n) между двумя значениями временного ряда зависит лишь от величинывременного интервала n и не зависит от самих моментов наблюдений t. [1]

В статистикеимеется несколько выборочных оценок теоретических значений автокорреляции r (n)процесса по конечному временному ряду из n наблюдений. Наиболее популярнойоценкой является нециклический коэффициент автокорреляции с задержкой n

автокорреляционныйфункция excel расчет

/>

Главным изразличных коэффициентов автокорреляции является первый – r1, измеряющий теснотусвязи между уровнями x(1), x(2),…, x (n -1) и x(2), x(3),…, x(n).

Распределениекоэффициентов автокорреляции неизвестно, поэтому для оценки их правдивостииногда используют непараметрическую теорию Андерсона (1976), предложившегостатистику [4, 112]

t = r1 (n-1)0.5,

которая придостаточно большой выборке распределена нормально, имеет нулевую среднюю идисперсию, равную единице (Тинтнер, 1965).

 
1.2 Автокорреляционные функции

Последовательностькоэффициентов корреляции rn, где n = 1, 2,…, n, как функция интервала n междунаблюдениями называется автокорреляционной функцией.

Видвыборочной автокорреляционной функции тесно связан со структурой ряда.

· Автокорреляционнаяфункция rn для «белого шума», при n >0, также образует стационарныйвременной ряд со средним значением 0.

· Для стационарногоряда АКФ быстро убывает с ростом n. При наличии отчетливого тренда автокорреляционнаяфункция приобретает характерный вид очень медленно спадающей кривой [3, 268].

· В случаевыраженной сезонности в графике АКФ также присутствуют выбросы длязапаздываний, кратных периоду сезонности, но эти выбросы могут бытьзавуалированы присутствием тренда или большой дисперсией случайной компоненты.

Рассмотримпримеры автокорреляционной функции:

· на рис. 1 представленграфик АКФ, характеризующегося умеренным трендом и неясно выраженнойсезонностью;

· рис. 2демонстрирует АКФ ряда, характеризующегося феноменальной сезоннойдетерминантой;

· практическинезатухающий график АКФ ряда (рис. 3) свидетельствует о наличииотчетливого тренда.

/>

Рис. 1.

/>

Рис. 2.

/>

Рис. 3.

В общемслучае можно предполагать, что в рядах, состоящих из отклонений от тренда,автокорреляции нет. Например, на рис. 4 представлен график АКФ дляостатков, полученных от сглаживания ряда, очень напоминающий процесс «белогошума». Однако нередки случаи, когда остатки (случайная компонента h) могутоказаться автокоррелированными, например, по следующим причинам [1, 172]:

· вдетерминированных или стохастических моделях динамики не учтен существенныйфактор[2]

· в модели неучтено несколько несущественных факторов, взаимное влияние которых оказываетсясущественным вследствие совпадения фаз и направлений их изменения;

· выбраннеправильный тип модели (нарушен принцип контринтуитивности);

· случайнаякомпонента имеет специфическую структуру.

/>

Рис. 4.

 

1.3 КритерийДарбина-Уотсона

КритерийДарбина-Уотсона (Durbin, 1969) представляет собой распространенную статистику,предназначенную для тестирования наличия автокорреляции остатков первогопорядка после сглаживания ряда или в регрессионных моделях.

Численноезначение коэффициента равно

d = [(e(2) –e(1))2 +… +(e(n) – e (n -1))2]/[e(1)2 +… + e(n)2],

где e(t) – остатки.

Возможныезначения критерия находятся в интервале от 0 до 4, причем табулированы еготабличные пороговые значения для разных уровней значимости (Лизер, 1971).

Значение dблизко к величине 2*(1 – r1), где r – выборочный коэффициент автокорреляции дляостатков. Соответственно, идеальное значение статистики – 2 (автокорреляцияотсутствует). Меньшие значения соответствуют положительной автокорреляцииостатков, большие – отрицательной [2, 193].

Например,после сглаживания ряда ряд остатков имеет критерий d = 1.912. Аналогичнаястатистика после сглаживания ряда – d = 1.638 – свидетельствует о некоторойавтокоррелированности остатков.

2.Примеры практических расчетов с помощью макроса Excel«Автокорреляционнаяфункция»

Все данные взяты с сайта e3.prime-tass.ru/macro/

Пример 1. ВВП РФ

Приведем данные о ВВП РФ

Год квартал ВВП первая разность 2001 I 1900,9 II 2105,0 204,1 III 2487,9 382,9 IV 2449,8 -38,1 2002 I 2259,5 -190,3 II 2525,7 266,2 III 3009,2 483,5 IV 3023,1 13,9 2003 I 2850,7 -172,4 II 3107,8 257,1 III 3629,8 522,0 IV 3655,0 25,2 2004 I 3516,8 -138,2 II 3969,8 453,0 III 4615,2 645,4 IV 4946,4 331,2 2005 I 4479,2 -467,2 II 5172,9 693,7 III 5871,7 698,8 IV 6096,2 224,5 2006 I 5661,8 -434,4 II 6325,8 664,0 III 7248,1 922,3 IV 7545,4 297,3 2007 I 6566,2 -979,2 II 7647,5 1081,3

Исследуем ряд

/>/>

Надиаграммах показаны: исходный ряд (сверху) и автокорреляционная функция до лага9 (снизу). На нижней диаграмме штриховой линией обозначен уровень «белого шума»– граница статистической значимости коэффициентов корреляции. Видно, чтоимеется сильная корреляция 1 и 2 порядка, соседних членов ряда, но и удаленныхна 1 единицу времени друг от друга. Корреляционные коэффициенты значительнопревышают уровень «белого шума». По графику автокорреляции видим наличиечеткого тренда.

Ниже даны значенияавтокорреляционной функции и уровня белого шума

АКФ(…) Ошибка АКФ 1 0,856 0,203 -0,203 2 0,762 0,616 -0,616 3 0,658 0,747 -0,747 4 0,550 0,831 -0,831 5 0,418 0,885 -0,885 6 0,315 0,915 -0,915 7 0,224 0,932 -0,932 8 0,131 0,940 -0,940

Еслинас интересует внутренняя динамика ряда необходимо найти первую разность егочленов, т.е. для каждого квартала найти изменение значения по сравнению спредыдущим кварталом. Для первой разности построим автокорреляционную функцию.

/>/>

Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =1,813 DW Up= 1,450 DW Low=1,290

СтатистикаДарбина-Уотсона показывает, что автокорреляции 1-го порядка нет. По графикуможно видеть, что первые разности возрастают, т. к. тренд восходящий.Видна автокорреляция 2 и 4-го порядков, что говорит о полугодовой и годовойсезонности. Значения функции и границы для «белого шума» представлены ниже

АКФ(…) Ошибка АКФ 1 -0,203 0,392 -0,392 2 -0,530 0,416 -0,416 3 -0,003 0,513 -0,513 4 0,637 0,513 -0,513 5 -0,087 0,627 -0,627 6 -0,423 0,629 -0,629 7 -0,028 0,673 -0,673 Пример 2. Импорт

Дано

год квартал номер значение разность 1999 I 1 3,10 II 2 3,40 0,30 III 3 3,33 -0,07 IV 4 3,80 0,47 2000 I 5 3,20 -0,60 II 6 3,60 0,40 III 7 3,70 0,10 IV 8 4,33 0,63 2001 I 9 3,60 -0,73 II 10 4,43 0,83 III 11 4,30 -0,13 IV 12 5,17 0,87 2002 I 13 4,13 -1,03 II 14 4,77 0,63 III 15 5,20 0,43 IV 16 5,97 0,77 2003 I 17 5,10 -0,87 II 18 5,90 0,80 III 19 6,33 0,43 IV 20 7,23 0,90 2004 I 21 6,43 -0,80 II 22 7,70 1,27 III 23 8,17 0,47 IV 24 9,08 0,92 2005 I 25 8,17 -0,92 II 26 9,80 1,63 III 27 10,50 0,70 IV 28 12,47 1,97 2006 I 29 10,40 -2,07 II 30 12,67 2,27 III 31 14,20 1,53 IV 32 17,10 2,90

Построимавтокорреляционную функцию

АКФ(…) Ошибка АКФ 1 0,802 0,211 -0,211 2 0,693 0,535 -0,535 3 0,585 0,637 -0,637 4 0,566 0,701 -0,701 5 0,423 0,756 -0,756 6 0,343 0,785 -0,785 7 0,255 0,803 -0,803 8 0,231 0,813 -0,813 9 0,131 0,822 -0,822 10 0,072 0,824 -0,824

/>/>

Видим, что естьавтокорреляция 1-го и 2-го порядков. График показывает наличие тренда.Положительная автокорреляция объясняется неправильно выбранной спецификацией, т. к.линейный тренд тут непригоден, он скорее экспоненциальный. Поэтому сделаем рядстационарным, взяв первую разность.

АКФ(…) Ошибка АКФ 1 -0,297 0,343 -0,343 2 0,309 0,390 -0,390 3 -0,420 0,420 -0,420 4 0,636 0,471 -0,471 5 -0,226 0,571 -0,571 6 0,214 0,583 -0,583 7 -0,311 0,593 -0,593 8 0,444 0,613 -0,613 9 -0,229 0,653 -0,653

/>/>

Видим наличиеавтокорреляции 4-го порядка, что соответствует корреляции данных, отдаленных нагод. Автокорреляцию первого порядка не имеем.