Реферат: Застосування подвійних інтегралів

а)обчислення площі плоскої фігури;

Площа плоскої області дорівнює. Якщо область визначена нерівностями, то площа дорівнює. Якщо область визначена нерівностями

, то площа дорівнює .

Якщо область у полярних координатах визначена нерівностями, то площа дорівнює

б) обчислення об’ємів;

Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі і яке обмежене знизу областю, що лежить на площині, а зверху поверхнею, яка неперервна в області, знаходиться за формулою. Якщо циліндричне тіло обмежене зверху поверхнею, а знизу поверхнею і проектується на площину в область, то об’єм обчислюється за формулою .

в) обчислення площі поверхні;

Якщо поверхня, яка задана рівнянням, проектується на

площину в область і функції неперервні в цій області, то площу цієї поверхні знаходять за формулою:. Якщо поверхня має рівняння виду, то

, де – проекція поверхні на площину. Якщо поверхня має рівняння виду, то

, де – проекція поверхні на площину .

г) маса плоскої пластини;

Нехай на площині пластина займає замкнену область, в кожній точці якої відома густина, розмірність якої. Маса такої пластини визначиться за формулою

д) центр маси пластини, статичні моменти:

Центр маси пластини обчислюється за формулами,, де, – статичні моменти пластини відносно осей та відповідно. Якщо пластина однорідна, то густина .

е) моменти інерції пластини;

Моменти інерції пластини та, відносно координатних осей і обчислюється за формулами:,. Момент інерції пластини відносно початку координат .

Зауваження: якщо в формулах для обчислення моментів інерції покласти, то одержимо геометричні моменти інерції.

Задача 21. Обчислити площу плоскої фігури, обмежену лініями: .

Розв’язання: Побудуємо плоску фігуру, обмежену заданими лініями. Знайдемо точки перетину ліній, що обмежують фігуру. Для

цього розв’яжемо систему рівнянь:

. Дістанемо та. Фігура знаходиться між двома перпендикулярами: та. В цей час змінюється від до. Запишемо подвійний інтеграл через повторний (випадок I):

= (кв.од.)

Задача 22. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та .

Розв’язання: Розглянемо восьму частину заданого тіла. Поверхня, яка обмежує її зверху проектується в площину у чверть кола радіуса з центром в точці :

Для обчислення об’єму циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі, яке обмежене знизу поверхнею, а зверху – поверхнею застосовують формулу:

. В нашому випадку, а. Тоді (куб.од).

Маємо (куб.од).

Задача 23. Знайти площу частини конуса, що міститься в середині циліндру .

Розв’язання: Зробимо рисунок поверхні. Площу поверхні обчислимо за формулою:

, де – проекція даної поверхні на

площину. Розв’яжемо рівняння конуса відносно :

. Знайдемо частинні похідні по та :

Область у площині є круг, обмежений колом

Знайдемо підінтегральну функцію:

, тому .

Так як область інтегрування є круг, то перейдемо у полярну систему координат:. Запишемо рівняння кола у полярних координатах:

, .

(кв. од.).

Задача 24. Знайти масу матеріальної пластини, що має форму замкненої області, обмеженої лініями: а густина в кожній точці визначається функцією, неперервною в області .

Розв’язання: Побудуємо область

Маса такої пластини визначається за формулою: .

Маємо .

.

Задача 25. Знайти центр маси однорідної пластини, обмеженої кривою та віссю .

Розв’язання: Зробимо рисунок пластини.

Координати центра маси пластини обчислюється за формулами,, де,,. Так як пластина однорідна, то. В цьому випадку матимемо

.

Обчислимо інтеграли

;

.

Тоді .