Реферат: Теория вероятностей и математическая статистика

Элементы комбинаторики

При решении вероятностныхзадач часто приходится в заданном множестве выбирать подмножества, обладающие определеннымисвойствами. Поскольку в таких задачах речь идет про те или иные комбинации объектов,то их называют комбинаторными задачами.

Множество наз.Упорядоченным, если в нем указан порядок следования элементов. Например />

Основные правилакомбинаторики

1.Правило суммы

Пусть из множестваА элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nk спосбами. Тогда выбор одногоиз этих элементов или а1, или а2,…, или аk можно произвести n1+n2+…+nk способами.

2.Правило произведения

Пусть из множестваА элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nk спосбами. Тогда одновременныйвыбор элементов а1, а2,…, аk можно выбрать n1*n2*…*nk способами.

Пример

Из 3-ех классовспорт. школы нужно составить команду для соревнований, взяв по одному ученику изкласса. Сколько команд можно составить, если в одном классе 18 учеников, в другом-20,в третьем-22.

Решение:n1=18, n2-20, n3=22

n1*n2*n3=18*20*22=7820 способов.

Основные соединениякомбинаторики.

1)Размещения

Пусть множествоА состоит из n элементов.Будем выбирать из оттого множества упорядоченные множества, состоящие из k элементов. Такие подмножествабудут называться размещениями из nэлементов по k. Размещения отличаются другот друга как элементами, так и порядком.

Например, измножества /> составим размещения по 2 элемента./>,/>,/>,/>,/>,/>

Число размещенийиз n элементов по k обозначают /> и вычисляют по формуле: /> ; (0!=1)

2)Перестановкииз nэлементов k

Перестановкамииз nэлементов по k называют размещения, у которыхn=k. Перестановки отличаютсятолько порядком элементов. />; />; />; />;/>; />

Число перестановокиз n элементов по k (n=k):

/>

3)Сочетанияиз nэлементов по k

Пусть мн-во Асостоит из n элементов.Из него будем выбирать неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов, которые будут называтьсясочетаниями из nэлементов k. Сочетания различаются междусобой только элементами. />: />,/>,/>

Число сочетанийиз n элементов по k:

 />

Примеры:

1)Студентам нужносдать сдать 4-ре экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание?

(2,3,7,8) Из множества,содержащего 8 элементов выбираем подмножества по 4 элемента, порядок которых намне безразличен, следовательно число способов:

/>

2)На 4-ех карточкахнаписаны цифры 0,1,2,3. Сколько различных четырехзначных чисел чисел можно составитьиз этих карточек?

4!-3!=24-6=18

3)В хоккейномтурнире участвует 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколькоигр будет сыграно в турнире?

Т.к в выбираемыхмножествах по 2 элемента из 6, порядок безразличен, то кол-во игр=числу сочетанийиз 6 по 2:

/>

4)6 друзей собралисьна встречу. Один из них произнес тост: собираться столько лет пока каждый не посидитна новом месте. />

Испытания исобытия. Виды событий

В любой точнойнауке существуют основные понятия. Если в геометрии это: точка, прямая, плоскость,то в теории вероятности основными понятиями являются испытания, события, вероятность.

Испытание(опыт)-осуществление какого-либокомплекса условий.

Испытанием будетявляться бросание игральной кости.

Событие(исход)-результат испытания.

События могутбыть достоверными, невозможными, случайными.

Достоверноесобытие-событие,кот. обязательно произойдет в результате данного испытания. />. Например, при бросании игральнойкости выпало число от 1 до 6.

Невозможноесобытие-событие,кот. не может произойти в результате данного испытания. Например,, при бросании

игральной костивыпало 7 очков.

Случайное событие-событие, кот. может произойти,а может не произойти в результате данного испытания. А, В, С,… Например, выпало 6очков при бросании кости.

Виды случайныхсобытий

Случайные событияназываются совместными, если появление одного из них не исключает появлениедругого. В противном случае — несовместние.

А — в аудиториювошел мужчина, В — в аудиторию вошел человек старше 30 лет. А и В — совместные

Стрелок произвелвыстрел по цели. А — попадание, В — промах; А и В — несовместные.

Случайное событиеназывается единственно возможным, если в результате испытания появление одногои только одного из них является достоверным событием. Бросают монету. А — герб,В — надпись.

Случайные событияназываются равновозможными, если в результате испытания нет оснований считать,что одно из них более возможно, чем другое.

Случайные событияназываются противоположными, если не появление одного из них влечет появлениедругого. А, />

Совокупность всехединственно возможных событий данного испытания составляет полную группу событий

А1-1 очко

А2-2 очка

А3-3 очка

А4-4 очка Полнаягруппа событий

А5-5 очков

А6-6 очков

Действия надсобытиями

1)Суммой двухсобытий А и В называется событие, состоящее в том,

что произошлоили событие А, или событие В, или оба вместе, т.е.

произошло хотябы одно событие. С=А+В “+”-или

Примеры:

1)Соб. А-туристпосетил город А

Соб. В-туристпосетил город В

Соб. С-туристпосетил город С

А+В=С – туристпосетил или г. А, или г.В, или оба вместе.

2)При бросанииигральной кости:

А-выпало четноечисло очков />

В-выпало числоочков, кратное 3-ем />

А+В-выпало числоочков или четное, или кратное 3-ем />

Геометрическаяинтерпретация суммы событий

Диаграмма Венна

/>

1 />/>/>/>/>/>Для совместных

/> событий

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />

2 />/>/> Для несовмест. соб.

Произвольным образомбросаем точку на плоскость. Если она попадет в область А, то произошло событие А,если в область В, то-событие В, если попадет в область с двухсторонней штриховкой,то события А и В произошли одновременно. Тогда сумме событий будет соответствоватьобласть, отмеченная жирной линией. В случае несовместных событий сумме А+Вбудет соответствовать две непересекающиеся области. 2)Произведением событий Аи В называется событие С, которое наступает с совместным наступлением А и В.А*В “ * ”-заменяет союз « И »

/>/> 

/>

/>/>/> Для произведения соб.

/>Аналогично определяются сумма и произведениедля нескольких событий.

Классическая формулавероятности. Свойства вероятности.

Вероятность являетсяодним из основных понятий в теории вероятностей.

При употребленииэтого слова мы интуитивно оцениваем возможность появления того или иного события.Можно сказать, что одно событие наступит чаще, чем другое.

В урне содержится28 шаров, из них 2 белых, 13 красных, 13 черных. На удачу вынимаем 1 шар. Красныйили черный шар можно вытянуть с большей возможностью, а белый – с меньшей. Из этогопримера видно, что каждое событие обладает определенной степенью возможности, т.е.некоторой числовой оценкой.

Вероятностьюсобытия Аназывается численная мера объективной возможности его появления. Р=Р(А)

Классическойсхемой или схемой случаев называется испытание, при котором число исходов (событий) конечнои все из них равновозможные.

Исход испытания(события) называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступлениесобытия А.

Классическойвероятностью события А называется отношение числа исходов М, благоприятствующих событиюА, к общему числу всех исходов испытания N. Р(А)=M/N

Из определенияследуют следующие свойства.

1)Вероятностьдостоверного события. Р(/>)=1

/>/>2)Вероятность невозможного события. Р=0

3) Вероятностьслучайного события. 0<P(A)<1

4) Вероятностьлюбого события ./>

5)Сумма вероятностейпротивоположных событий =1. Р(А)+Р(Ä)=1

6)Сумма вероятностейполной группы событий=1. />

Примеры:

1)Консультационныйпункт института получает пакеты с контрольными из городов А, В, С. Вероятность полученияпакета из г. А 0,7, из В 0,2. Найти вероятность получения пакета из г. С

/>/>А-пакет получен из г. А

В-пакет получениз г. В Полная группа событий

/>С -пакет получен из г. С

Р(А)+Р(В)+Р(С)=1

0,7+0,2+Р(С)=1; Р(С)=0,1

2)Брошено 2 игральныекости. Найти вероятность того, что 6 очков появится хотя бы на одной грани.

Событие А – 6очков появилось хотя бы на одной грани

Событие /> – появилось число очков неравное 6

Р(А)=1 — Р(/>)

Р(/>)=М/N

N=6*6=36

M=5*5=25

Р(/>)=25/36

Р(А)=1 — Р(/>)=1-25/36=11/36

3)На 5 карточкахнаписаны буквы «а, д, к, л, о». Карточки тщательно перемешивают, а затем выкладываютпо одной на стол. Какова вероятность того, что получится слово «лодка»?

Событие А – получилосьслово «лодка»

Р=M/N

/>

Р(А)=1/120

5)Набирая номертелефона абонент забыл 3 последние цифры и помня, что они разные набрал, номер телефона.Какова вероятность того, что номер набран верно?

Р(А)=М/N

М=1

/>

Р(А)=1/720

6)В ящике имеется10 деталей, среди них 7 стандартных. На удачу берем 6.

Какова вероятностьтого, что среди 6 деталей окажется ровно 4 стандартных?

Соб. А – среди6 выбранных деталей 4 стандартные.

Р(А)=M/N/>

7)В ящике лежит10 заклепок, изготовленных из разного материала: 5 железных, 3 латунных, 2 медных.Наудачу берем 2 заклепки. Какова вероятность того, что они окажутся сделанными изодного материала?

Соб. А – вытащенныезаклепки из одного материала.

Р(А)=M/N

/>

Статистическаяи геометрическая вероятность

1) Статистическаявероятность.

Классическая формулавероятности дает непосредственно вычислять вероятность, но она предполагает выполнениенекоторых условий. Она относится к событиям, обладающих симметрией и образующихполную группу событий. Многие группы событий не подходят под классическую схему,но каждое событие такой группы обладает некоторой возможностью наступления. Например,если игральная кость изготовлена из неоднородного материала, то вероятность появлениянекоторого числа очков не равна 1/6.

Иногда не удаетсявыделить полную группу событий. Известно много случаев, когда результаты являютсянепредсказуемыми, хотя изначально все исходы были учтены. В подобных случаях находятотносительную частоту события А

/>; n-число произведенных опытов

m-число опытов, в результатекоторых произошло событие А.

Оказывается, чтопри /> относительная частота неограниченноблизко приближается к определенному постоянному числу. Это число и будет называтьсястатистической вероятностью.

Результатыопытов при бросании монеты.

n – число испытаний

m – число, соответствующее выпадениюгерба

2) Геометрическаявероятность

N=D; M=d

/>

/>

Найти вероятностьтого, что точка, брошенная в треугольник попадет в круг.

/>/>/>/>

/>

Вероятность появленияхотя бы одного события.

Задачу из пунктаВероятность суммы событий (Вероятность попадания в цель при стрельбе из

трех орудий: Р1=0,8;Р2=0,7; Р3=0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.)

Можно решить намногобыстрее, если применить теорему о вероятности хотя бы одного события. Пустьв результате опыта может появиться n независимых в совокупности событий, вероятности которыхизвестны.

Теорема. Вероятность появления хотябы одного из n независимыхсобытий А1, А2, …, Аn равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположныхсобытий, т.е. />1, />2,…, />n.

Р(хотя бы одногособытия)=1-q1*q2*…*qn

Если

 р1=р2=…рn, то Р(хотя бы одн. соб.)=/>

Вопрос №33.

Вероятность произведениясобытий.

Два события называютсязависимыми, если вероятность одного из них зависит от появления или не появлениядругого. В противном случае события называются независимыми.

/> Произведем 2 испытания.

 7 белых 1) СобытиеА – появился

 3 черных белыйшар. Р(А)=0,7

 шаров СобытиеВ – появился

 черный шар. Р(В)=1/3

А и В – зависимые

Р(В) – условнаявероятность

/>

2)А-появился белыйшар.Р(А)=0,7 (с возвратом)

В – появился черныйшар. Р(В)=0,3

В данном случае/>

События А1, А2,…,Аn называются независимымив совокупности, если каждое из них не зависит от произведения остальных событийи от каждого в отдельности.

Из попарной независимостине следует независимость в совокупности.

Если событие А1,А2,…, Аn –независимы, то />1, />2,…, />n – независимы.

Теорема

Вероятность совместногопоявления двух зависимых событий = произведению вероятности одного из них на условнуювероятность другого.

/>

В урне 7 белых,3 черных шара. На удачу один за другим выбираем по одному шару без возврата. Найтивероятность того, что первый шар оказался белым, а второй черным.

/>

 

Теорема

Вероятность совместногопоявления двух независимых событий = произведению вероятностей этих событий.

/>

Вероятностьпоявления только одного события

Пусть даны тринезависимых события А1, А2, А3; р1, р2, р3 – их вероятности. Найдем вероятностьпоявления только одного из них.

B1=(только А1)=А1* /> 2* /> 3

B2=(только А2)= />1* А2* /> 3

B3=(только А2)= />1* /> 2* А3

Т.к. В1, В2, В3– несовместные, то

Р(только одногособытия)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)

Т.к. А1, А2, А3– независимые, то Ä1, Ä2, Ä3 тоже

независимые. Р(/>1)=q1; P(/>2)=q2; P(/>3)=q3

Р(только одногособ.)=p1*q2*q3+q1*p2*q3+q1*q2*p3

Вероятность попаданияв цель при стрельбе из

трех орудий: Р1=0,7Р2=0,8; Р3=0,9. Найти вероятность того, что только одно орудие поразило цель.Р1=0,8;Р2=0,7; Р3=0,9; q1=0,2; q2=0,3; q3= 0,1

Р(только одногособытия)= 0,7*0,2*0,1+0,3*0,8*0,1+0,3*0,2*0,9=0,092

Наивероятнейшеечисло появления события А в nнезависимых испытаниях

Пустьпроизводится nнезависимых испытаний.

/>,

где р –вероятность появления события А при одном испытании, q – вероятность непоявления события А при одном испытании.

Число k при котором даннаявероятность окажется большей будет называться наивероятнейшим числом появлениясобытия А.

/>

Если: 1) (n*p-q) – дробное число,существует одно наивероятнейшее число />;2) (n*p-q) – целое число, тосуществуют два наивероятнейших числа />и />; 3) n*p – целое, тонаивероятнейшее число />.

Задача.

1) n=15; p=0,9; q=0,1

/>2) n=24; p=0,6; q=0,4

/>3) n=25; p=0,08; q=0,92

/>

Вероятностьсуммы событий

Теорема. Вероятность появленияодного из двух несовместных событий = сумме вероятностей этих событий.

 

/>

Доказательство:

N – число всевозможныхисходов испытания

М1 – числоисходов, благоприятствующих событию А; М2 – число исходов, благоприятствующихсобытию В.

Т.к. событиянесовместные, то в них не будет общих благоприятствующих исходов.

/>Мишень разделили на две области. Найтивероятность того, что стрелок попал в мишень.

/>

 Соб. А –попадание в обл. А

 А В Соб. В –попадание в обл. В

/>

 

Теорема. Вероятность появленияодного из двух совместных событий или обоих вместе = суммевероятностейэтих событий без вероятности их совместного появления.

 

/>

Докажем спомощью диаграммы Венна.

Представим(А+В) и В через сумму двух несовместных событий. A+B=A+B* />

B=A*B+B*/>

/>

А А A+B=A+B-A*B

/> /> /> /> /> <td/> /> /> /> />

/>

Аналогично спомощью диаграммы Венна можно доказать вероятность суммы трех совместныхсобытий.

/>Вероятность попадания в цель при стрельбеиз

трех орудий:Р1=0,8; Р2=0,7; Р3=0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Событие А –цель поражена. Т.к. события совместные, то :

Р(А)=0,8+0,7+0,9-0,8*0,7-0,9*0,8-0,7*0,9+0,8*0,7*0,9=0,994

Формулаполной вероятности

Событие А можетпроизойти при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группусобытий. Их называют гипотезы.

Гипотезы исчерпываютвсе возможные предположения первого этапа опыта, а событие А это один из возможныхисходов испытания второго этапа опыта.

Пусть известнывероятности гипотез: Р(Н1), Р(Н2), Р(Н3), …, Р(Нn) и условные вероятности событияА:

/> 

Вероятность событияА = сумме произведения вероятностей гипотез на соответствующие им условные вероятности.

/>

Это Формула полнойвероятности.

Задача. В двух ящиках содержится по20 деталей, причем в первом 17 стандартных, а во втором 15 стандартных. Из второгоящика на удачу берется одна деталь и перекладывается в первый. Найти вероятностьтого, что извлеченная из первого ящика деталь окажется стандартной.

Гипотезы: Н1 –переложена стандартная деталь

 Н2 – переложенанестандартная деталь

Р(Н1)=15/20

Р(Н2)=5/20

Событие А – изпервого ящика извлекается стандартная деталь

/>

/>

ФормулыБейеса (вероятности гипотез)

Пусть событиеА может произойти при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2,Н3,…, Нn,называемых гипотезами.

/>

По этойформуле можно найти вероятность события А до проведении опыта.

Если событиеА уже наступило (после проведения опыта) поставим задачу определить как приэтом изменяются вероятности гипотез.

Найдем />.

/>

Аналогичноможно получить формулы из остальных гипотез.

На 3-ехдочерей Алису, Бетти и Шарлоту в семье возложена обязанность мыть тарелки.Поскольку Алиса старшая ей приходится выполнять 40 % работы. Остальные 60 %делят между собой Бетти и Шарлота. Когда Алиса моет тарелку, вероятность длянее разбить тарелку 0,02, для Бетти 0,02, для Шарлоты 0,03. Родители не знают,кто вечером мыл посуду, но слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятностьтого, что посуду мыла а) Алиса, б) Бетти, в) Шарлота.

 Событие А –тарелка разбита.

Гипотезы: Н1– мыла Алиса; Н2 – мыла Бетти

Н3 – мылаШарлота

Р(Н1)=0,4;Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,3

/>Т.к. событие А ужепроизошло, то необходимо применить вероятности гипотез.

/>

/>

/>

Вывод: формулаБейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известнымрезультат испытания, в результате которого появилось событие А. Отличие формулыполной вероятности от формулы Бейеса: формула полной вероятности применяетсядо опыта, а формула Бейеса после опыта.

Предельныетеоремы в схеме Бернулли

/>

Если n и k довольно большие

/>, то в таких случаях для вычислениявероятностей применяют предельные теоремы.

Теорема Пуассона.

Если число испытанийn неограниченно увеличивается,т.е. /> и вероятность Р наступлениясобытия А в одном испытании уменьшается, т.е. />,но при этом число />, то вероятность того,что событие n наступитровно k раз:

/> - асимптотическая формулаПуассона. Ее обычно используют, когда />

Некоторые электронныеустройства выходят из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ееотказа в течение одного часа работы устройства = 0,004. Какова вероятность того,что за 1000 часов работы придется 5 раз менять микросхему.

n=1000;p=0,004; />

/>

Если число n достаточно большое, а вероятность

Не стремится к0, то для вычисления вероятность используются предельные формулы Муавра – Лапласа.

Интегральнаятеорема Муавра – Лапласа

Если вероятностьР наступления события А при независимых испытаниях постоянна и отлична от 0 и1, то вероятность того, что при n независимых испытаниях событии А появится не менее k1 и не более k2 раз может быть найденапо приближенной формуле:

/>/>

ф – функцияЛапласа, значения в таблице

ф(-х)=-ф(х)

/>

Задача.

Вероятностьвыпуска нестандартной лампы 0,1. Чему равна вероятность того, что в партии из2000 ламп число стандартных не менее 1790?

p=0,9;n=2000; k1=1790; k2=2000

/>/>/>

Среднееквадратическое отклонение дискретной случайной величины

Этахарактеристика также как и дисперсия определяет рассеяние случайной величины Хвокруг ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность несовпадающуюсо значением случайной величины Х, а среднее квадратическое отклонение имеетразмерность, совпадающую со значением случайной величины.

/>

 

Теорема. Среднее квадратическоеотклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин = корнюквадратному из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

/>

Доказательство:

/>

/>Дифференциальная функция распределенияслучайной величины. Свойства

/> - плотностьраспределения вероятностей. Дифференциальная функция распределения существуеттолько у непрерывной случайной величины.

/> 

 0 при />

F(X) = k*X при />

 1 при />

/>

 0 при />

f(X) = k при />

 1 при />

/>/> F f(X)

Чтобы найтивероятность попадания случайной величины в интервал (a; b) с помощьюдифференциальной функции используют функцию

 />

Чтобы найтиинтегральную функцию распределения случайной величины используют:

/>

 

Свойства.

 

1) />

2) />

комбинаторикаслучайная величина вероятность математический

Математическоеожидание дискретной случайной величины. Свойства.

Математическоеожидание (среднее значение ДСВ) – постоянное число, равное сумме произведенийзначений случайных величин на их соответствующие вероятности.

/>

Таблица

Х 2 3  5 Р 0,3 0,4  0,3

М(Х)=2*0,3+3*0,4+5*0,3=3,3

Свойства.

1)М(С)=С

2)М(СХ)=С*М(Х)

Х х1 х2 … х3 Р Р1 Р2 … Р3

/>

С*Х С*х1 С*х2 … С*х3 Р Р1 Р2 … Р3

/>/>3) М(Х+У)=М(Х)+М(У) еслиХ и У -

4)М(Х-У)=М(Х)-М(У) независимые

5)М(Х*У)=М(Х)*М(У) случ. Величины

Пример. Найти математическоеожидание М(Х+У) двумя способами.

1. Х+У;М(Х+У)

2. М(Х)+М(У)

6) М(Х-М(Х))=0

(Х-М(Х)) –отклонение случайной величины от ее математического

Действия наддискретными случайными величинами

ДСВ можно 1) умножатьна число,

 2) возводитьв степень.

1) умножение начисло

2) возведениев степень

Две ДСВ называютсянезависимыми, если событие Аi, состоящее в том, что случайная величина Х приметзначения />, /> и

событие/> будут независимыми. В противномслучае ДСВ называются зависимыми.

Несколько ДСВназываются взаимно независимыми, если закон распределения одной из них независит от того, какие ранее возможные значения приняли остальные величины.

Пример.

 

/>/>

Если в верхнейстроке таблицы появляются одинаковые значения, то соответствующие столбцы объединяеми их вероятности складываем.

Действие вычитанияи умножения выполняются аналогично.

 

Случайныевеличины

Дискретные случайныевеличины.

1) Случайной величинойназывают величину, которая в результате испытания примет одно и только одно значение,наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут бытьучтены. Случайные величины могут быть:

дискретные (прерывные), которые принимаютлишь изолированные значения с определенными вероятностями. Их число может быть конечными бесконечным (счетное). Пример: среди 100 новорож-денных число родившихся мальчиковот 1 до 10.

Непрерывные, которые могут принимать всезначения из некоторого конечного промежутка. Пример: множество чисел принадлежащихпромежутку/>

Дискретныеслучайные величины. Обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y,…, а их возможные значениях1, х2,…, хn.

Закон распределенияДСВ – Этосоответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать аналитически,таблично и графически, чаще всего задают таблицей:

/>

 

Задача. В денежно-вещевой лотереевыпущено 110 билетов. Разыгрывается приз 50000 рублей и 10 призов по 1000 рублей.Найти закон распределения случайной величины Х – стоимость выигрыша для владельцаодного билета.

 Х 500000 1000 Р 1/110 10/110 99/110

Дисперсия(рассеянное значение случайной величины вокруг математического ожидания этойвеличины)

Дисперсия –математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от еематематического ожидания.

1) />

2) />

Пример.

Х 1 2  5 Р 0,3 0,5  0,2

М(Х)=1*0,3+2*0,5+5*0,2+5*0,2=2,3

/>/>