Реферат: Теория вероятностей

Контрольная работа

Теория вероятностей

Задача № 1

событие вероятность задача

Опыт – Брошены 2 игральныекости. Образуют ли полную группу событий следующие наборы: А — на обеих костях шестерки,В — ни на одной кости нет шестерки, С — на одной из костей шестерка, на другой –нет. (Указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий).

Решение:

Определение. Полной группой событий называется совокупностьвсех возможных результатов опыта.

По определению данный опытявляется полной группой событий.

Задача № 2.

На складе имеется 15 кинескопов,причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что срединаудачу взятых 5 ки-нескопов окажется 3 кинескопа Львовского завода.

Решение:

P(A) = />

/>

/>

/>

/>

P(A) = />

Задача № 3

Имеются изделия четырех сортов,причем число изделий первого сорта – 1, второго сорта — 2, третьего сорта — 3, четвертогосорта — 4. Для контроля наудачу берут 7 изделий. Определить вероятность того, чтосреди них одно изделие первосортное, одно — второго сорта, два — третьего и три- четвертого сорта.

Решение:

P(A) = />

/>

Задача № 4

В мешке смешаны нити, средикоторых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутыенаудачу две нити будут одного цвета.

Решение:

Вероятность вытягивания белойнити = 30/100 = 0,3,

Вероятность вытягивания краснойнити = 70/100 = 0,7,

Вероятность вытягивания двухнитей одного цвета = 0,3*0,7 = 0,21.

Задача № 5

Экспедиция газеты направила газетыв два почтовых отделения. Вероят-ность своевременной доставки газет в каждое изпочтовых отделений равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделенияполучат газеты вовремя; б) оба почтовых отделения получат газеты с опозданием; в)одно отделение получит газеты вовремя, а второе — с опозданием.

Решение:

а) оба почтовых отделенияполучат газеты вовремя:

P = 0.9 * 0.9 = 0.81;

б) оба почтовых отделенияполучат газеты с опозданием:

P = 0.1*0.1 = 0.01;

в) одно отделение получит газетывовремя, а второе — с опозданием:

P = 0.9*0.1 + 0.1*0.9 = 0.18.

Задача № 6

Вероятности того, что во времяработы цифровой электронной машины возникает сбой в арифметическом устройстве, воперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружениясбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствахсоответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машинесбой будет обнаружен.

Решение:

Hi – стоп произошел в i-м узле,i = 1…3;

А – стоп обнаружен.

P(H1) = 0,3

P(H2) = 0,2

P(H3) = 0,5

P(AH1) = 0,8

P(AH2) = 0,9

P(AH3) = 0,9

Формула полной вероятности:

P(A) = P(H1)* P(AH1) + P(H2) * P(AH2) + P(H3) * P(AH3) =

0,3*0,8 + 0,2*0,9 + 0,5*0,9 =0,24+0,18 +0,45 = 0,87.

Задача № 7

Радиолампа может принадлежатьк одной из трех партий с вероятностями /> где />. Вероятности того, что лампа проработаетзаданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определитьвероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

Решение:

Выдвинем гипотезы: Н1 — радиолампаиз первой партии, Р(Н1) = 0.25; Н2 — радиолампа из второй партии, Р(Н2) = 0.5; Н3- радиолампа из третьей партии, Р(Н3) = 0.25. Случайное событие А — лампа проработаетзаданное число часов.

P(A) = P(H1) * P(AH1) + P(H2) * P(AH2) +P(H3) * P(AH3) = 0,25*0,1 + 0,5*0,2 + 0,5*0,4 = 0,025 + 0,1 + 0,2 = 0,325.

Задача № 8

Вероятность изготовления стандартнойдетали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Найти наиболеевероятное число нестандартных деталей в этой партии. Найти вероятность этого количестванестандартных деталей.

Решение:

Вероятность изготовления нестандартнойдетали на автомате равна 1 – 0,95 = 0,05.

Наивероятнейшее значение k0числа наступления события A при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющихсхеме Бернулли, вычисляется по формуле:

/> или />

Проводится 50 повторных независимыхиспытаний с двумя исходами в каждом. Вероятность появления нестандартной деталив каждом испытании постоянна. Значит, схема Бернулли выполнятся. По формуле />имеем:

/>

Так как число деталей можетбыть только целым, то наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партииравно 10.

Вероятность, что только первые10 деталей из 200 будут нестандартные:

0,0510*0,95190 = 5,7*10-18

Теперь нужно посчитать общееколичество комбинаций, в которых какие-либо 10 деталей из 200 будут нестандартными,а остальные 190 — стандартные. Для этого есть стандартная формула: />, где n = 200 (общее количество), a = 10 (количество перебираемыхэлементов), b = 190 (количество остальных элементов). Итого, возможно комбинаций:

/>,

В результате получаем вероятностьдля 10 нестандартных деталей:

22451004309013280*5,7*10-18=0,128.

Задача № 9

Вероятность попадания в цельиз орудия при первом выстреле равна 0,1, при втором выстреле равна 0,4, при третьем- 0,7. Предполагается произвести три выстрела. Найти закон распределения, математическоеожидание и дисперсию числа попаданий в цель. Построить функцию распределения. Определитьвероятность того, что число попаданий не менее трех.

Решение.

Случайная величина /> - число попаданийв мишень при 3-х выстрелах, распределена по биномиальному закону, ее возможные значения0, 1, 2, 3.

/>

где />.

/>;

/>;

/>;

/>.

амнистиязаконодательство гуманизм

Ряд распределения случайнойвеличины />:

/>

/>

/>; />.