Реферат: Решение дифференциальных уравнений

1)Дифференциальноеуравнение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши

Диф.ур-мназ-ся ур-е, связывающее независим.перем. х сикомую ф-июу, и ее производные.

/>.

/>. => ОДУ

/>.

Общимрешением ОДУ первого порядка назся ф-ия />, удовл.след.условиям:

1)/> явл.решением ур-я /> при />

2)/> ∃ такоезначение произв.пост. />, при котором /> удовл.данному нач.условию./>-общий интеграл

Частн.решением обыкн.диф.ур-япервого порядка наз-ся ф-ия/> кот.получ.из общего решения/>) при конкретном значениис.

ЗадачаКоши — задача нахождения обыкнов. диф.ур-я удовлет. начальномуусловию />

2)Уравнениес разделяющимися переменными.

Наз-сяобыкновенное уравнеие1 порядка, кот.прив.к виду: />

Кним относ. диф.ур.вида:

1)/> 2) /> умножим на /> =>

/>.- ур-ес раздел.перем.

3)Однородные уравнения. Уравнения,приводящиеся к однородным

Ф-ия />наз-ся однород.ф-ей /> порядка или n-ой измерениями относительно переем/> если при />.

/>. аргументом явл.дробь.

4)Уравненияв полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

/>.Ур-е наз-ся ур-ем в полныхдиф.если сущ-ет такоя ф-ия

/>.

 

5)Линейноедифференциальное уравнение первого порядка

ДУ1 порядка наз-ся линейным, если его можно записать в виде /> – заданные ф-ии, в частности– постоянные.

а)Метод Бернулли

Решение ур-я/>ищется в виде произведениядвух других ф-ий, т.е. сРер помощью подстановки /> – неизвестные ф-ии х, причем одна из них произвольна(но ≠0) – днйствительно любую ф-ию у(х) можно записать как:

/>, />).Тогда/>Подставляявыражение у и у’ в /> получаем: /> Подберем ф-ю /> так что бы

/>. Итак, />, интегрируя получаем:

/> Ввиду свободы выбора ф-ии/> можно принять с=1=> v=/>

Подставляя найденную ф-июв ур-е /> получаем: />.

Получено уравнение с раздел.перем.Решаемего: />

/>.

Возвращаясь к переменной у,получеам решение исходного ДУ />

/>.сходного ДУ переменной у, получаемрешение го поля. Нахождение потенциала по заданному примеру.

б)Метод Лагранжа

Рассмотрим однородное уравнение/>. Очевидно, это уравнение с разделяющимисяпеременными, его решение: />

Решения исходного уравнениябудем искать в виде:/>

Подставив полученное решениев исходное уравнение: />, получаем: c/>где c1 — произвольная константа.

Таким образом, решение исходногоуравнения можно получить путем подстановки c(x) в решение однородного уравнения:/>.

6)УравнениеБернулли

Ур-евида />

Еслиn=0, то ДУ – линейное, а приn=1 – с раздел.переменными.

Данноеур-е решается двумя способами:

Первыйспособ

Заменой

/>, уравнение приводится к линейному/> и может быть решено методом Лагранжа(вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим />.

Тогда/>.

Подберем/> так, чтобы было

/>.

дляэтого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.

Послеэтого для определения /> получаем уравнение

/> — уравнение с разделяющимисяпеременными.

7)Уравнениенеразрешенное относительно /> Метод введения параметра

/> – относительно производной/>

a)/>

б)/>

в)/>

/>.

/> где

еще рефераты
Еще работы по математике