Реферат: Область определения функции
Федеральное агентство по образованию
Среднего профессионального образования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x 2 – 3 x +5
x -1
Решение.
Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов .
Обозначим f ( x ) x 2 -3 x +5 и найдем область определения
x-1
D ( f ) функция f ( x ). Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;) .
Найдем нули функции f ( x ). Для этого решим уравнение:
x 2 — 3 x +5 x 2 -3 x +5=0 (1)
x -1 x -1=0 (2)
Решая уравнение (1), получим:
x 2 — 3 x +5=0, D = (-3)2 -4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.
Функция f ( x ) непрерывна на множестве D ( f ) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f ( x ) на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02 -3 0+5 f (2)= 22 -3 2+5
0-1 2-1
Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f ( x ) и запишем решения данного неравенства:
f (x) < 0 f ( x)> 0
f (x) > 0, x c (1 ;) .
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log 5 (3 x +1)<2
Решение.
Используя свойства логарифмов положительныхчисел
loga a=1 |
m loga b =loga bm |
преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида
loga f (x) < loga g(x) |
Log5 (3x+1)<2, log5 (3x+1)<2log5 5, log5 (3x+1)<log5 52 .
При a >1 функция y = loga t в области определения D ( loga ), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t 1 > t 2 >0, тоloga t 1 > loga t 2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
Если a > 1, то Loga f(x) < loga g(x) - 0 < f(x) < g(x) |
log5 (3x+1) < log5 52, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 — 1,
11
3 < x < 8, x с 3; 8.
1
Ответ: 3; 8.
3. Найдите все решения уравнения
sinxcosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|cosx=0
|sinx-v3=0
0< x< 2п
Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения
cosf (x)=0-f (x)=п +пn, n c Z 2 |
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п +пn, n с Z
Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:
0< п +пn < 2п, п < пn< 2п п
222, п < п n < 3п 1 < n< 3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n с Z, то n =0 и n =1. Подставляя n =0 и n =1
в уравнение (4), получим:
sinx=v3 – решений нет, так как — 1< sinx< 1 при любых значениях x.
Ответ: п 3п
2, 2.
4. Найдите наименьшее значение функции
f (x)=3x2 -18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
Найдем производную f ( x ) функции f ( x ), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:
(f (x) +g (x)) =f (x) + g (x) |
(xm ) = m xm -1 |
C=0 |
f (x)=(3x2 -18x+7) =3 (x2 )-18 x +7=3 2x2-1 -18 x1-1 +0=6x-18.
Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:
f (x)=0 |
6x-18=0, x=3c[-5; -1].
Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f (x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:
f (x)=3x2 -18x+7,
f (-5)=3 (-5)2 -18 (-5)+7=75+90+7=172,
f (-1)=3 (-1)2 -18 (-1)+7=3+18+7=28.
Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:
min f (x)=f (-1)=28.
[-5; -1]
Ответ : minf (x)=f (-1)=28.
[-5; -1]
5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f ( x )= x +5 sinx
Решение.
Найдем область определения D ( f ) функции f (x):
D ( f )=(- ~;~).
Все функции, имеющие производную, равную f (x), называют множеством всех первообразных F ( x ) функции f (x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D ( f )=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f (x) на указанном промежутке и ( общепринято) обозначают:
| f(x)dx=F(x)+C |
Используя свойства неопределенного интеграла
|( f ( x ) + g ( x )) dx = |f ( x ) dx + |g ( x ) dx |
|af(x) dx=a|f(x)dx |
и таблицу неопределённых интегралов
xm +1 | xm dx =m+1 + C , где m= -1 |
|sinx dx = -cosx + C |
получим:
F (x)=| f (x)dx = | (x + 5sinx)dx = | xdx + 5| sinxdx = 1+1 + 5 (- cosx) + C= 2 -5cosx + C .
x1+1 x2
Ответ: F (x) = 2 -5cosx + C .