Реферат: О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Современныекачественные исследования устойчивости

О вариационности некоторых ДУЧП

 с отклоняющимися аргументами

И.А. Колесникова

Российский университет дружбы народов

117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru

 Исследована задачасуществования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимисяаргументами вида /> />

/> <td/> />
1. Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный вобласти D(N) линейного нормированного пространства U над полемдействительных чисел R, а область значений R(N)   принадлежитлинейному нормированному пространству Vнад полем R, т.е./> <td/> />
В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

 существует производная Гато /> оператора N,определяемая формулой

/>                                                           (1)

Решается задачасуществования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимисяаргументами вида

    />         (2)

где/>-ограниченная область в/>, с кусочногладкой границей/>/>

впредположении достаточной  гладкости всех рассматриваемых  функций.

 Зададим область определения оператора N равенством

/>       (3)

 

Здесь /> — заданные функции, /> - неизвестная функция.Числа  /> зависят соответственно от />. Если /> — четны, то />При нечетном /> полагаем  /> /> /> />

Обозначим

/>

Введем  классическую билинейную форму вида  />где />                                                     (4)/> <td/> />
Будем говорить, что уравнение (2) допускаетпрямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы(4), еслисуществует функционал FN:D(FN )=D(N)—>R такой, что

/>        />

Функционал FN называется потенциаломоператора N, а N – градиентом функционала FN.Записывают N=gradфFN. Оператор N называетсяпотенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через /> замыкание области />, будем предполагать, что /> — выпуклое множество, />, для любых фиксированныхэлементов />функция />

Как известно [2.,стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора Nна множестве D(N) относительно заданной формы является условиесимметричности

/>

/> <td/> />
Искомый функционал в этом случае имеет вид:

где F0произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, чтосуществует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда,когда справедлива

Теорема1.  Для потенциальности оператора (2)на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно,чтобы выполнялись условия

/>
Современные качественные исследованияустойчивости

Доказательство теоремыможет быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.

/> <td/> />
А. Рассматриваетсядифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случайуравнения (2))

/>
с  граничными условиями

Для решения вопроса овариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим

/>

Отсюда заключаем, что вслучае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1,a0 ,a1<sub/>могут зависеть только от x, а b-1,b0, b1– только от t.

С учетом условий (9),уравнение (7) может быть записано в виде

/>
Таким образом, уравнение (7’) c граничнымиусловиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционалимеет вид

/>

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
В. Рассматриваетсяуравнение

где  a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями

/>

Для оператора задачи(10),(11)условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию [2]М=М(x,t,u,ui)в Ω для любого uиз D(N) и  соответствующий функционал F[u] так,что

/>
Используя условия (6), находим вариационныймножитель М=еu(x,t). Тогдаполучим, что оператор вида

 

/> <td/> />
является потенциальным.

Соответствующееэквивалентное уравнение будет иметь вид:

/>

 Таким образом, задача (13’),(11) допускает вариационную формулировку с функционалом

/>

ЛИТЕРАТУРА.

[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП сотклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультетафизико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.

[2] ФилипповВ.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационныепринципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современныепроблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.