Реферат: Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Курсова робота з математики
«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»
Введення
У зв'язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.
Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.
1. Гіпергеометричне рівняння
1.1 Визначення гіпергеометричного ряду
Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду
де z – комплексна змінна, , , — параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення (0,-1,-2,…),і символ позначає величину
==1
Якщо й – нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи
zk
маємо
=,
коли k, тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.
Сума ряду
F(, , ,z) = , <1 (1.1)
називається гіпергеометричною функцією.
Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1 збігається з F(, , ,z). Ця функція є аналітичним продовженням F(, , ,z) у розрізану площину й позначається тим же символом.
Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R()>R()>0 і скористаємося інтегральним поданням
(1.2)
k=0,1,2,..
Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо
F(, , ,z) = = =
причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.
Дійсно, при R()>R() >0 і <1
=
=F(, R(),R(),)
На підставі відомого біноминального розкладання
=(1-tz)-a (1.3)
0t1,<1
тому для F(, , ,z) виходить подання
F(, , ,z)= (1.4)
R()>R() >0 і <1
Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1, ).
Для z приналежні області , (R – довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки
(М – верхня границя модуля функції (1-tz)-a, безперервної в замкнутій області
, , 0t 1)
що показує, збіжність інтеграла буде при R()>R() >0 інтеграл
сходиться
Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою
F(, , ,z)= (1.5)
R()>R() >0;
У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F(, , ,z) площина з розміром (1, ) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.
Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)
F(, , ,z) = +
справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при zk у правій частині (1.6) буде
+ — = ={--}= =(
Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F(, , ,z) з довільними параметрами (0,-1,-2,…)у вигляді суми
F(, , ,z)= F(+s, +p, +2p, z) (1.7)
де р – ціле позитивне число (, , ,z) – поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R()>-p і R(-)>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F(+s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1, ), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.
Гіпергеометрична функція F(, , ,z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі.
Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F(, , ,z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.
1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції
У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).
1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії
F(, , ,z)= F(,,,z), (2.1)
2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо
F(, , ,z)===
==F(+1, +1, +1,z)
Таким чином, F(, , ,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.2)
3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей
F(, , ,z)= F(+m, +m, +m,z) (2.3)
m=1,2,...
Покладемо надалі для скорочення запису
F(, , ,z)= F,
F(1, , ,z)= F(1),
F(, 1, ,z)= F(1),
F(, , 1,z)= F(1).
Функції F(1), F(1), F(1) називаються суміжними з F.
4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.
(--)F+(1-z)F(+1)-( — )F(-1)=0,
(--1)F+F(+1)-( — 1)F(-1)=0,
(1-z)F-F(-1)+( — )F(+1)=0.
Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)
(--)F+(1-z)F(+1)-( — )F(-1)=
=(--)+(1-z)-( —
)=
={(--)+-( — )-
}zk =
={(--)(+k-1)+(+k)(+k-1)-(-)(-1)
(-k-1)k} zk =0,
тому що
z
==
=(+1)...( +k-1)
=(+1)...( +k-1)( +k)
=(-1) (+1)...( +k-2)
=(+1)…(+k-2)
=(+1)…(+k-2)(+k-1)
=(-1)(+1).......( +k-3)
Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:
(--)F+F (+1)-( — 1)F(-1)=
={ (--1) +-( — 1)=
={--1 ++ k-(+k-1)}zk =0,
(1-z)F-F (-1)+( — )zF(+1)=
={ --+( — )}zk
={(+ k -1)(+ k-1)- (+ k -1)k-(-1)(+ k-1)
+(-)k}zk =0,
З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:
(--)F+(1-z)F(+1)-( — )F(-1)=0, (2.7)
(--1)F+F (-1)-( — 1)F(-1)=0, (2.8)
(1-z)F-F (-1)+( — )zF(+1)=0. (2.9)
(--)F+(1-z)F(+1)-( — )F(-1)=
={(--)+--( —
)} zk =
={(--)(+k-1)+(+ k -1)(+k)-(+k-1)k -(-)(-
1)}zk =0,
(--1)F+F (-1)-( — 1)F(-1)=
={(--1) +-( — 1) } zk =
={--1+( + k )- (+k-1)}zk =0,
(1-z)F-F (-1)+( — )zF(+1)=
={--+( — )} zk
={(+k-1)( +k-1)-k(+k-1)- (+k-1)(-1)+k
(-)}zk =0.
Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) — (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо
(-)F-F (+1)+F(+1)=0 (2.10)
(-)(1-z)F+(-)F (-1)-( -)F(-1)=0 (2.11)
і так далі
(-)F-F (+1)+F(+1)=
={(-)++} zk =
={--(+k)+ ( +k)} zk =0.
(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F(-1)=
={(-)-(-)+(-)-(-
)} zk =
={(-)(+k-1)(+k-1)-(-)(+k-1)k+(-)(-1)(+k-1)-
(-)(+k-1)(-1)}zk =0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F(, , ,z) з який – або парою родинних функцій виду F(+1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі числа.
Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є
F(, , ,z)-F(, , -1,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.12)
F(, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.13)
F(, +1, +1,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +2,z)(2.14)
F(-1, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(, +1, +1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)
Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння
Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F(, , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння
z(1-z) +[ -(++1)] -u=0 (2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.
Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.
Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0<<1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів , , .
Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду
u=zszk (2.17)
де s – належне обране число, 0, статечної ряд сходиться при <1
u=zk+s
=(k+s)zk+s-1
=(k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z(1-z) (zk+s+[ -(++1)z] (zk+s-zk+s =0,
z(1-z)(zk+s-1 (k+s)(k+s-1))+[-(++1)z](zk+s-1 (k+s))-
zk+s =
=(zk+s-1 (k+s)(k+s-1))-(zk+s (k+s)(k+s-1))+(zk+s-1(k+s))-
-zk+s (++1)(k+s))- zk+s=
=zk+s-1 (k+s)(k+s-1+)-zk+s (s+k+)(s+k+)=0,
звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь
s(s-1-)=0,
(s+k)(s+k-1+) — (s+k-1+)(s+k-1+)=0,
k=1,2,...,
перше з яких дає s=0 або s=1-
Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0
Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне співвідношення
=k=1,2,…,
звідки, якщо прийняти =1, треба
=k=0,1,2,…,
де для скорочення запису уведене позначення
=(+1)…(+k-1),
=1,k=1,2,…,
У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0,-1,-2,…буде
u== F(, , ,z)= zk, <1 (2.18)
Аналогічно, вибираючи s=1-одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…
=k=1,2,…,
звідки, якщо взяти =1 знаходимо
=
k=0,1,2,...,
Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення
u== =F(1-+,1-+,2-,z), (2.19)
<1,
Якщо не є цілим числом (0,1, 2,…), те обоє рішення (2.18-2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі
u=A F(, , ,z)+BF(1-+,1-+ ,2- ,z), (2.20)
де А и В довільні постійні <1,
2. Подання різних функцій через гіпергеометричну
Гіпергеометрична функція F(, , ,z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад,
F(, 0, ,z)= zk ==1,
тому що
=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.
F(, -2, ,z)= zk =z0+z+z2 =
=1-2z+z2 ,
тому що
=1, =-2,
=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0
і так далі.
Перетворення
F(, , ,z)=(1-zF(-,-, ,z)
-=0=
показує, що гіпергеометрична функція при -=0,-1,-2,…або -=0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,
F(, , ,z)= (1-z, (3.1)
Надаючи параметрам , спеціальні значення, знаходимо
(1-z)v = F(-v, 1, 1,z)
(1-z= F(, 1, 1,z (3.2)
(1-z)n = F(-n, , ,z)
n=0,1,2,...
Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням
ln(1-z)= — =-z<1
звідки треба
ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) (3.3)
Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:
arctg z=zF(,1, ,-z2 ) (3.4)
arcsin z=zF(,, ,z2 )
arctg z=(-1)k=z=z=
=z=z =z=zF(,1, ,-z2 ),
тому що =1*2*…*k=k!
arcsinz=z+=z[1+]=
=z[1+]=z[1+]=z[1+]=
=z[1+]=z[1+=zF(,,,z2 )...
3. Вироджена гіпергеометрична функція
Поряд з гіпергеометричною функцією F(,,,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F(, ,z).
Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд
де z – комплексне змінне, і — параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину
==1
сходиться при будь-яких кінцевих z.
Тому що, якщо позначити через загальний член ряду, те
=0, коли k.
Вироджена гіпергеометрична функція F(, ,z) визначається як сума розглянутого ряду
F(, ,z)= , 0,-1,-2,…,<(4.1)
З даного визначення випливає, що F(, ,z) функція комплексного змінного z.
Якщо покласти
f(, ,z)= F(, ,z)= , (4.2)
те f(, ,z) при фіксованому z буде цілою функцією від і . Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, <C.
Думаючи
, маємо для досить більших k
=
Звідси треба, що при заданому z функція F(, ,z)
представляє цілуюфункцію й мероморфну функцію із простими полюсами в крапках =0,-1,-2,…
Функція F(,,z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.
Зв'язок функції F(,,z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням
F(,,z)=lim F(,,,) (4.3)
З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності
F(,,z)= F(+1,+1,z) (4.4)
F(,,z)= F(+m,+m,z) m=1,2,… (4.5)
і рекурентні співвідношення
(--1)F+F (+1)-(-1)F(-1)=0 (4.6)
F-F(-1)-zF(+1)=0 (4.7)
(-1+z)F+(-)F(-1)-( -1)F(-1)=0 (4.8)
(+z)F-F(+1)-( — )zF(+1)=0 (4.9)
(-)F(-1)+(2-+z)F-F(+1)=0 (4.10)
(-1)F(-1)- (-1+z)F+(-)zF(+1)=0 (4.11)
єднальну функцію FF(,,z) із двома будь-якими суміжними функціями
F(1) F(1,,z) і F(1) F(,1,z)
Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.
(--1)F+F (+1)-(-1)F(-1)=
={(--1) +-(-1) }zk =
={--1+(+k)- (+k-1)} zk =
= {--1++k- -k+1)} zk =0
F-F(-1)-zF(+1)=
={--} zk =
={(+k-1)-( -1)-k} zk =
= {+k----k} zk =0.
Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що зв'язують функцію F(,,z) з родинними функціями F(+m,+n,z), де m,n- задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:
F(,,z) = F(+1,,z)- F(+1,+1,z) (4.12)
F(,,z)= F(,+1,z) + F(+1,+1,z) (4.13)
4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду
Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння
z +(-z) -u=0 (5.1)
де 0,-1,-2,…
u=F(,,z)=zk
=zk-1
=zk-2
Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога u= = F(,,z), маємо
l() = zk-2 +(-z) zk-1 -zk =
=[-]+[k+-k-]0.
Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що , і виконаємо підстановку .
Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду
z +(-z) -=0
с новими значеннями параметрів =1+, =2-. Звідси треба, що при 2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1).
Якщо 0, 1, 2,…обоє рішення () мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді
u= F(,,z)+BF(1+-,2-,z) (при =1 u= ) (5.2)
0, 1, 2,…
Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім =0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду
G,,z)=F(,,z)+ F(1+-,2-,z)(5.3)
0, 1, 2,…
Формула (5.3) визначає функцію G,,z) для будь-яких , відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4)
G,,z)=[-]=
=()
Ми маємо
==
n=0,1,2,…
===
=,
тому вираження в правій частині (5.4) при n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо
G(,,z)= G,,z)= (-1)n+1 [] (5.5)
n=0,1,2,…
Виконавши обчислення, знаходимо:
=[],
=[]+
+,
звідки для G(,n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)
G(,n+1,z)= []+
+,
n=0,1,2,…,0,-1,-2,…,
Тут — логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума приймається рівної 0.
Якщо =-m (m=0,1,2,…), те граничний перехід n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження
G(-m,n+1,z)= F(-m,n+1,z), (5.7)
m=0,1,2,…, n=0,1,2,...
З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню
G(,,z)= G(-+1,2-,z), (5.8)
На підставі цієї формули можна визначити функцію G(,,z) при , рівному нулю або цілому негативному числу, за допомогою рівності
G(,1-n,z)= G(,,z)= zn G(+n,n+1,z) (5.9)
n=1,2,…,
Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G(,,z) регулярна функція від z у площині з розрізом (-,0) і ціла функція й .
Покажемо, що функція G(,,z) є рішенням диференціального рівняння (5.1).
При 0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з (5.3). Для цілих необхідний результат може бути обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.
Якщо 0, 1, 2,…інтеграли F(,,z) і G(,,z) лінійно незалежні між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.
З (5.1) треба W{F,G}=Cez. Порівнюючи обидві частини цієї рівності при z0, знаходимо
C=
W{ F(,,z),G(,,z)}= — ez (5.10)
0, -1, -2,…,
Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі
u = AF(,,z)+BG(,,z) (5.11)
,0, -1, -2,…,
Функція G(,,z) володіє рядом властивостей, аналогічних властивостям функції F(,,z). Так, наприклад, мають місце формули диференціювання:
G(,,z)= — G(+1,+1,z)
G(,,z)= (-1)mG(+m,+m,z) (5.12)
m=1,2,...
рекурентні співвідношення:
G-G(+1)-G(-1)=0, (5.13)
(-)G+G(-1) -zG(+1)=0, (5.14)
(-1+z)G — G(-1)+( -+1)G(-1)=0, (5.15)
(+z)G+(--1)G(+1)-zG(+1)=0, (5.16)
G(-1)+(2-+z)G + ( -+1)G(+1)=0, (5.17)
(--1)G(-1)- (-1+z)G + zG(+1)=0, (5.18)
GG(,,z), G(1) G(1,,z), G(1) G(,1,z)
і так далі.
Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F.
5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції
Як ми вже відзначали, багато елементарних і спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через функцію F(,,z).
Ми маємо, наприклад,
1) F(,,z)= =
тому що
F(1,2,z)= =,
тому що
3) F(-2,1,z)=
Висновок
Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:
Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій.
За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції.
У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції.
Література
1. Балк М.Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. – К., 2000
2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. – К., 2004
3. Евграфов М.О. Аналітичні функції. – К., 2003
4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. – К., 2000
5. Маркушевич. М.М. Введення в теорію аналітичних функцій. – К., 1999
6. Смирнов В.И. Курс вищої математики тім 3,4. – К., 2005
7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. – К., 2000
8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004
9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. – К., 2000