Реферат: Основні поняття теорії ймовірностей

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ


1. Предмет теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей вивчає закономірності, властиві випадковим явищам. Якбудь-яка математична наука, вона має аксіоматичну побудову, з якої виводяться подальшірезультати. Основні поняття теорії ймовірностей мають не абстрактний характер. Вонив загальній формі відображають певні сторони реальної дійсності. Тому висновки ірезультати, що одержують у теорії ймовірностей, мають практичну цінність.

Випадковим називається таке явище, характер протікання якого не можна цілкомпередбачити на підставі наявних у нас даних. Неможливість передбачення не означаєвідсутності причинного зв'язку між початковими даними і результатом. Вона викликананеповною поінформованістю про цей зв'язок. Проте неповнота даних не є перешкодоюдля з'ясування загальних закономірностей, що властиві випадковим явищам. Експериментаторудобре відома така універсальна схема: чим більша кількість дослідів, тим більш впевненоможна вивести закономірність, тим меншою є роль випадкових відхилень.

Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові явища, тобто явища, що допускаютьхоча б експериментальну перевірку в однотипних умовах необмежену кількість разів.При цьому розглядаються такі випадкові явища, об'єктивні характеристики яких можутьбути отримані з будь-яким рівнем точності за будь-яких необмежених повторень експерименту.

Під випробовуванням у теорії ймовірностей розуміється експеримент, що можебути повтореним при дотриманні визначеного комплексу умов необмежену кількість разів.У зв’язку з тим, що завдання комплексу умов не вичерпує всіх обставин, які впливаютьна результат експерименту, при повторенні іспиту може спостерігатися різний результатексперименту.

Наприклад, експеримент полягає у тому, що з урни, в якій є m білих і М чорних куль,навмання виймають одну кулю. Комплекс умов: склад куль за кольором; витаскуваннякулі навмання.

Експеримент може бути повторено безліч разів, якщо вийнята куля повертаєтьсяназад. Даний експеримент можна назвати випробуванням.

При зміні комплексу заданих умов, що характеризують випробування, буде одержанонове випробування.

Для кожного випробування можна вказати деяку систему можливих наслідків,головна властивість яких полягає в тому, що в результаті випробування відбуваєтьсяодин і тільки один з цих наслідків. Така система наслідків, пов'язаних з даним випробуванням,називається простором елементарних подій W, анаслідки, що його складають, елементарними подіями w. Їх взаємозв’язок можна наочно зобразити схемою, наведеноюна рис.

/>

Рисунок 1

Приклад 1. Випробування — виймання кулі з урни, що містить m білих і M-mчорних куль, з її поверненням назад. Можливі елементарні події: w1 — витягнено білу кулю, w2 — витягнено чорну кулю; простір елементарних подій W= (w1, w2) складається тільки з двох подій.

Приклад 2. Іспит — постріли по мішені до першого влучення. Тепер простір елементарнихподій W (w1,w2,…,wn…) складається з таких подій: wi — номер i-го влучення, w¥ — влучення не відбулося при нескінчених спробах. При цьомуW — нескінченна безліч елементарних подій.

Приклад 3. Постріл по мішені з гарантованим влученням. Розміром кулі можназневажити. Ставимо у відповідність кожній точці мішені q результат випробування w (q). W містить незліченну безліч елементарних подій.


2. Випадкова подія. Алгебра випадкових подій

Випадковою подією, пов’язаною з даним випробуванням, називається деяка множинаелементарних подій, яка позначається прописними латинськими літерами (A, B, C,.). Тобто випадкова подія- це підпростір простору елементарних подій W. Про елементарні події, що входять до випадкової події,говорять, що вони їй сприяють. W обов'язковоз'являється в результаті випробування, тому W називається достовірною подією.

Наприклад, якщо випробування полягає в одноразовому підкиданні гральноїкості, то елементарними подіями є випадання на верхній грані цієї кості тієї чиіншої кількості очок. Тоді випадковими подіями можна вважати або одну з елементарнихподій, або їх якесь об’єднання, як, наприклад, випадання парної кількості очок,кількості, що кратна трьом, випадання довільної кількості очок (W) тощо.

Приклад 4. В урні знаходяться дві білі і дві чорні кулі. Випробування полягаєу вийманні навмання однієї кулі з урни. Занумеруємо кулі і позначимо елементарніподії, що полягають у вийманні білої кулі під номером 1 через w1, білої кулі під номером 2 — w2,так само чорної кулі під номером 3 — w3, чорної кулі під номером 4 — w4. W = (w1, w2, w3, w4). Тоді подія А (w1, w3) полягаєу вийманні з урни кулі з непарнимномером, подія В (w1,w2) — цевиймання білої кулі.

Наочно випадкові події можна геометрично зобразити підмножинами просторуелементарних подій W, як це продемонстрованона рис.2.

/>

Рисунок 2

Алгебра випадкових подій (у межах того самого простору W):

1. Дві події називаються рівносильними (тотожними), якщо вони складаютьсяз одних і тих самих елементарних подій (А=В).

2. Подія В називається наслідком події А, якщо з появи події А випливаєпоява В. Цей взаємозв’язок символічно позначають так: АÌВ (рис.3).

/>

Рисунок 3

Якщо АÌВ; ВÌА, то А=В; також,якщо АÌВ і ВÌС; то АÌС.

3. Подією, протилежною події А (позначається як />), називається подія, рівносильнатому, що подія А не з’явиться (рис.4).

/>

Рисунок 4

Очевидно, що /> = А; якщо AÌB; то />.

4. /> -неможлива подія — «порожня множина» />ÌА.

5. Сумою двох подій А та В називається подія (вона позначається як А + В, або АÈВ), яка полягає в тому, що в результаті випробуваннявідбудеться принаймні одна з подій А чи В (рис.5).

6. Добутком подій А та В (їх перетином) називається подія (вона позначаєтьсяяк А×В, абоАÇВ), що складається з елементарних подій, сприятливих і А, і В, тобто вона полягаєв тому, що в результаті випробування одночасно відбуваються обидві ці події (рис.6).

/>

Рисунок 5

/>

Рисунок 6

Поняття суми та добутку подій можна поширити на будь-яку кількість подій,як скінчену, так і нескінчену.

7. Події А і В називаються несумісними, якщо вони не можуть з'явитися водному й тому самому випробуванні. АВ=/>(рис.7).

/>

Рисунок 7

Події називаються попарно несумісними, якщо будь-які дві з них є несумісними.Події А1, А2,, …, Аn, складають повну групу, якщовони попарно несумісні, а їх сума дає достовірну подію. Геометрично область W поділяється на області А1, А2,,…, Аn, що не мають попарно загальних точок перетину (рис.8).

теорія ймовірностей випадкова подія

/>

Рисунок 8

Основні формули алгебри випадкових подій:

1. Комутативність суми та добутку: А + В= В +А; А × В= В ×А.

2. Асоціативність суми та добутку: А + (В+С) = (А+ В) +С; А× (В×С) = (А×В) ×С.

3.А×В<A<A+B.

4. АÌ ВÞА+В=В, АВ=А, А+ W=W; А×W=А; А+/>=А; А/>=/>; А+А=А; А×А=А.

5. Дистрибутивність множення відносно додавання

(А+В) С=АС+ВС; В/>.

6.Дистрибутивність додавання відносномноження

(А×В) +С= (А+С) × (В+С).

7. Властивості протилежних подій: при переході до протилежних подій сумазаміняється добутком і навпаки:

/>

Приклад 5. Якщо електричне коло має два контакти, що з'єднані паралельно(випадок а)) і послідовно (випадок б)) (рис.9), тоді простір елементарних подійW= (w1,w2,w3,w4) складається з таких елементарних подій: w1 — обидва контакти замкнено; w2 — обидва контакти розімкнено; w3 — 1 — замкнено; 2 — розімкнено; w4 — 1 — розімкнено; 2 — замкнено.

/>

Рисунок 9

Позначимо події: А — 1 контакт замкнено;В-2 контакт замкнено; С — все коло замкнено.

Тодісправедливі такі твердження:

А=w1+w3; В=w1+<sub/>w4, а також

С=А+В;/>

у випадку а) і

C=AB;/>

у випадку б).

3. Частота і ймовірність випадкової події

Частота — це кількісна характеристика випадковихподій.

Нехай у серії з n випробувань m разів з'являєтьсяподія А: 0£m£ n. Число m називається частотою появи події А, а відношення /> називається питомою(нормованою) частотою появи події А у цій серії випробувань і позначається:

/>. (1)

Питома частота має такі властивості:

1. Для будь-якої якої події А та для будь-якоїсерії випробувань

0£p* (A) £

2. Частота появи достовірної події />

3. Якщо події А і В несумісні, то:

/>

Дійсно, нехай під час проведення n випробуваньотримано mA<sub/>появ події А і mB появ події В, тоді mA+mB — кількість появи події А+В. Отже:

/>

Якщо А і В — сумісні, то

/>,

тому що (рис.10)

/>

Це наочно видно також на схемі рис.10.

/>

Рисунок 10

Поняття частоти є основним при експериментальному вивченні випадкових подій.Однак частота не може бути об'єктивною характеристикою випадкової події, що досліджується.Вона залежить від випадкового збігу обставин, пов'язаних з даною серією випробувань,від індивідуальних особливостей самого дослідника. Проте експериментально встановлено,що зі зростанням чисельності випробувань частота стає майже сталою.

Ймовірність випадкової події відповідає в ідеалізованому вигляді тій сталіймежі, до якої тяжіє частота випадкової події при необмеженому збільшенні чисельностівипробувань.

Теорія ймовірностей призначена для опису випадкових подій, що мають сталу(стійку) частоту.

4. Розібрані вправи

З безлічі подружніх пар навмання вибирається одна пара. Подія А: «чоловікубільше 30 років», подія В: «чоловік старше дружини», подія С:«дружині більше 30 років».

а) З'ясувати, в чому полягають події АВС, А-АВ, />.

б) Перевірити, що />.

Відповідь: а) АВС — «обидва: і чоловік, і дружина — старше 30 років,причому чоловік старше дружини»; А-АВ — «чоловіку більше 30 років, алевін не старше своєї дружини»; /> - «обидва: і чоловік, і дружина- старше 30 років, причому чоловік не старше своєї дружини»;

б) /> -«чоловіку більше 30 років» і «дружині не більше 30 років», отжечоловік старше дружини — В, тобто/>.

2. Нехай А, В, С — три довільних події. Визначитиподію, що полягає в тому, що з А, В, С

а) відбулося тільки А;

б) відбулися тільки А та В;

в) усі три події відбулися;

г) відбулася принаймні одна з подій;

д) відбулися принаймні дві події;

е) відбулася одна і тільки одна подія;

ж) відбулися дві і тільки дві події;

з) жодна подія не відбулася;

і) відбулося не більше двох подій.

Відповідь:

/>

ж) />

3. Нехай А та В — довільні події, U — достовірнаподія, а V — неможлива подія. Довести, що А, />, />, U, V утворять повну групу подій.

Відповідь: Легко перевірити, що перші три події попарно несумісні, сумаїх дорівнює U.

4. У чому полягає умова сумісності подій А+В, /> і />?

Відповідь: З того, що (А+В) (/>, випливає необхідність сумісностіА і В.

5. Довести, що подія (А+В) (/>є неможливою.

6. Чи є рівносильними події А і В, якщо

а) />

б) А+С=В+С?

в) АС=ВС?

Відповідь: а) так; б) взагалі кажучи, необов’язково в) взагалі кажучи, необов’язково.

7. Нехай А, В, С — довільні події. Спростити данівирази для подій:

а) (А+В) (В+С);

б) (А+В) (А+/>).

Відповідь:

а)(А+В) (В+С) =АВ+АС+ВВ+ВС= (А+В+С) В+АС=В+АС;

б)(А+В) (А+/>)= АА+АВ+А/>+В/>=А+А (В+/>) +/>= А+АW+/>=А.

еще рефераты
Еще работы по математике