Реферат: Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Фрунзенскийрайон

Технологическаягимназия №13 г. Минска

Авторы:

КравченкоАрсений Борисович

ученик 9”Д”класса

ул. Горецкого69-263

д.т. 215-84-33

ЕрмолицкийАлексей Александрович

ученик 9”Д”класса

ул.Сухаревская 7-46

д.т. 215-62-23

Тема:

Нестандартныеметоды решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Секция:математика

Научныйруководитель:

БуйницкаяИнесса Мечеславовна

учитель высшейкатегории

Минск 2004

Содержание

 

 

Общая теоретическая часть………………………………………00

Графический метод………………………………………………..00

Функциональный метод…………………………………………...00

Метод функциональнойподстановки…………………………..00

Цели и задачи научнойработы…………………………………..00

Практикум………...…………………………………………………00

Список литературы………………………………………………..00

/> Общая теоретическаячасть

Пусть X и Y — два произвольныхчисленных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и усоответственно и будем называть переменными.

Определение.  Числовой функцией,определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие(правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и толькоодно значение у из множества Y.

Переменную х называютнезависимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимойпеременной. Говорят также, что переменная у является функцией отпеременной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовойфункции является частным случаем общего понятия функции как соответствия междуэлементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y – два произвольных множества.

Определение.  Функцией, определенной намножестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждымэлементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Определение. Задать функцию – это значитуказать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого поданному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значенияфункции.

С понятием функции связаны дваспособа решения уравнений: графический и функциональный. Частнымслучаем функционального метода является метод функциональной, илиуниверсальной подстановки.

Определение. Решить данное уравнение –значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений)может быть пустым, конечным или бесконечным.

В следующих главах теоретическогораздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе«Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графическийметод.

На практике для построенияграфика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторыхзначений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатнуюплоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, чтоточки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Определение.  Графиком функции y = f(x) называется множество всехточек

{x, f(x) | x />D (f)} координатной плоскости.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x/> D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой,параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякоенепустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной осиординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Невсякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либофункции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции,поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение содной переменой х можно записать в виде

f(x)=g(x),

 гдеf(x) и g(x) – некоторые функции. Функция f(x) является левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. Тогда длярешения уравнения необходимо построить в одной системе координат графикифункций  f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будутявляться решениями данного уравнения.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x/> D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой,параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякоенепустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной осиординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Данный метод можетиспользоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств.В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты(если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1,у1), то решением системы будет  х=х1, у=у1). При решении неравенств ответом будетсовокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (взависимости от условия) графика функции g(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функциональныйметод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведенок уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычныеметоды решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функцийf(x) и g(x) как монотонность,ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функцийвозрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одногокорня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах=А  g(x)мin=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

/>

Также при использованиифункционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенныениже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравненияобщего вида:

 f(x)=x    (1)

/>   (2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являютсякорнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция наинтервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (1) и (2)равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n — нечетное, то на данноминтервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Из последней теоремы вытекаютследствие, также используемое в решениях:

Следствие 1. Если f(x) возрастает  на всей своейобласти определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.Если f(x) убывает на всей своей области определения, n — нечетное, то на данноминтервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a,g(x)≤a,где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

/>

Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнениеравносильно системе

/>

Функциональный метод решенияуравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти методаоснованы на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическимметодом.

Методфункциональной подстановкиЧастным случаемфункционального метода является метод функциональной подстановки – самый,пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть методасостоит в введении новой переменной y=ƒ(x),применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаемфункциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.Тригонометрическоеуравнение вида

R(sinkx,cosnx, tgmx, ctglx) =0                    (3)

где R – рациональная функция, k,n,m,lÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного итройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональномууравнению уравнению относительно аргументов sinx,cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3)может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрическойподстановки

                                       2tg(x/2)                             1-tg²(x/2)

/>/>                            sinx=                               cosx=

                                       1+tg²(x/2)                           1+tg²(x/2)

                                                                                                                (4)

                                     2tg(x/2)                                 1-tg²(x/2)

/>/>                            tgx=                                 ctgx=

                                     1-tg²(x/2)                               2tg(x/2)

Следует отметить, чтоприменение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения,поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ,поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZкорнями исходного уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практикум

 

/>/>sinx +√2-sin²x+ sinx√2-sin²x = 3

/>

/>Данное уравнение рациональнорешать методом функциональной подстановки.

Пусть u = sinx и v = +√2-sin²x. Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0.                            Кроме того,имеем u² + v² =2.

В таком случае из уравненияполучаем систему уравнений

/>

u + v + uv= 3

u² + v² =2

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравненийследует

/>

r + s = 3

r² — 2s = 2

Отсюдас учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

/>

u + v = 2

uv = 1

u = v = 1

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx= 1 и x = π/2+2πk, kÎZ

 

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

cos/>=x2+1

Данное уравнение рациональнорешать функциональным методом.

cos/>≤1                                                         x2+1≥1     =>

/>cos/>=1                    

x2+1=1                                                x=0

Ответ: х=0

 

5sinx-5tgx

/>                   +4(1-cosx)=0

  sinx+tgx

Данное уравнении рациональнорешать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ,а sinx+tgx=0 при x = πk, kÎZ, то углы x = πk/2, kÎZне входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенсаполовинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачиt≠0;±1, тогда получим

/> /> /> /> /> /> <td/> />

       2t                 2t

/>/>5                  -                          

/>/>      1+t²            1-t²                     1-t²

/>/>                                      +4   1-              =0

     2t                 2t                       1+t²

/>/>                   +              

    1+t²             1-t²

Так как t≠0;±1, то данноеуравнение равносильно уравнению

           8t²

/>-5t² +            = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

          1+t²

/>/>откуда t= ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5  +2πk, kÎZ

 

/>Ответ: x = ±2arctg√3/5  +2πk, kÎZ

tgx+ctgx+tg²x+ctg²x+tg³x+ctg³x=6

Данное уравнение рациональнорешать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx+ctgx, тогда tg²x+ctg²x=y²-2, tg³x+ctg³x=y³-3y

y³+y²-2y-8=0

y=2

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

 

2cos πx=2x-1

 

Данное уравнение рациональнорешать графическим методом.

 

/>

 

Точка пересечения графиковимеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Ответ: х=0,5

3+(х-π)2=1-2cosx

Данное уравнение рациональнорешать функциональным методом.

(х-π)2+2=-2cosx

(х-π)2+2≥2                                                                              -2cosx≤2

/>

/>    =>  x=π, при k=0

Ответ: x=π

10|sinx|=10|cosx|-1

Данное уравнение рациональнорешать графоаналитическим методом.

Т.к. 10>1, то данноеуравнение равносильно следующему:

 |sinx|=|cosx|-1

/>

Точки пересечения графиковимеют координаты (/>);/>. Следовательно, х=/>.

Ответ:х=/>