Реферат: Основная теорема алгебры

Федеральноеагентство по образованию Российской Федерации

САРАТОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИН.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

Кафедракомпьютерной алгебры и теории чисел

Основнаятеорема алгебры

Курсоваяработа

студента 1 курса 121 группы механико-математическогофакультета

Батура Ирина Сергеевна

Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО,ассистент

Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор

САРАТОВ

2009 год

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

2. Основные определения, используемыев курсовой работе

3. Элементы теории пределов длякомплексных чисел

4. Доказательство основной теоремы

5. Список используемой литературы

1. ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвященаОсновной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле />. Как предположение этатеорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.).Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Егодоказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершеннострогим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскостизначение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всехэтих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные»корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, одиниз них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебребыло открыто очень много нового, поэтому сегодня «основной» этутеорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.

Целью моей работыявляется выявления, что поле /> комплексныхчисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры яиспользовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней гранизначений.

При написании работы мноюбыла использована следующая литература: Д.К.Фадеев «Лекции по алгебре»,Л.Д.Кудрявцев «Курс математического анализа». А.Г.Курош «Курс высшей алгебры».

2. Основные определения,используемые в курсовой работе

Множества,удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связьопераций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный отнуля, называется полями.

Множество комплексныхчисел /> можно определить какмножество упорядоченных пар /> действительныхчисел, />, />, в котором введеныоперации сложения и умножения согласно следующему определению:

/>/>

В результате этогоопределения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяетусловиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.

Последовательностькомплексных чисел — это функция, определенная на множестве натуральных чисел иимеющая своими значениями комплексные числа.

Последовательность /> называется подпоследовательностью />,если для любого k существует такоенатуральное />, что />=/>, причем />Б/> тогда и только тогда,когда />.

Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычнообозначается/>. Любое комплексное числоможет быть представлено как формальная сумма />,где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число,удовлетворяющее уравнению />.

Вещественное число(действительное число) – любое положительное число,отрицательное число или нуль.

Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие /> между переменнымивеличинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторойвеличины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значениевеличины y (зависимой переменной или функции в значении 1).

ТеоремаБольцано-Вейерштрасса:из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Последовательностьназывается ограниченной на множестве Е, если существуеттакая постоянная М>0, что для всех /> ивсех /> выполняется неравенства />

Последовательностьсходится к функции f равномерно намножестве Е, если для любого /> существуеттакой номер />, что если />, то для всех />выполняется неравенство/>. Последовательностьназывается равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходитсяна Е.

3. Элементы теориипределов для комплексных чисел

В моей работе полиномырассматриваются только над полями />и /> как функции от комплекснойили вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математическогоанализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного отконстанты полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установлениеалгебраической замкнутости поля />) носитназвание основной теоремы алгебры./>

Определение: Пусть заданапоследовательность комплексных чисел /> .Число /> называется ее пределом,если для любого действительного числа /> существуеттакой номер />, что при /> выполняется неравенство />. В этом случае пишут lim />, а=lim/>, b=lim/>. Предельное соотношение lim/>=cравносильно соотношению />, ибо

max/>/> />/> />/>

Последовательность />такая, что />/> R, при некотором R, называется ограниченной.

Для вещественныхпеременных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченнойпоследовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое вернои для последовательностей, составленных из комплексных чисел.

Действительно, пусть />ограниченнаяпоследовательность, т.е. />, тогда />, так что /> есть ограниченнаяпоследовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность/>. Рассмотримсоответствующую подпоследовательность мнимых частей />.Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность />.

Соответствующаяподпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательностивещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен />.

4. Доказательствоосновной теоремы

Прежде чем приступить кформальному доказательству, наметим его идею. Пусть />-полином,рассматриваемый как функция от комплексной переменной />.Представим себе «график»функции />, считая, что значения /> изображаются нагоризонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения /> откладываются вверх внаправлении оси />. Мы установим,что/> являются непрерывнымифункциями от/> на всей плоскостикомплексной переменной. Функция />откомплексной переменной /> называетсянепрерывной в точке />, если достаточноблизким к /> значениями /> соответствует сколь угодно близкие к />значения />.В более точных терминах — для любого />найдется такое />, что />, как только />.

Непрерывность /> дает основанияпредставлять себе график /> в виденепрерывной поверхности, накрывающей плоскость />,и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать,что существует такое значение /> , в котором />, и, темсамым, />, т.е. что поверхность /> доходит до плоскости />в точке />. Мы докажем, что если дана точка на поверхности />, которая расположена вышеплоскости />, то в ее окрестностинайдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останетсятолько доказать, что на поверхности /> существуетсамая низкая точка, скажем, при /> . Она не может находиться выше плоскости />, ибо тогда она была бысамой низкой точкой. Следовательно, /> и,следовательно />, т.е. /> корень полинома />.

Теперь приступим кдоказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

Лемма 1. Дан полином /> c нулевым свободным членом.

Тогда для любого />найдется такое />, что />, как только />.

Доказательство: Пусть />. Тогда

/>

Положим

/>Если />

то />

что и требовалосьдоказать.

Лемма 2. Полином естьнепрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

Доказательство: Пусть данполином />и точка />. Расположимполином по степеням

/>,

Тогда />так что

/>

Правая часть есть полиномот /> с нулевымсвободным членом.

По лемме 1 для любого /> найдется такое/>, что />как только /> что и требовалосьдоказать.

Лемма 3. Модуль полиномаесть непрерывная функция.

Доказательство: Изнеравенства /> следует, что для данного /> то />, которое «обслуживает»/>, подходит и для />. Действительно, при /> имеем

/>

Лемма 4. (о возрастаниимодуля полинома). Если />-полином,отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что />M, как только />.

Это означает, что любаягоризонтальная плоскость />отрезаетот поверхности /> конечный кусок,накрывающий часть круга |z|≤R.

Доказательство: Пусть

/>

где />полином от />c нулевым свободным членом.

В силу леммы 1 для /> найдется такое />, что при />, будет />. Модуль /> может бытьсделан сколь угодно большим, именно, при /> будет/>. Возьмем />/> Тогдапри /> будет

/> и /> такчто />

Лемма 5. Точная нижняягрань значений /> достигается,т.е. существует такое/>, что /> при всех />.

Доказательство: Обозначимточную нижнюю грань /> через />. Возьмемпоследовательностью />/> стремящихся к />сверху. Каждая из этих чисел неявляется нижней гранью значений />, ибо />-точная нижняя грань.Поэтому найдутся /> такие, что /> . Воспользуемся теперьлеммой о возрастании модуля. Для /> найдемтакое />, что при /> будет /> Отсюда следует, что /> при все />. Последовательностью /> оказаласьограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность /> . Пусть ее предел равен /> . Тогда /> в силунепрерывности />. Кроме того, />. Поэтому /> Итак />, что и требовалосьдоказать.

Лемма 6. (ЛеммаДаламбера). Пусть /> полином отличныйот константы, и пусть />. Тогда найдетсятакая точка/>, что

/>

Геометрический смысл этойлеммы: если на поверхности /> данаточка, находящаяся выше плоскости />, то наней найдется другая точка, расположенная ниже первой.

Доказательство:Расположим полином /> по степеням

/>

Тогда /> Идея доказательствасостоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого «откуситькусочек» от />, а влияние дальнейших слагаемых сделатьнезначительным. Пусть /> – первоеотличное от нуля слагаемое после />, такчто /> (если k>1). Такое слагаемое имеется, таккак /> не константа. Тогда

/> />+

+/>( />+…+ />))=

=<sup/>c0 (1+ />+/>/>).

Здесь

/>=/>/>

есть полином от /> с нулевым свободнымчленом. По лемме 1 для />=/> найдется такое />, что |/>|</>,как только |/>|</>. Положим/> =/>(/>) и /> />. Тогда

/>.

Выберем /> так, что />. Для этого нужно взять />. Далее, положим />, т.е. возьмем />. При таком выборе будет />. Теперь положим

/> при /> и />. Тогда /> и

|/>|=/>/>.

Лемма доказана.

Заметим, что с тем жеуспехом мы могли бы взять /> при /> так что при k>1 (т.е. в случае, когда />-корень кратности /> полинома />)имеется k направлений спуска по поверхности />/>. Они разделяются /> направлениями подъема при />

Действительно, в этихнаправлениях

/> и />

Так что если /> есть корень производнойкратности />, то поверхность /> в окрестности точки /> «гофрирована»так, что на ней имеется /> «долин»cпуска, раздельных /> «хребтами»подъема.

Теорема: Полином скомплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере одинкомплексный корень (т.е. поле />,комплексных чисел алгебраически замкнуто).

Доказательство: Пусть /> — данный полином, отличныйот константы. Пусть, далее, /> и /> — точка, в которой />; Она существует по лемме5. Тогда /> ибо иначе, согласно лемме6, нашлась бы такая точка /> что /> невозможно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. — СПб.: Изд-во «Лань»,2007. — 416с.

Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во «Высш.Школа», 1981г. – 687с.

А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во «Наука»,1971 г. – 431с.