Реферат: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей
Санкт-Петербургскийгосударственный университетФакультет прикладной математики – процессов управленияКафедра математического моделированияэнергетических систем
Карпова
НаталияАнатольевна
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Зав. Кафедрой,
профессор, доктор физ.-мат.наук Захаров В. В.
Научный руководитель,
доцент, кандидат физ.-мат.наук Свиркин М. В.
Рецензент,
доцент, кандидат физ.-мат.наук Корников В. В.
Санкт Петербург2003
Оглавление.
Введение…………………………………………………………………………..3
Глава 1.Система кривых Пирсона.
§ 1.Дифференциальное уравнение Пирсона…………………….………5
§ 2. Основные типыкривых Пирсона…….……………………………...8
§ 3. Переходные типы кривых Пирсона…………………………………17
Глава2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривыхраспределения вероятностей.
§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева…...23
§ 2. Обобщение метода Грамма — Шарлье………………...…………….33
§ 3. Весовые функции и кривые распределениявероятностей…….….36
Глава3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программноеобеспечение.
§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей……..40
§ 2. Алгоритмвычислений...................................……...……...………...46
Заключение……………………………………………………………………..47
Литература……………………………………………………………………...48
Введение.
Математическая статистика является наукой, которая изучаетсоотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить присамых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощьюаппарата математической статистики, используются в самых различных областяхнауки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология,экономика, и т.д.
Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основныхзадач математической статистики:
1. получению кривой распределениявероятностей по имеющейся выборке;
2. нахождениюзависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.
Для решения первой задачи используются различные методы. Вданной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школыстатистики. Им было получено дифференциальное уравнение
/>,
а так же введен критерий æ (каппа Пирсона), спомощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциальногоуравнения и представил их в виде двенадцати типов.
Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. иМарков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в видеодного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачииспользуется метод Пирсона нахождения кривой распределения.
Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева,создателя Санкт – Петербургской математической школы. В статистике имязнаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главнымобразом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил дляраспределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистическогораспределения численностей.
Однако за последнее время в статистике всё большее значениеприобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение приопределении множественной и криволинейной регрессии и при вычислениикоэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.
Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможноинтерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формулаудовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи егоортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе рядЧебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид
/>.
Таким образом в дипломной работерассматриваются два метода:
ü методПирсона нахождения кривых распределения вероятностей,
ü методЧебышева получения ортогональных полиномов,
которые были положены в основу обобщенного метода Грамма –Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.
Глава 1.Система кривых Пирсона.
В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайнойвеличины в удобном для практического использования виде. Для ее решениярассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителеманглийской статистической школы.
§ 1. Дифференциальное уравнениеПирсона.
Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой />, таким образом, можемзаписать /> - статистическойраспределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайнойвеличины в удобном для практического использования виде.
Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваемдифференциальное уравнение Пирсона:
/> (1)
и исследуем,какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1).
Общий интеграл этого уравнения представим в виде:
/>
где
/>.
Значение этого неопределенного интеграла зависит от корнейуравнения
/> (2),
следовательно,от его дискриминанта
/>
который можнонаписать в виде
/>,
вводяпараметр
æ/>.
Или иначе,величину æ можно представить в виде:
æ/>,
где величины /> представимы черезцентральные моменты статистических распределений /> к-гопорядка, которые определяются по формуле
/>,
где /> есть
/>.
Тогда
/>, />.
Черезвеличины /> можно представить ивеличины /> следующим образом [5]:
/>
Величина æ называется критерием Пирсона (каппаПирсона) и различные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения:
А. Если æ/>, то /> и уравнение (1) имеетвещественные корни различных знаков.
В. Если 0< æ<1,то /> и уравнение (1) имееткомплексные корни.
С. Если æ>1, то /> иуравнение (1) имеет вещественные корни одного знака.
Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своихкривых, которые он назвал соответственно типами I, IV и VI. Затем æ может равняться />,что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительныеусловия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривыхПирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.
В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали,что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцатитипов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используетсяметод Пирсона.
§2. Основные типы кривых Пирсона.
В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределениявероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.
Тип I.
Пусть æ<0. Тогда
/>
и уравнение(2) имеет вещественные корни различных знаков: />,так что можем записать
/>.
Тогда праваячасть уравнения (1) может быть представлена в виде:
/>,
где
/>.
Пусть еще
/>.
Тогдауравнение (1) перепишется в виде
/>
и общийинтеграл его можно представим в виде
/>,
где /> и значения /> и /> должны удовлетворятьусловиям
/>.
Тип I получается, если /> заключается в интервале />. Тогда
/> и />
или, какобычно пишут
/>.
Так как /> выражаютсяопределенным образом через моменты />,то, очевидно, и /> также выражаютсячерез те же моменты. Для этого введем число
/>.
Тогда простое преобразование дает следующие формулы:
/>.
Эти формулыиспользуются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.
Далее,пользуясь этими же формулами,/>,
следовательно,
/>.
Затем
/>,
или, послепростых подсчетов,
/>,
где
/>.
Такимобразом, /> и /> представляют корниуравнения
/>,
Когда найдены /> и />, /> и /> находятся по формулам
/>,
в которых
/>, />.
Здесьиспользовано равенство
/>,
котороеполучается, так мы имеем
/>,
и
/>,
следовательно,
/>,
откуда
/>
(так как />), нужно брать />.
Таким образам, /> и /> есть корни уравнения
/>
и /> и /> по формулам
/>,
в которых
/>,
где /> находится из равенства
/>.
Остается найти />. Ононаходится по равенству
/>.
При помощиподстановки
/>
мы находим:
/>.
Следовательно,
/>.
Тип IV.
Второйглавный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям0< æ<1, когда уравнение (1) имееткомплексные корни.
Пустьэти корни равны/>,
где
/>.
Тогдауравнение (1) будет
/>,
откуда
/>,
и
/>,
или
/>,(3)
причем
/>.
Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты /> и константы />:
/>
(здесь />, и />),
/>,
где /> - функция Пирсона,определяемая равенством
/>.
Интеграл в правой части можно привести к другому виду:
подстановка
/>
приводит егок виду
/>.
Обычно,полагая
/>,
пишут /> в виде
/>,
где
/>.
Тип VI.
Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия æ>1. В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Неприводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривойтипа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемогораспределения, как началу координат:
/>
(в нем />). Его параметрывычисляются по формулам:
/>,
причемберется />, если /> и />, если />; /> и /> дают выражения:
/>,
причем должнобыть />;
/>,
и
/>.
Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:
/>
беря заначало координат точку
/>.
Параметры /> вычисляются как выше, а /> имеет теперь такоевыражение:
/>.
Кривая простирается от /> до />, если />, и от /> до/>, если />.
§3. Переходные типы кривых Пирсона.
Переходные типы кривых Пирсона получаются при специальных значенияхкритерия æ и при некоторых условиях, налагаемыхна /> и />.
Тип II.
Получается при æ=0,/> и имеет уравнение
/>,
отнесенное к моде, которая теперь равна средней (криваясимметрична относительно начала). Ее параметры вычисляются по формулам
/>
Кривая простирается от -а до а. На концах распределения />, если /> и />, если />. Эта кривая имеет такназываемую U-образную форму с антимодой вместомоды.
Тип VII.
Имеетуравнение
/>,
получаетсяпри æ=0,/> иимеет параметры
/>
Нчалокоординат в средней (средняя равна моде).
Тип III.
Имеет уравнение
/>
с началомкоординат в моде и с параметрами
/> />.
Получается при æ/>
Тип V.
Имеетуравнение
/>
с параметрами
/>
криваяполучается при æ=1 и бесконечна в одном направлении.
Тип VIII.
Имеетуравнение
/>,
простираетсяот –а до 0, получается при
æ/>,
причем /> зависит от />, а параметр тполучается как решение уравнения
/>
и он недолжен быть больше 1 или меньше 0.
Тогда
/>,
а начало вточке
/>
Тип IX.
Имеетуравнение/>,
простираетсяот –а до 0, получается при
æ/>
Параметр топределяется как решение уравнения
/>
Тогда
/>,
а началобудет в точке
/>
Тип X.
Имеетуравнение
/>
с началомкоординат в точке />; получается какспециальный случай кривой типа IIIпри />.
Тип XI
Имеетуравнение
/>,
получаетсяпри
æ/>
ипростирается от /> до />, а т находится изуравнения
/>
и b зависит от m.
Тогда/>,
а началокоординат в точке
/>.
Тип XII.
Имеет уравнение
/>,
получаетсяпри
æ/>.
Криваяпростирается от /> до />, начало координат в точке /> и
/>.
Тип N.
Тринадцатый тип кривых распределения Пирсона – нормальнаякривая с уравнением
/>,
котораяполучается при условиях
æ/>.
Типы II, VI, VII, VIII, IX представляют специальные случаи кривой типа I, тип X – специальный случай типа III, а тип XI — типа VI. [5] (См. приложение 1.)
Глава 2.Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределениявероятностей.
В этой главе рассмотрено получение ортогональных полиномов способом,который разработал П. Л. Чебышев. А именно, через разложение в непрерывнуюдробь суммы
/>
ирассмотрение знаменателей подходящих дробей полученной непрерывной дроби.Причем показано, что полученные таким образом ортогональные полиномы отвечаютусловиям метода наименьших квадратов, а так же показано их применение длянахождения кривых распределения вероятностей.
§1. Получениеортогональных полиномов по способу Чебышева.
Пусть даны значения интерполируемой функции/>/>/>,
соответствующиезначения аргумента />/>. Каждому значению аргумента /> ставится в соответствиечастота />.
Требуется найти такую целую функцию
/>,
где />, которая удовлетворяла быусловию наименьшего значения суммы
/>.
В даннойзадаче в качестве веса /> предлагаетсярассмотреть [8]
/>,
где nесть
/>
или иначеговоря n - сумма всех испытаний./>
Для решения нашей задачи находим коэффициенты />,которые определяются из следующих уравнений
/>;
/>;
……………………
/>;
/>;
Послепреобразований получаем следующую систему уравнений для нахождениякоэффициентов />
/>;
/>;
……………………
……………………
/>;
……………………
/>;
где />/>
Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенныйнедостаток – при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходитсяпереписывать все уравнения и решать систему заново.
Есть другой вариант построения искомого полинома [8].
Пусть будет /> целая функция от />степени />, которая обращается в />при />. Положим
/>,
где /> - целые функции степеней />, а /> - коэффициенты.
Пусть теперь сумма /> первыхчленов выражения />
/>
равняется
/>,
т.е. />.
Каковы в этомслучае условия относительно /> и /> при которых сумма
/>
имеетнаименьшее значение?
Обозначим эту сумму через />:
/>,
и, подставляяв нее
/>,
составляемобычным способом дифференцирования следующие уравнения:
/>
Отсюдаследует:
/>
Так как /> есть ортогональныеполиномы по построению, следовательно все слагаемые вида /> будут равняться 0.
В результате преобразований получим выражения для коэффициентов />:
/>;
/>;
………………
/>;
………………
/>.
Теперь можно представить функцию
/>
в таком виде
/>.
Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемойфункции к целой функции степени />,достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член
/>.
Для дальнейшего перехода к целой функции степени />, также удовлетворяющейусловию наименьшего значения суммы
/>,
достаточноприбавить к найденному выражению функции степени />,такой новый член
/>.
Таким образом, решение задачи параболического интерполированияпо способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда
/>
Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих />первых членов приближенноепредставление интерполируемой функции в виде целой функции степени />, удовлетворяющейтребованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.
Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляютсобой функции />, определив черезданные величины /> и /> коэффициенты при /> в выражении этих функций.
Далее,с помощью разложения дроби/>
по нисходящимстепеням /> получим, что дробь
/>,
где
/>,
даетприближенное представление функции [7]
/>
с точностьюдо членов степени
/>
включительно.Здесь /> есть весовая функция,найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя наединицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегдабудет в своих неполных частных содержать переменную /> впервой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей />есть функции степеней />; поэтому можно положить
/>.
Что касается/>, то его можно приравнять />.
Разлагая
/>
внепрерывную дробь вида
/>,
где /> и /> - некоторые постоянные,используем найденные выше свойства функции /> дляопределения этих постоянных через данные значения />.
Выражения для/> будет иметь вид:
/>.
Выражения длякоэффициентов /> будутследующими:
/>.
Вводя длясокращения обозначение
/>
через />, запишем выражение для /> в таком виде:
/>.
Для /> выражение будет иметь вид
/>.
Что касаетсявеличин /> и />, то они равнысоответственно
/> и />.
Теперь перейдем к определению коэффициентов /> ввыражении
/>.
Для />получим выражение
/>.
Это выражение весьма упростится, если /> мыбудем считать отклонениями данных значений аргумента от его среднейарифметической так, что />. Тогда />, а выражение для /> будет иметь вид
/>.
Такжеупростятся выражения для
/> и />.
Функция /> станет равной />, функции /> определяются путемпоследовательных подстановок выражений /> вформулы
/>.
При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член рядаЧебышева
/>.
Оценка результатов интерполирования производится при помощисреднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции отвычисленных по найденному уравнению параболы.
Обозначим сумму квадратов отклонений через />.Тогда можно написать
/>.
/>будет равняться
/>,
а />выражать рекуррентно через />по формуле
/>.
Итак,
/>, />,/>,
/>, />,/>, />,
/>, />, />, />, />.
Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции /> в разложении мы получимразные системы ортогональных полиномов.
§2. Обобщение Грамма — Шарлье.
Пусть по методу Пирсона найден вид кривой распределения вероятностей /> на соответствующеминтервале. Теперь, для представления в удобном для практического использованиявиде, запишем полученную кривую в несколько иной форме. Для этого используемобобщение Грамма – Шарлье, которое основывается на применении ортогональныхполиномов Чебышева и состоит в том, что кривая распределения вероятностейпредставима в виде следующего разложения:
/> (4)
где /> - есть к–аяпроизводная функции />. Здесь полагаем,что
/>.
Такимобразом, мы получаем кривую распределения вероятностей теперь уже в виде />.
Производные функции /> мыможем представить в виде [3]
/>,
тогда можемзаписать
/>
где функции /> должны удовлетворятьследующему свойству:
/> если /> (5)
А коэффициенты /> получаются изравенства (4) с помощью домножения на любой из ортогональных полиномов /> и, интегрированияполученного равенства:
/>=
/>
=/>
Отсюдаследует, что/>.
На практике в этом разложении мы используем только четыре первых члена,и коэффициенты перед ними есть:
/> />
/>
Коэффициенты /> имеют четкийстатистический смысл, а именно: коэффициент />,выраженный через />, отвечает заасимметрию закона распределения, и коэффициент /> выраженныйчерез /> - за эксцесс или дефекткривой распределения.
Свойство (5) есть свойство ортогональности полиномов, т. е. /> по определению являетсясистемой ортогональных полиномов, которая получена по способу Чебышева впредыдущем параграфе [3], [5].
§ 3.Весовые функции и системы ортогональных полиномов.
В общей теории ортогональных полиномов известно, что системаортогональных полиномов называется классической, если она ортогональнаотносительно весовой функции, которая является решением дифференциальногоуравнения Пирсона [2], [6]. То есть, здесь прослеживается связь между теориейклассических ортогональных полиномов и задачами математической статистики(нахождением закона распределения вероятностей).
Полиномы Чебышева — Эрмита.
Пусть многочлен (2) не имеет корней, тогда уравнение Пирсона(1) после переноса начала координат запишется в виде
/>,
тогда решениеэтого уравнения запишется в виде
/> (6).
Линейнымпреобразованием независимого переменного
/>
эта функцияприводится с точностью до постоянного множителя /> квесовой функции многочленов Чебышева – Эрмита, которая имеет вид
/>.
Поскольку умножение весовой функции на постоянную практически неизменяет ортогональные многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичныхнижеследующих формулах, не нарушая общности, можно полагать />. В данном случаеортогональные многочлены с весом (6) выражаются через ортогональные многочленыЧебышева – Эрмита /> по формуле
/>.
В этом случае условие ортогональности запишется в виде:
/> если />
Полиномы Чебышева — Лагерра.
Пустьтеперь многочлен (2) имеет один корень. Тогда уравнение (1) представимо в виде />.Тогда его решение запишется в виде />.Многочлены, ортогональные с таким весом, можно рассматриватькак обобщение многочленов Чебышева – Лагерра, ортогональных с весом />. Причеми здесь можно выразить эти многочлены через многочлены Чебышева – Лагерра />, а условие ортогональностибудет:
/> если />
ПолиномыЯкоби.Предположим, что многочлен (2) имеет два различных действительных нуля.Тогда />, и уравнение Пирсона (1)представимо в виде
/>,
где /> и /> - некоторые постоянные и />. Тогда решение уравнения(1)
представимов виде
/>
и определяетнекоторую систему ортогональных многочленов, которая линейным преобразованиемнезависимого переменного и умножением на постоянную сводится к системемногочленов Якоби />. Так как весоваяфункция многочленов Якоби имеет вид
/>.
И соответственно условие ортогональности будет иметь вид:
/> если />
Многочлены Чебышева Iрода являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция,относительно которой ортогональны эти многочлены, имеет вид:
/>
и получается при подстановке в весовую функцию многочленовЯкоби параметров />.
Многочлены Чебышева IIрода так же являются частным случаеммногочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Чебышева II рода имеет вид
/>
и получается при подстановке в весовую функцию многочленовЯкоби параметров />.
Следует так же отметить, что многочлены Лежандра являются частнымслучаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Лежандра
/>
и естьчастный случай весовой функции многочленов Якоби при />.
Глава 3.Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.
В этой главе рассматриваются примеры нахождения кривых распределения пометоду кривых Пирсона с использованием теоретических исследований,рассмотренных в первой и второй главах дипломной работы. Было написанопрограммное обеспечение, с помощью которого были получены и проинтерпретированычисленные результаты.
§ 1. Примеры нахождения кривыхраспределения вероятностей.
Рассмотрение примеров заключалось в том, что было рассмотрено пятьдесятслучайных выборок, а далее были рассмотрены примеры выборок с заданным закономраспределения. Согласно рассмотренному ниже алгоритму были произведенысоответствующие вычисления, и по каждой выборке была построена криваяраспределения вероятностей. При проведении испытаний было получено, что криваяраспределения сорока семи из пятидесяти рассмотренных выборок есть криваяПирсона первого типа, которая определяется следующей формулой:
/>.
Здесь нужно отметить разнообразие кривых Пирсона, делающее их применениеочень гибким. Это означает, что кривые распределения вероятностей первого типапри различных значениях параметров /> и /> могут иметь различнуюформу.
Ниже рассмотрено несколько примеров наиболее частовстретившихся форм кривой распределения I типа.
Пример 1.
Рассмотримвыборку:
/>
/>
/>
1 10,55233622 2 Кривая распределения вероятностей первого типа. 2 13,44763172 2 3 17,80800986 1 4 4,963081479 2 Параметры кривой: 5 14,66424847 2 6 12,436602 1/>10,0143
7 9,36697793 2/>7,6909
8 15,20854056 1/>0,9984
9 15,66078138 2/>0,5348
10 8,748272777 2/>0,0759
11 9,028156996 1 12 18,93642914 2 13 18,84283829 1 14 14,6049341 1Следовательно, кривая распределения вероятностей будет определена напромежутке />/> и будет иметь вид:
/>
/>/> 1
/>
/> 0 />
Рис.1
Из чего следует,что если параметры кривой распределения первого
типа будут находиться впределах />, то мы будем получатьформу кривой распределения, изображенную на рис.1.
Из пятидесятирассмотренных выборок двадцать четыре имеют такую форму кривой распределениявероятностей.
Пример2.
Рассмотримдругую выборку:
/>
/>
/>
1 8,460199654 2 Кривая распределения вероятностей первого типа. 2 45,34087276 8 3 18,07745451 5 4 5,419406056 8 Параметры кривой: 5 18,67596108 6 6 23,24656701 9/>17,4066
7 18,95143622 1/>37,6794
8 53,27426755 3/>-0,3882
9 54,93095666 1/>0,3243
10 24,27284002 2/>0,0187
11 17,74883789 4Криваяраспределения вероятностей имеет в этом случае форму, показанную на рис. 2.
/>/>/> 1
/>
/> 0 />
Рис.2
В этом случаепараметры кривой распределения будут: />.И если параметры кривой распределения другой выборки будут удовлетворять этимнеравенствам, то форма кривой распределения этой выборки будет похожа на рис.2.
Этот случайвстретился нам семь раз из пятидесяти.
Пример3
/>
/>
/>
1 3,881268442 7 Кривая распределения вероятностей первого типа. 2 1,343869925 17 3 3,770335495 11 4 2,860628724 9 Параметры кривой: 5 2,043179214 4 6 1,447737217 10/>1,2163
7 2,43993476 13/>1,4994
8 1,658227324 8/>-0,7286
9 3,98119396 16/>-0,6654
10 1,391261339 5/>0,1632
Криваяраспределения вероятностей имеет вид:
/>
1
/>
/> /> 0 />
Рис.3
Такой будет форма кривой распределения вероятностей, если параметры />. Эта форма кривойвстречается шестнадцать раз из пятидесяти.
§2. Алгоритм вычислений.
/>/>/>/>
Тип кривой распределения вероятностей
/>/>/>/>/>Проверка условий для />
æ Пирсона
/>/>/>/>/>/> Исходные данные/>
/>
/>/>/>i
Метод Пирсона./> /> /> /> /> /> /> /> <td/>Вывод результатов: параметры кривой распределения вероятностей
Заключение.
В дипломнойработе были рассмотрены вопросы нахождения распределения вероятностей позаданным выборочным значениям случайной величины. В первой главе былорассмотрено решение дифференциального уравнения Пирсона, проклассифицированы спомощью æ критерияПирсона, найдены типы кривых распределения вероятностей и параметры,соответствующие каждому типу.
Во второйглаве был рассмотрен подход Чебышева к получению систем ортогональныхполиномов, которые обладают свойством метода наименьших квадратов. Былорассмотрено применение способа Чебышева для нахождения кривой распределениявероятностей по обобщенному методу Грамма – Шарлье.
В третьейглаве описывается алгоритмическое обеспечение нахождения кривых распределениявероятностей по методу Пирсона.
Результатыдипломной работы могут представлять большое значение для решения многихпрактических задач, так как часто возникает необходимость по экспериментальнымданным оценить распределение вероятностей измеренной случайной величины.
Литература.
1. Гмурман В.Е. Теория вероятности иматематическая статистика. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа,1999
2. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональныеполиномы. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948
3. МитропольскийА.К. Техникастатистических распределений. М.: издательство “Наука”, 1971
4. Немчинов В.С. Полиномы Чебышева и математическаястатистика. М.:издание Московской ордена Ленина сельскохозяйственной академии имени К.А.Тимирязева, 1946
5. Романовский В.И. Математическаястатистика. Издательство Академии Наук УзССР, 1961
6. Суетин П.К.Классическиеортогональные многочлены. М.: издательство “Наука”, 1976
7. Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.:Государственное издательство физико-математической литературы, 1961
8. Хотимский В.И. Выравниваниестатистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева). М.:Государственное статистическое издательство, 1959