Реферат: Математические вычисления

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ

СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА

Контрольная работа

по курсу «Математика»

Выполнил студент В.В.Тюрин

Тула 2010


1. Задача 1

Для заданных двух множеств найти произведения и , изобразить их графически и найти пересечение

,

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:

2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:

3.Определяем пересечение множеств:

{Ø}

4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются

совокупности точек, обозначенные разными символами.

Рис. 1. Прямое AxB и обратного BxA произведения двух точечных множеств


Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.

2. Задача 2

Вычислить предел функции с использованием основных теорем

Решение

3. Задача 3

Раскрытие неопределенности вида и с использованием правила Лопиталя

Решение

Неопределенность


4. Задача 4

Найти производную простой функции

Решение

Итак,

5. Задача 5

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Решение

1. Находим первую производную заданной функции

2. Определяем критические точки первого рода:

или ,

Отсюда ,

3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке числовой оси:


Таблица 1

-1,2 () () 1 () 2,5
Знак - + -
Величина 32,88

-6

-1 244
Экстремум m M

Итак,

В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.

6. Задача 6

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки

Решение

Выполним подстановку:

Продифференцируем обе части уравнения:

=


7. Задача 7

Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби

Решение

1. Найдем производную знаменателя:

2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем за знак интеграла.

3. Запишем число , как , получим:

4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:


5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:

6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат.

Интеграл принимает табличный вид:

7. Записываем решение:

8. Задача 8

Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям


Решение

9. Задача 9

По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь

А(-5; -5; 3); В(-4; 1; 1); С(1; 4; 0)

Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):

Рис. 2 Схема треугольника


2 Вычисляем длины сторон:

3. Определяем углы треугольника,

следовательно, =23.3o

следовательно, 25,4о

Угол по формуле .

Следовательно, ,

4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника

следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:


10. Задача 10

Найти для заданной матрицы присоединенную и обратную матрицы

Решение

1.Вычисляем определитель матрицы

Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

2. Вычисляем для всех элементов матрицы алгебраические дополнения:


3. Записываем присоединенную матрицу:

4. Вычисляем обратную матрицу

5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу

=

Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.

11. Задача 11

Найти произведения и квадратных матриц и

Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

1. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)


12. Задача 12

Найти произведение прямоугольных матриц

Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц

,

устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)


13. Задача 13

Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме

Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:

то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:

так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно.


3. Вычисляем остальные определители:

4. Вычисляем значения неизвестных:

Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:

.

1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

, ,

2. Вычисляем определитель матрицы :


Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:

4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:


5. Вычисляем обратную матрицу :

6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:

Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:

или (1, 2, 1).

3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:


Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:

Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.

Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.

Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:


Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:

Итак, решение системы уравнений имеет вид:

, ,

или в краткой форме: (1,2,1).

14. Задача 14

Определить число элементарных событий и простых соединений

Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение

Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные:


15. Задача 15

Вычислить вероятность события по классической схеме

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.

2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:

3. Вероятность искомого события:

16. Задача 16

Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.

Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.

Решение

Пусть

P(A) – вероятность попадания 3 раза,

P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,

P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,

P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.

Тогда

P(B)=0,8

P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7

P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6

P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336

17. Задача 17

Вычисление вероятности повторных независимых испытаний

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.

Решение

Используем формулу Я. Бернулли:

1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:

n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5


2. Вычисление вероятности искомого события:

18. Задача 18

Найти законы распределения случайных величин и , если законы распределения случайных величин и имеют вид

2 4 6
0,1 0,2 0,3 0,4
3 5 7 9
0,3 0,2 0,2 0,3

Решение

Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.

1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2.

Таблица 2.

3 5 7 9
0.3 0.2 0.2 0.3
0.1 -30.03 -5 0.02 -70.02 -9 0.03
2 0.2 -1 0.06 -3 0.04 -5 0.04 -7 0.06
4 0.3 1 0.09 -1 0.06 -3 0.06 -5 0.09
6 0.4 3 0.12 1 0.08 -1 0.08 -3 0.12

2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3.

Таблица 3

-9 -7 -5 -3 -1 1 3
0.03 0.08 0.15 0.25 0.2 0.17 0.12

2. Проверяем достоверность вычислений:

0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0

4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины (произведения тех же случайных величин), используя табл.4.

Таблица 4

3 5 7 9
0.3 0.2 0.2 0.3
0.1 0 0.03 00.02 00.02 00.03
2 0.2 60.06 10 0.04 14 0.04 18 0.06
4 0.3 12 0.09 20 0.06 28 0.06 36 0.09
6 0.4 18 0.12 90 0.08 42 0.08 54 0.12

5. Записываем закон распределения случайной величины в табл. 5.


Таблица 5

6 10 12 14 18 20 28 36 42 54 90
0.1 0.06 0.04 0.09 0.04 0.18 0.06 0.06 0.09 0.08 0.12 0.08

6. Проверяем достоверность вычислений:

0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0

19. Задача 19

Вычислить основные характеристики вариационного ряда

Таблица 6

25 29 33 37 41 Итого
16 8 19 10 7 60

Решение

1. Вычисления производим в табличной форме (табл.7).

Таблица 7

№№
1 25 16 625 400 10000
2 29 8 841 232 6728
3 33 19 1089 627 20691
4 37 10 1369 370 13690
5 41 7 1681 287 11767
Итого 60 6505 1916 62876
Среднее - - 93,42 31,93 1047,93

2. По итоговым данным табл.7, получаем:

— среднюю производительность труда

3. Вычисляем характеристики вариации:

— дисперсию

— среднее квадратическое отклонение

— коэффициент вариации

4. Результаты вычислений иллюстрирует график рис.3.

Рис. 3. Результаты вычислений

20. Задача 20

Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных


Таблица 8

103 108 102 111 95 109 118 123
106 103 108 102 111 91 109 118

Решение

1. Решение производим в форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:

.

Таблица 9

№№
1 103 106 10609 11236 10918
2 108 103 11664 10609 11124
3 102 108 10404 11664 11016
4 111 102 12321 10404 11322
5 95 111 9025 12321 10545
6 109 91 11881 8281 9919
7 118 109 13924 11881 12862
8 123 118 15129 13924 14514
Итого 869 848 94957 90320 92220
Среднее 108,63 106 11870 11290 11528

2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:


Отсюда получаем: ,

а из первого уравнения

3. Записываем корреляционное уравнение

4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9

Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами и слабая.

5. Графически результаты вычислений показаны на рис.4 в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости (сплошная черная линия).

Рис. 4. Результаты вычислений

еще рефераты
Еще работы по математике