Реферат: Теория вероятности

Вариант 10

(для студентов, номера личных дел которыхоканчиваются цифрой 0)

Контрольная работа №3

1.На первом станке обработано 20 деталей, из них семь с дефектами, на втором — 30, из них четыре с дефектами, на третьем — 50 деталей, из них 10 с дефектами.Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалась без дефектов.

Каковавероятность того, что она обработана на третьем станке?

Длярешения этой задачи воспользуемся формулой Байеса:

ПустьН1, Н2, … Нn – полная группа попарнонесовместных событий гипотезы, А – случайное событие, тогда:

/>

Введемгипотезы: Н1 – деталь обработана на первом станке, Н2 –деталь обработана на втором станке, Н3– деталь обработана на третьемстанке.

Введемсобытие А – купленная деталь оказалась без дефектов.

Тогда,по условию задачи:

/>

Таккак на первом станке было изготовлено 20-7 = 13 деталей без дефектов, то

/>

Навтором станке было изготовлено 30-4 = 26 деталей без дефектов, то

/>

Ана третьем станке было изготовлено 50-10 = 40 деталей без дефектов, то

/>

Поформуле полной вероятности получаем:

/>

Поформуле Байеса:

/>

Ответ:/>

2.Сколько семян следует взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 бытьуверенным, что частость взошедших семян будет отличаться от вероятности р — 0,9не более чем на 2% (по абсолютной величине)?

Решение

Поусловию, р=0,9, тогда q=0,1. Необходимо найти n. Необходимо, чтобы условие

/>

выполнялосьс вероятностью, не меньшей, чем 0,9545. Раскроем модуль и найдем границы для m:

/>

Потеореме Муавра-Лапласа:

/>

Поусловию, />≥0,9545.

Поматематико-статистическим таблицам находим приближенное значение функцииЛапласса:

Ф(Х)= 0,9545, где Х=/>.

Имеем:Ф(Х) = 2,0, отсюда

/>

Итак,следует взять не менее 900 семян.

3.Завод «Пино» (г. Новороссийск) отправил в Москву 2000 бутылок вина « Каберне».Вероятность того, что в пути может разбиться бутылка, равна 0,002.

Каковавероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок?

Еслипроводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А можетнаступить с одной и той же вероятностью, тогда вероятность Рn(m)того, что событие наступило m раз в этой серии испытаний можно найти:

Р(А)= />,

таккак число n=2000 велико, а вероятность р=0,002 мала, то найдем:

/>товоспользуемся формулой Пуассона:

/>

Искомаявероятность приближенно равна:

/>

P= P2000(0)+ P2000(1)+ P2000(2)+P2000(3)+ P2000(4)+ P2000(5)≈0,0183+0,0733+0,1465+0,1954+0,1954+0,1563= 0,7852

Ответ: Р≈0,7852

4. Одна из случайныхвеличин (X) задана закономраспределения:

X 1 3 p 0,2 0,3 0,5

адругая (У) имеет биномиальное распределение с параметрами п=2, р=0,4.

Составитьзакон распределения их разности. Найти математическое ожидание и дисперсию этойслучайной величины.

Найдемзакон распределения для величины (Y):

y 1 2 p

p0=0,36

p1=0,48

p2=0,16

Z11= X1 — Y1 = 0-0 = 0; p(Z11) = 0,2·0,36=0,072;

Z12= X1 — Y2 = 0-1 = -1; p(Z12) = 0,2·0,48=0,096;

Z13= X1 — Y3 = 0-2 = -2; p(Z13) = 0,2·0,16=0,032;

Z21= X2 — Y1 = 1-0 = 1; p(Z11) = 0,3·0,36=0,108;

Z22= X2 — Y2 = 1-1 = 0; p(Z11) = 0,3·0,48=0,144;

Z23= X2 — Y3 = 1-2 = -1; p(Z11) = 0,3·0,16=0,048;

Z31= X3 — Y1 = 3-0 = 3; p(Z11) = 0,5·0,36=0,018;

Z32= X3 — Y2 = 3-1 = 2; p(Z11) = 0,5·0,48=0,024;

Z33= X3 — Y3 = 3-2 = 1; p(Z11) = 0,5·0,16=0,08.

Итак, закон распределения разности имеет вид:

Z -2 -1 1 2 3 P 0,032 0,096+0,048=0,144 0,072+0,144=0,216 0,108+0,08=0,188 0,24 0,18

Мат. ожидание:

М(Z)= -2·0,032-1·0,144+0·0,216+1·0,188+2·0,24+3·0,18=-0,02+0,48+0,54 = 1

Проверка:

М(Х)= 0,3+1,5 = 1,8

М(Y)= np = 0,8

M(X-Y)= M(X) – M(Y) = 1,8-0,8 = 1.

Дисперсия:

D(Z) = M(Z2)-[M(Z)]2

M(Z2)=0,128+0,144+0+0,188+0,96+1,62= 3,04

D(Z)= 3,04-1 = 2,04.

5.Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределенная случайнаявеличина с математическим ожиданием М{Х) = 10 и средним квадратическимотклонением δ = 2, найти вероятность того, что длина наугад взятой детализаключена в интервале (5; 6).

В каких границах(симметричных относительно М(Х)) будет заключена длина наугад взятой детали свероятностью 0,95?

1. />
2 />

Используя таблицузначений нормированной функции Лапласса, имеем:

/>

Список использованнойлитературы

1. КремерН.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-еизд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573 с.