Реферат: Определенный интеграл


Определенный интеграл



Содержание

Лекция 1. Определенныйинтеграл

1. Понятие определенногоинтеграла

2. Геометрический смыслопределенного интеграла

3. Основные свойстваопределенного интеграла

4. ФормулаНьютона–Лейбница

5. Замена переменной вопределенном интеграле

6. Интегрирование почастям

Лекция 2. Применениеопределенных интегралов. несобственные интегралы

1. Площадь криволинейнойтрапеции

2. Объем тела вращения

3. Длина дуги плоскойкривой

4. Несобственныеинтегралы с бесконечными пределами интегрирования

5. Несобственные интегралыот неограниченных функций

Литература


Лекция 1.Определенный интеграл

 

1.  Понятие определенногоинтеграла

Пусть функция/> определена на отрезке />, />. Выполним следующиеоперации:

1)  разобьем отрезок /> точками /> на n частичных отрезков />;

2)  в каждом из частичныхотрезков />, /> выберем произвольную точку/> и вычислим значениефункции в этой точке: />;

3)  найдем произведения />, где /> – длина частичного отрезка/>, />;

4)  составим сумму

/>, (1)

котораяназывается интегральной суммой функции y= f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точкизрения интегральная сумма /> представляетсобой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичныеотрезки />, а высоты равны /> соответственно (рис. 1).Обозначим через /> длинунаибольшего частичного отрезка />;

5)  найдем пределинтегральной суммы, когда />.


/>

Рис. 1

 

Определение. Если существует конечныйпредел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка /> на частичные отрезки, ниот выбора точек /> в них, то этотпредел называется определенным интегралом от функции /> на отрезке /> и обозначается />.

Такимобразом, />.

В этом случаефункция /> называется интегрируемойна />. Числа а и b называютсясоответственно нижним и верхним пределами интегрирования, /> – подынтегральнойфункцией, /> – подынтегральнымвыражением, /> – переменнойинтегрирования; отрезок /> называетсяпромежутком интегрирования.

Теорема 1.Еслифункция /> непрерывна на отрезке />, то она интегрируема наэтом отрезке.

2.  Геометрический смыслопределенного интеграла

Пусть наотрезке /> задана непрерывнаянеотрицательная функция />. Криволинейнойтрапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y= f(x), снизу – осью Ох, слеваи справа – прямыми x= aи x= b(рис. 2).

/>

Рис. 2

Определенныйинтеграл /> от неотрицательной функции/> с геометрической точкизрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверхуграфиком функции />, слева и справа– отрезками прямых /> и />, снизу – отрезком /> оси Ох.

3. Основныесвойства определенного интеграла

 

1.  Значение определенногоинтеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: />.

2. Определенный интеграл содинаковыми пределами интегрирования равен нулю: />

3.  Если />, то, по определению,полагаем />

4.  Постоянный множительможно выносить за знак определенного интеграла: />

5.  Определенный интеграл оталгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенныхинтегралов от этих функций:

/>.

6.  Если функция /> интегрируема на /> и />, то

/>.

7.  (теорема о среднем).Если функция /> непрерывна на отрезке />, то на этом отрезкесуществует точка />, такая, что />.

4. ФормулаНьютона–Лейбница

Вычислениеопределенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большимитрудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи,существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2.Еслифункция /> непрерывна на отрезке /> и /> – какая-либо еепервообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:


/>, (2)

котораяназывается формулой Ньютона–Лейбница. Разность /> принято записыватьследующим образом:

/>,

где символ/> называется знаком двойнойподстановки.

Такимобразом, формулу (2) можно записать в виде:

/>.

Нахождениеопределенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в дваэтапа: на первом этапе находят некоторую первообразную /> для подынтегральнойфункции />; на втором – находитсяразность /> значений этойпервообразной на концах отрезка />.

Пример 1. Вычислить интеграл />.

Решение. Дляподынтегральной функции /> произвольнаяпервообразная имеет вид />. Таккак в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то длявычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: />. Тогда />.

Пример 2. Вычислить интеграл />.

Решение. Поформуле Ньютона-Лейбница имеем:

/>.

5. Заменапеременной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция /> непрерывна на отрезке />. Тогда, если: 1) функция /> и ее производная /> непрерывны при />; 2) множеством значенийфункции /> при /> является отрезок />; 3) />, />, то справедлива формула

/>, (3)

котораяназывается формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, чтокак и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменнойпозволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом вотличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимостивозвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новыепределы интегрирования /> и /> (для этого надо решитьотносительно переменной t уравнения /> и />)).

На практикечасто вместо подстановки /> используютподстановку />. В этом случае нахождениеновых пределов интегрирования по переменной t упрощается: />, />.

Пример 3. Вычислить интеграл />

Решение. Введемновую переменную по формуле />. Определим/> и />. Возведя в квадрат обечасти равенства />, получим />, откуда /> />. Находим новые пределыинтегрирования. Для этого в формулу/> подставимстарые пределы /> и />. Получим: />, откуда /> и, следовательно, />; />, откуда /> и, следовательно, />. Таким образом:

/>
/>.

Пример 4. Вычислить интеграл />.

Решение. Воспользуемсяуниверсальной тригонометрической подстановкой. Положим />, откуда /> />, />. Найдем новые пределыинтегрирования: если />, то />; если />, то />. Значит, />. Следовательно:


/>

/> 

/>.

 

Пример 5. Вычислить интеграл />.

Решение.Положим />, тогда />, откуда />. Находим новые пределыинтегрирования: />; />. Имеем: />. Следовательно:

/>

/>.

6.  Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции /> и /> имеют непрерывныепроизводные на отрезке />. Тогда имеетместо следующая формула интегрирования по частям:

/>. (4)

 


Доказательство

Так как />, то функция /> является первообразной дляфункции />. Тогда по формулеНьютона–Лейбница получаем

/>,

откуда

/>.

 

Пример 6. Вычислить />.

Решение.Положим />, отсюда />. По формуле (4) находим

/>
/>.

Пример 7. Вычислить />.

Решение.Пусть />, тогда />. Применяя формулуинтегрирования по частям, получаем

/>
/>.


Пример 8. Вычислить />.

Решение.Полагая />, определяем />. Следовательно:

/>

/>[к полученному интегра-лу снова применяемформулу интегрирования по частям: />;следовательно: />] = /> = />

/>.


Лекция 2.Применение определенныхинтегралов. Несобственные интегралы

 

1.  Площадь криволинейнойтрапеции

Пусть функция/> неотрицательна инепрерывна на отрезке />. Тогда, согласногеометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции,ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью />, слева и справа – прямыми /> и /> (см. рис. 2)вычисляется по формуле

/>. (5)

 

Пример 9. Найти площадь фигуры,ограниченной линией /> и осью />.

Решение.Графиком функции /> являетсяпарабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобыопределить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) сосью /> (прямой />). Для этого решаем системууравнений

/>

Получаем: />, откуда />, />; следовательно, />, />.


/>

Рис. 3

Площадьфигуры находим по формуле (5):

/>

/>/> (кв. ед.).

Если функция /> неположительна инепрерывна на отрезке />, то площадькриволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху –осью />, слева и справа – прямыми /> и />, вычисляется по формуле

/>. (6)

В случае еслифункция /> непрерывна на отрезке /> и меняет знак в конечномчисле точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равнаалгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:


/>. (7)

/>

Рис. 4

 

Пример 10. Вычислить площадьфигуры, ограниченной осью /> играфиком функции /> при />.

/>

Рис. 5

Решение.Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей/> и />. Найдем каждую из этихплощадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему /> Получим />, />. Следовательно:

/> />;

/>

/>.

Такимобразом, площадь /> заштрихованнойфигуры равна

/> (кв. ед.).

/>

Рис. 6

Пусть,наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывныхна отрезке /> функций /> и />,
а слева и справа – прямыми /> и /> (рис. 6). Тогда ееплощадь вычисляется по формуле

/>. (8)

 

Пример 11. Найти площадь фигуры,ограниченной линиями /> и />.

Решение.Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8).Решая систему уравнений /> находим/>, />; следовательно, />, />. На отрезке /> имеем: />. Значит, в формуле (8) вкачестве /> возьмем x, а в качестве /> – />. Получим:

/> /> /> (кв. ед.).

Более сложныезадачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиесячасти и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.


/>

Рис. 7

 

Пример 12. Найти площадь фигуры,ограниченной линиями />, /> />, />.

Решение.Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать каккриволинейную трапецию, ограниченную снизу осью />,слева и справа – прямыми /> и />, сверху – графикамифункций /> и />. Так как фигура ограниченасверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем даннуюфигуру прямой /> на две части (1– это абсцисса точки пересечения линий /> и/>). Площадь каждой из этихчастей находим по формуле (4):

/> (кв. ед.); /> (кв. ед.). Следовательно:

/> (кв. ед.).


/>

Рис. 8

х = j (у)

  />

Рис. 9

В заключениеотметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми /> и />, осью /> и непрерывной на /> кривой /> (рис. 9), то ееплощадь находится по формуле

/>.


2.  Объем тела вращения

Пустькриволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке /> функции />, осью />, прямыми /> и />, вращается вокруг оси /> (рис. 10). Тогда объемполученного тела вращения вычисляется по формуле

/>. (9)

 

Пример 13. Вычислить объем тела,полученного вращением вокруг оси /> криволинейнойтрапеции, ограниченной гиперболой />, прямыми/>, /> и осью />.

Решение.Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условиязадачи следует, что />, />. По формуле (9) получаем

/>
/>.

/>

Рис. 10


/>

Рис. 11

Объем тела,полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченнойпрямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке /> функции /> (рис. 12),определяется по формуле

/>. (10)

х = j (у)

  />

Рис. 12

 

Пример 14. Вычислить объем тела,полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченнойлиниями х2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение. Всоответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: />, />. По формуле (10) получаем:

/>.

/>

Рис. 13

3.  Длина дуги плоской кривой

 

Пусть кривая />, заданная уравнением />, где />, лежит в плоскости /> (рис. 14).

/>

Рис. 14


Определение. Под длиной дуги /> понимается предел, ккоторому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда числозвеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремитсяк нулю.

Если функция /> и ее производная /> непрерывны на отрезке />, то длина дуги кривой /> вычисляется по формуле

/>. (11)

Пример 15. Вычислить длину дугикривой />, заключенной междуточками, для которых />.

Решение. Изусловия задачи имеем />. По формуле (11)получаем:

/>

/>

/>/>.


4.  Несобственные интегралы сбесконечными пределами интегрирования

 

При введениипонятия определённого интеграла /> предполагалось,что выполняются следующие два условия:

а) пределыинтегрирования а и /> являютсяконечными;

б) подынтегральнаяфункция /> ограничена на отрезке />.

Если хотя быодно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотримвначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция /> определена и непрерывна напромежутке />, тогда

/> (12)

называется несобственныминтегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственныминтегралом Iрода).

Если /> существует и конечен, тонесобственный интеграл /> называетсясходящимся; если данный предел не существует или равен />, то несобственный интегралназывается расходящимся.

Геометрическинесобственный интеграл /> отнеотрицательной функции /> выражаетплощадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графикомфункции />, снизу – осью />, слева – отрезком прямой /> и неограниченной справа(рис. 15).

Еслинесобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; еслинесобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.

/>

Рис. 15

Аналогичноопределяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределоминтегрирования:

/>. (13)

Этот интегралсходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; впротивном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственныйинтеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующимобразом:

/>, (14)


где с – любаяточка интервала />. Интеграл /> сходится только в томслучае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

Пример 16. Исследовать насходимость несобственные интегралы:

а) />; б)/>; в) />; г) />.

Решение. а) /> />, следовательно, данный интеграл расходится;

б) />

/>. Так как при /> предел/> не существует, то интеграл/> расходится;

в) />

/> Значит, несобственный интеграл /> сходится и его значениеравно />;

г) /> = [выделим в знаменателеполный квадрат: />] = /> [замена: />

/>] = />

/>/>

Значит,несобственный интеграл сходится и его значение равно />.

5.  Несобственные интегралыот неограниченных функций

 

Пусть функция/> непрерывна на конечномпромежутке />, но не ограничена на этомпромежутке.

Определение. Несобственным интегралом/> от функции у=f(x) на промежутке /> называется предел />, т.е.

/>. (15)

Если предел,стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственныйинтеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15)иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогичновводится понятие несобственного интеграла от функции /> непрерывной, но не ограниченнойна промежутке />:

/>. (16)


Если функция /> не ограничена при />, где />, и непрерывна при /> и />, то несобственный интегралот функции у=f(x) на отрезке /> обозначается /> и определяется равенством

/>. (17)

 

Несобственныйинтеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интегралав правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.

Пример 17. Исследовать насходимость несобственные интегралы:

а) />; б) />.

Решение: а) данныйинтеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция/> не определена в точке />, при /> эта функция неограниченновозрастает).

Поопределению имеем

/>[замена: /> />] = /> />, следовательно, данныйинтеграл сходится.

б) по определению


/>
/>/>.

Значит,данный интеграл является расходящимся.



Литература

 

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основыматематического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

2. Гусак А.А. Математическийанализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А.А. Высшаяматематика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с.(1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А.,Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебникдля вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В.,Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. –Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.

еще рефераты
Еще работы по математике