Реферат: Дифференциальные уравнения

Министерствообразования РФ

Московскийавиационный институт

(государственныйтехнический университет)

Филиал «Восход»

КафедраМиПОИС

Курсоваяработа

по курсу:Дифференциальные уравнения

Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.

Байконур 2005 г.


1. Теоретическая часть

Дифференциальныеуравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальныеуравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:

/>

Возможны три случая:

1)  Когда C1=C2 =0

/>

2)  Когда

/>

/>

/>


Когда

/>

Вводятся новые переменныеu и υ так, чтобы правая частьисходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевогопорядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравненияпосле подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя изнаменателя, то есть записываются два равенства:

/>

Определитель даннойсистемы линейных алгебраических уравнений: />, не равен нулю по условию,поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственнаяпара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+kправая часть исходного уравнения принимает вид />, а само уравнение: />. Полученное уравнениеявляется однородным


2. Практическая часть

Задача 1. Найти общий интегралдифференциального уравнения:

/>

Решение:

/>

– дифференциальноеуравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:

/>

/>

Проинтегрируем выражение:

/>

/>

/>

Ответ: />


Задача 2. Найти общийинтеграл дифференциального уравнения:

/>

Решение:

/>

/>

/>

/>

Следовательно, исходноеуравнение является однородным.

Пусть

/>

Произведём замену висходном уравнении:

/>

/> - дифференциальное уравнение сразделяющимися переменными

Разделим переменные:

/>


Проинтегрируем а затем пропотенцируемвыражение:

/>

/>

Но /> />

/>

/>

Ответ: />

Задача 3. Найти общийинтеграл: />

Решение:

/> - дифференциальное уравнение,приводящееся к однородному

/>

Введём новые элементы:

/> ,

где h и k должны удовлетворять уравнениям:

/> откуда />


Таким образом:

/> откуда />

Подставляя это в исходноеуравнение, получим

/>

Или

/>

Сделаем подстановку:

/>

/>

/>

/>

/> -

дифференциальное уравнениес разделяющимися переменными


/>

Упростим левую частьвыражения

/>

1+z=A(z-1)+Bz

Z1:1=A+B A=-1

z0:1=-A B=2

Проинтегрируем уравнение(**)

/>

/>

ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C

/>

Пропотенцируем иподставим значение z в выражение

/>


Упрощая данное выражение,получим:

/>

/>

Ответ: />

Задача 4. Найти решениезадачи Коши:/>/>

Решение:

/>– линейное уравнение

Воспользуемся методомБернулли:

/>

/>

/>

a) />

Разделим переменные:

/>

/>


Проинтегрируем а затемпропотенцируем данное выражение:

/>

/>

/>

/>

б) />

Разделяя переменные,подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:

/>

/>

/>

/>

/>

Следовательно:

/>

Найдём значение С2


y|п/4=1/2

/>

/>

Ответ: />

Задача 5. Решить задачуКоши: />

Решение:

/>

/>

/>

/> - линейное уравнение

Воспользуемся методоминтегрирующего множителя:

/>

/>

/>

Ответ: />


Задача 6. Найти решениезадачи Коши: />, y(0)=1

Решение:

/> - уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнениена (:y2):

/>

Произведём замену иподставим её в исходное уравнение:

z=y-1/>

Следовательно:

/>

/> - линейное уравнение

Воспользуемся методомБернулли:

/>

/>

/>


/>

/>

Откуда:

/>

Найдём значение С2

/>

Следовательно:/>

Ответ: />


Задача 7. Найти общийинтеграл дифференциального уравнения:

/>

Решение:

/>

— дифференциальноеуравнение в полных дифференциалах

/>

/>

Следовательно, леваячасть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции />

/> (*)

Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этомсчитаем, что С является функцией от y:

/>

Дифференцируя полученное,имеем:


/>

Но />

Откуда:

/>

/>

/>

Следовательно:

/>

Ответ:

/>

Задача 8. Для данногодифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую,проходящую через точку М.

/>

Решение:

Чтобы решить данноедифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать наних угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом,чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:

/>

Откуда />

/>

В результате получимследующий график:

/>


Задача 9. Найти линию,проходящую через точку М0и обладающую тем свойством, что в любойточке М нормальный вектор /> сконцом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительнымнаправлением оси ординат. М0(6;4), a=10

Решение:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Подставляя значенияфункции в точке M найдём значение С:


/>

/>

Ответ: />

Задача 10. Найти общеерешение дифференциального уравнения:

/>

Решение:

/> - дифференциальное уравнениетретьего порядка

Пусть />

Подставив в исходноеуравнение, получим:

/>

/>

Проинтегрируем и поделимна х данное выражение:

/>

Следовательно: />

Разделяя переменные ивновь интегрируя, получим:


/>

Повторяем процедуру втретий раз и получаем искомое выражение для y

/>

/>

/>

Ответ: />

Задача 11. Найти общеерешение дифференциального уравнения:

/>

Решение:

Данное уравнение несодержит х в явном виде

Предположим, что /> откуда />

Тогда исходное уравнениебудет выглядеть так:

/>


Разделим переменные и проинтегрируемвыражение:

/>

/>

Но/>. Тогда />

/>

Однако: />. Поэтому разделимпеременные и проинтегрируем выражение:

/>

/>

Выясним значение С2:

/>

Следовательно: />

Ответ: />

Задача 12. Найти общеерешение дифференциального уравнения:

/>


Решение:

/> - НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано ввиде:

/> />

Запишем однородноелинейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):

/>

Составим и решим для ОЛДУхарактеристическое уравнение:

k4-3k3+3k2-k=0

k1=0

k3-3k2+3k-1=0

k2=1

по методу Горнера:

1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k3-2k2+1=0

k3,4=1

Общее решение будетравно:

/>


Найдём частное решение:

/>

/>

/>

/>

6A-2Ax-B=2x

/>

/>

Откуда: />

Ответ: />

Задача 13. Найти общеерешение дифференциального уравнения:

/>

Решение:

/> - НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решимсоответствующее характеристическое уравнение

/>

/>

/>


Решение НЛДУ запишется ввиде:/>

Общее решение:/>

Найдём частное решениедифференциального уравнения:

/>

/>

Подставим найдённое висходное уравнение и выразим коэффициенты

/>

/>

/> => />

Частное решение: />

Решение дифференциальногоуравнения:

/>

Ответ: />

Задача 14. Найти общеерешение дифференциального уравнения

/>

Решение:

/> - НЛДУ с постоянными коэффициентами


/> />

Общее решение

/>

Найдём частное решение: />

/>

/>

Подставим найдённое висходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:

/>

/>

/>

Частное решение уравнения:

/>

/>=/>/>

Ответ: />=/>/>


Задача 15. Найти общеерешение дифференциального уравнения: />

Решение:

По определениюгиперболического синуса:

/>

Найдём общее решение

/>

/>

/>

Найдём частное решение:

/>

/> />

/>

Подставив в исходныеуравнения, найдём значения коэффициентов:


/>

/>

/>

/>

Ответ: />

Задача 16. Решить задачуКоши:

/>, />,/>

Решение:

/> - НЛДУ

Общее решение запишем ввиде/>

/>

Запишем ОЛДУ и найдёмкорни его характеристического уравнения:

/>

/>

/>


Общее решение имеет вид: />

Найдём решение частное:

/>,

где С1 и С2–решения системы дифференциальных уравнений

/>

/>

/>

/>

По теореме Крамера:

/>

/>

Интегрируя выражения,получим:


/>

/>

/>

/>

/>

Следовательно, решениебудет выглядеть так:

/>

Найдём значения С1и С2


/>

/>

/>

/>

/>

Ответ: />

Задача 17. Решить системудифференциальных уравнений

/>

Решение:

Составим матрицу системы:

/>

Составимхарактеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть:


/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Найдём собственныевекторы

1) />

/>

/>

/>

/>

/>

2) />

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Запишем общее решениесистемы уравнений

/>

/>

/>

/>

/>

Отсюда получаем:

/>

Ответ: />


Задача 18. Найти кривые, укоторых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу,вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Решение:

/>

/>

Но />

/>

/> => />

Разделим переменные:

/>

Проинтегрируем ипропотенцируем выражение:

/>

/>

Ответ: />

еще рефераты
Еще работы по математике