Реферат: Дифференциальные уравнения
Министерствообразования РФ
Московскийавиационный институт
(государственныйтехнический университет)
Филиал «Восход»
КафедраМиПОИС
Курсоваяработа
по курсу:Дифференциальные уравнения
Студент гр. ДА 2-40
Воронцов О. В.
Байконур 2005 г.
1. Теоретическая часть
Дифференциальныеуравнения, приводящиеся к однородным
Дифференциальныеуравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:
/>
Возможны три случая:
1) Когда C1=C2 =0
/>
2) Когда
/>
/>
/>
Когда
/>
Вводятся новые переменныеu и υ так, чтобы правая частьисходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевогопорядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравненияпосле подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя изнаменателя, то есть записываются два равенства:
/>
Определитель даннойсистемы линейных алгебраических уравнений: />, не равен нулю по условию,поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственнаяпара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+kправая часть исходного уравнения принимает вид />, а само уравнение: />. Полученное уравнениеявляется однородным
2. Практическая часть
Задача 1. Найти общий интегралдифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>
– дифференциальноеуравнение с разделяющимися переменными
Разделим переменные:
/>
/>
Проинтегрируем выражение:
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 2. Найти общийинтеграл дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>
/>
/>
/>
Следовательно, исходноеуравнение является однородным.
Пусть
/>
Произведём замену висходном уравнении:
/>
/> - дифференциальное уравнение сразделяющимися переменными
Разделим переменные:
/>
Проинтегрируем а затем пропотенцируемвыражение:
/>
/>
Но /> />
/>
/>
Ответ: />
Задача 3. Найти общийинтеграл: />
Решение:
/> - дифференциальное уравнение,приводящееся к однородному
/>
Введём новые элементы:
/> ,
где h и k должны удовлетворять уравнениям:
/> откуда />
Таким образом:
/> откуда />
Подставляя это в исходноеуравнение, получим
/>
Или
/>
Сделаем подстановку:
/>
/>
/>
/>
/> -
дифференциальное уравнениес разделяющимися переменными
/>
Упростим левую частьвыражения
/>
1+z=A(z-1)+Bz
Z1:1=A+B A=-1
z0:1=-A B=2
Проинтегрируем уравнение(**)
/>
/>
ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C
/>
Пропотенцируем иподставим значение z в выражение
/>
Упрощая данное выражение,получим:
/>
/>
Ответ: />
Задача 4. Найти решениезадачи Коши:/>/>
Решение:
/>– линейное уравнение
Воспользуемся методомБернулли:
/>
/>
/>
a) />
Разделим переменные:
/>
/>
Проинтегрируем а затемпропотенцируем данное выражение:
/>
/>
/>
/>
б) />
Разделяя переменные,подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:
/>
/>
/>
/>
/>
Следовательно:
/>
Найдём значение С2
y|п/4=1/2
/>
/>
Ответ: />
Задача 5. Решить задачуКоши: />
Решение:
/>
/>
/>
/> - линейное уравнение
Воспользуемся методоминтегрирующего множителя:
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 6. Найти решениезадачи Коши: />, y(0)=1
Решение:
/> - уравнение Бернулли
Подёлим данное уравнениена (:y2):
/>
Произведём замену иподставим её в исходное уравнение:
z=y-1/>
Следовательно:
/>
/> - линейное уравнение
Воспользуемся методомБернулли:
/>
/>
/>
/>
/>
Откуда:
/>
Найдём значение С2
/>
Следовательно:/>
Ответ: />
Задача 7. Найти общийинтеграл дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>
— дифференциальноеуравнение в полных дифференциалах
/>
/>
Следовательно, леваячасть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции />
/> (*)
Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этомсчитаем, что С является функцией от y:
/>
Дифференцируя полученное,имеем:
/>
Но />
Откуда:
/>
/>
/>
Следовательно:
/>
Ответ:
/>
Задача 8. Для данногодифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую,проходящую через точку М.
/>
Решение:
Чтобы решить данноедифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать наних угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом,чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:
/>
Откуда />
/>
В результате получимследующий график:
/>
Задача 9. Найти линию,проходящую через точку М0и обладающую тем свойством, что в любойточке М нормальный вектор /> сконцом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительнымнаправлением оси ординат. М0(6;4), a=10
Решение:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Подставляя значенияфункции в точке M найдём значение С:
/>
/>
Ответ: />
Задача 10. Найти общеерешение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/> - дифференциальное уравнениетретьего порядка
Пусть />
Подставив в исходноеуравнение, получим:
/>
/>
Проинтегрируем и поделимна х данное выражение:
/>
Следовательно: />
Разделяя переменные ивновь интегрируя, получим:
/>
Повторяем процедуру втретий раз и получаем искомое выражение для y
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 11. Найти общеерешение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
Данное уравнение несодержит х в явном виде
Предположим, что /> откуда />
Тогда исходное уравнениебудет выглядеть так:
/>
Разделим переменные и проинтегрируемвыражение:
/>
/>
Но/>. Тогда />
/>
Однако: />. Поэтому разделимпеременные и проинтегрируем выражение:
/>
/>
Выясним значение С2:
/>
Следовательно: />
Ответ: />
Задача 12. Найти общеерешение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/> - НЛДУ четвёртого порядка
Решение будет записано ввиде:
/> />
Запишем однородноелинейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):
/>
Составим и решим для ОЛДУхарактеристическое уравнение:
k4-3k3+3k2-k=0
k1=0
k3-3k2+3k-1=0
k2=1
по методу Горнера:
1 -3 3 -1
1 1 -2 1 0
k3-2k2+1=0
k3,4=1
Общее решение будетравно:
/>
Найдём частное решение:
/>
/>
/>
/>
6A-2Ax-B=2x
/>
/>
Откуда: />
Ответ: />
Задача 13. Найти общеерешение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/> - НЛДУ с постоянными коэффициентами
Составим ОЛДУ и решимсоответствующее характеристическое уравнение
/>
/>
/>
Решение НЛДУ запишется ввиде:/>
Общее решение:/>
Найдём частное решениедифференциального уравнения:
/>
/>
Подставим найдённое висходное уравнение и выразим коэффициенты
/>
/>
/> => />
Частное решение: />
Решение дифференциальногоуравнения:
/>
Ответ: />
Задача 14. Найти общеерешение дифференциального уравнения
/>
Решение:
/> - НЛДУ с постоянными коэффициентами
/> />
Общее решение
/>
Найдём частное решение: />
/>
/>
Подставим найдённое висходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:
/>
/>
/>
Частное решение уравнения:
/>
/>=/>/>
Ответ: />=/>/>
Задача 15. Найти общеерешение дифференциального уравнения: />
Решение:
По определениюгиперболического синуса:
/>
Найдём общее решение
/>
/>
/>
Найдём частное решение:
/>
/> />
/>
Подставив в исходныеуравнения, найдём значения коэффициентов:
/>
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 16. Решить задачуКоши:
/>, />,/>
Решение:
/> - НЛДУ
Общее решение запишем ввиде/>
/>
Запишем ОЛДУ и найдёмкорни его характеристического уравнения:
/>
/>
/>
Общее решение имеет вид: />
Найдём решение частное:
/>,
где С1 и С2–решения системы дифференциальных уравнений
/>
/>
/>
/>
По теореме Крамера:
/>
/>
Интегрируя выражения,получим:
/>
/>
/>
/>
/>
Следовательно, решениебудет выглядеть так:
/>
Найдём значения С1и С2
/>
/>
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 17. Решить системудифференциальных уравнений
/>
Решение:
Составим матрицу системы:
/>
Составимхарактеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Найдём собственныевекторы
1) />
/>
/>
/>
/>
/>
2) />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Запишем общее решениесистемы уравнений
/>
/>
/>
/>
/>
Отсюда получаем:
/>
Ответ: />
Задача 18. Найти кривые, укоторых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу,вдвое меньшую абсциссы точки касания.
Решение:
/>
/>
Но />
/>
/> => />
Разделим переменные:
/>
Проинтегрируем ипропотенцируем выражение:
/>
/>
Ответ: />