Реферат: Теория вероятностей и математическая статистика

Контрольная работа

по дисциплине

Теория вероятностей

Решение задач

Задание 1

Имеется четверо мужчини шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способамиэто можно сделать?

Решение:

A(4;6) = 6!/2! =3*4*5*6 = 360

Ответ: 360 способов

Задание 2

В ожесточенном бою неменее 70% бойцов потеряли один глаз, не менее 75% — одно ухо, не менее 80% — одну руку, не менее 85% — одну ногу. Какое минимальное число потерявшиходновременно глаз, ухо, руку, ногу?

Решение: Я решиладанную задачу двумя способами.

1. Т(Ч+Н)=Т(Ч)+Т(Н)-Т(ЧН)б

где X+Y означаетобъединение множеств X и Y, XY — пересечение, функция N — число элементовмножества. Обозначим через A, B, C, D — множества бойцов, потерявших глаз, ухо,руку, ногу. В данном примере обозначим через N — процентное содержаниемножества.

Тогда

N(AB)=N(A)+N(B)-N(A+B)>=70+75-100=45

Аналогично

N(CD)=N(C)+N(D)-N(C+D)>=80+85-100=65.

Окончательно имеем

Т(ФИСВ)=Т(ФИ)+Т(СВ)-Т(ФИ+СВ)Ю=45+65-100=10ю

2. Всего100%. Минус 30% тех, кто имеет оба глаза, минус 25% оба уха, минус 20% обе рукии 15% обе ноги. 100-30-25-20-15 = 10 процентов минимум

Ответ: минимальноечисло потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногусоставляет 10 %.

Задание 3

Двое поочередно бросаютмонетку. Выиграет тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятностьвыигрыша для каждого игрока.

Решение:

A = {выиграл тот, ктоначал бросать монетку первым}

A = A1 + A2 + A3 +…A1 = {у первого игрока выпал герб}

A2 = {у первого игрокавыпала решка, у второго — решка, у первого — герб}

A3 = {у первого игрокавыпала решка, у второго — решка, у первого — решка, у второго — решка, упервого — герб} и так далее

P(A1)= 1/2 P(A2) = (1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4) P(A3) =

(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)= (1/2)*(1/4)*(1/4) = (1/2)*((1/4)^2)

итакдалее

P(A)= P(A1+A2+A3+...) = [события A1,A2, A3,… несовместны] =

P(A1)+ +P(A2)+ P(A3)+… = (1/2) + (1/2)*(1/4) + (1/2)*((1/4)^2) +… =

[сумма геометрическойпрогрессии] = (1/2)/(1 — 1/4) = (1/2)/(3/4) = 2/3

P(A) = 2/3 B = {выигралтот, кто начал бросать монетку вторым} B = не

A P(B) = P(не A) = 1 — P(A) = 1 — 2/3 = 1/3

Ответ: для первого 2/3,для второго 1/3.

Задание 4

В кошельке лежат 8монет достоинством по 5 копеек и 2 монеты достоинством в 3 копейки. Наудачувыбирается монета и бросается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме будет15 очков, если «герб» принимается за «0»?

Решение:

H1 = {монета в 5копеек} H2 = {монета в 3 копейки} P(H1) = 8/10 = 0.8 P(H2) = 2/10 = 0.2 A = {всумме будет 15 очков при 5 бросаниях} A

H1 = {в сумме будет 15очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 5 копеек} = {при 5 бросаниях 3решки и 2 герба} A

H2 = {в сумме будет 15очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 3 копейки} = {при 5 бросаниях 5решек} n = 5 p = 1/2 — вероятность выпадения решки q = 1 — p = 1/2 m — количество бросаний, при которых выпадет решка P(A

Р1 = З(ь=3) = С(3ж5)*((1.2):3)*((1.2):2)= 10*(1.8)*(1.4) = 10.32 =0ю3125 З(Ф/Р2) = З(ь=5) = (1.2):5 = 1.32 = 0.03125 Поформуле полной вероятности З(Ф) = З(Р1)З(Ф/Р1) + З(Р2)З(Ф/Р2) = (0ю8)*(0ю3125)+ (0ю2)*(0ю03125) = 0ю25+ +0ю00625 = 0ю25625

Ответ: если бросаетсямонета в 5 копеек 0.3125

если бросается монета в3 копейки 0.03125

полная вероятность0.25625

Задание 5

Для лица, дожившего до20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006.Застрахована группа в 15000 человек 20-летнего возраста, причем каждыйзастрахованный внес по 20 у.е. Какую максимальную выплату наследникам следуетустановить, чтобы вероятность того, что к концу года страховое учреждениеокажется в убытке, была не больше 0,0228?

Решение: Пустьслучайная величина X — число страховых случаев за год. Xi — страховой случайдля i-того клиента,

i = 1… 15000 Xi ={1, если страховой случай для i-того клиента произошел

{0, иначе Случайнаявеличина Xi имеет распределение Бернулли при p = 0.006 M(Xi) = p = 0.006 D(Xi)= p(1-p) = (0.006)*(1 — 0.006) = (0.006)*(0.994) = 0.005964 X =sum_{i=1}^{15000} Xi M(X) = M(sum_{i=1}^{15000} Xi) = sum_{i=1}^{15000}M(Xi)=sum_{i=1}^{15000} 0.006 = (0.006)*(15000) = 90 D(X) = D(sum_{i=1}^{15000}Xi) = [события Xi независимы] = sum_{i=1}^{15000} D(Xi) = sum_{i=1}^{15000}0.005964 = =(0.005964)*(15000) = 89.46 Пусть m — выплата за страховой случайДоход страховой компании равен D = 15000*20 — mX = 300000 — mX Необходимо найтиm такое, что P(D <= 0) <= 0.0228 P(D <= 0) = P(300000 — mX <= 0) = P(mX>= 300000) = P(X > 300000/m) = = P((X-M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m — M(X))/sqrt(D(X))) = = P((X — M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m — 90)/sqrt(89.46))~ ~ [по центральной предельной теореме] ~

~ 0.5 — Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46))) P(D <= 0) <= 0.0228 0.5 — Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46)))<= 0.0228 Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46))) >= 0.4772 (300000/m — 90)/sqrt(89.46) >= 2 300000/m >= 108.9166593… m <= 2754.399574…m(max) = 2754

Ответ: максимальнаявыплата 2754 у.е.