Реферат: Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Курсова робота
Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Введення
Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор — груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.
У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.
Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою й всі групи, ізоморфні .
Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою ( — підгрупою).
Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:
1) кожна фактор — група будь — якої групи з також належить ;
2) із завжди треба .
Якщо формації й такі, що , то називається підформацією формації .
По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх — груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх — груп (– фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних — груп, клас всіх розв'язних груп, клас всіх розв'язних — груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.
Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої множини формацій також є формацією;
2) якщо – деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання є формацією.
Доказ здійснюється перевіркою.
Визначення 1.3. Нехай – непуста формація. Позначимо через і — корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з , для яких .
Очевидно, — корадикал будь — якої групи є характеристичною підгрупою. — корадикал групи позначають інакше через і називають — корадикалом. — корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, — розв'язний корадикал, — корадикал і т.д. — корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, — корадикал зберігається при гомоморфізмах.
Лема 1.2. Нехай – непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:
1)
2) якщо те
3) якщо й , те
Доказ. Нехай . Тоді
Звідси треба, що . З іншого боку,
звідки одержуємо . З і треба рівність . Твердження 1) доведено.
Нехай – природний гомоморфізм групи на Очевидно,
звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.
Визначення 1.4. Нехай і – деякі формації. Якщо , то покладемо Якщо , те позначимо через клас всіх тих груп , для яких Клас називається добутком формацій і .
З визначення 1.4 треба, що добуток формацій є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій причому добуток уже визначений, то Зокрема, якщо для будь — якого те ми приходимо до поняття ступеня
Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.
Теорема 1.1. Добуток будь — яких двох формацій також є формацією.
Лема 1.3. Нехай і – нормальні підгрупи групи . Тоді кожний головний фактор групи — ізоморфний або деякому головному фактору групи , або деякому головному фактору групи
Доказ випливає з розгляду — ізоморфізму
Теорема 1.2. Нехай – деяка формація, – клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай – об'єднання формацій Тоді – підформація формації
Доказ. З леми 1.3 виводимо, що – формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо – мінімальна нормальна підгрупа групи , то по індукції для деякого натурального . Але тоді або , або – — корадикал групи . Тому що , те звідси випливає, що , і теорема доведена.
Операції на класах груп
Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.
Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції , застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Добуток операцій визначається рівностями:
Уведемо операції в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли вкладається як підгрупа в якусь — групу;
тоді й тільки тоді, коли вкладається як нормальна підгрупа в якусь — групу;
тоді й тільки тоді, коли є гомоморфним образом якоїсь — групи;
тоді й тільки тоді, коли співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних — підгруп;
тоді й тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що
тоді й тільки тоді, коли є розширенням — групи за допомогою — групи;
тоді й тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що
Якщо , то замість пишуть Оборотний увага на той факт, що якщо – нормальні підгрупи групи , причому для кожного , то Помітимо ще, що операцію можна визначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа прямого добутку називається підпрямим добутком груп якщо проекція на збігається з Легко бачити, що тоді й тільки тоді, коли є добуток деякого кінцевого числа — груп.
Визначення 2.2. Клас називається замкнутим щодо операції або, більш коротко, — замкнутим, якщо
Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно — замкнуть і — замкнуть. — замкнутий клас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. — замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він — замкнутий (відповідно — замкнуть).
Лема 2.1. . Якщо клас груп містить одиничну групу й — замкнуть, то
Доказ. Щодо операцій і твердження очевидно. Нехай – довільний клас груп. Ясно, що Якщо , те в найдеться нормальна підгрупа така, що . Група має нормальну підгрупу таку, що й Але тоді Тому що , те, а виходить, Таким чином, , що й потрібно.
Нехай . Якщо , то має нормальну — підгрупу таку, що Група має нормальну — підгрупу таку, що . Тому що й , те з — замкнутості класу треба, що . Виходить, , тобто . Зворотне включення очевидно.
Лема 2.2. Для будь — якого класу справедливо наступне твердження:
Доказ. Якщо , то Нехай Якщо , те, а виходить, . Таким чином, . Нехай . Тоді має такі нормальні підгрупи , що Група має такі нормальні підгрупи , що Тому що , те, що й доводить рівність
Лема 2.3. Для будь — якого класу має місце включення
Доказ. Якщо , то . Нехай і група є підпрямим добутком груп , де . Розглянемо функцію . Функція є гомоморфізмом групи в групу . Ясно, що
є добуток груп , причому . Отже, , і лема доведена.
Лема 2.4.
У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.
Визначення 2.3. Клас груп називається класом Фиттинга, якщо він одночасно — замкнутий і — замкнуть.
Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор — група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.
Визначення 2.4. Нехай непустий — замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через і назвемо — радикалом групи добуток всіх її нормальних — підгруп.
Класи є радикальними. — радикал групи – це її підгрупа Фиттинга — радикал позначають інакше через і називають — радикалом. — радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни — нильпотентний радикал, — замкнутий радикал і т.д. Клас усіх — нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним; – це — нильпотентний радикал групи .
Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій
Теорема 2.1. Нехай і – формації, причому або , або замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді – формація, що збігається з добутком
Визначення 2.5. Нехай – деяка множина груп. Нехай – перетинання всіх тих формацій, які містять клас називається формацією, породженої множиною груп
Помітимо, що операцію часто позначають інакше через Якщо те пишуть замість , причому в цьому випадку називають формацією, породженою групою .
Теорема 2.2. Для будь — якого класу має місце рівність:
Доказ. Якщо , те, і твердження вірно. Нехай . Тому що , те клас є — замкнутим. є клас і по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо
Останнє означає — замкнутість класу . Отже, – формація, що містить , тому що . Виходить, . Зворотне включення очевидно.
Лема 2.5. Для будь — яких елементів групи виконуються рівності Якщо – підгрупи групи , то виконуються наступні твердження:
1)
2) для будь — якого гомоморфізму групи ; зокрема, якщо група з нормалізує й , те нормалізує й
Лема 2.6 Нехай – підгрупа нильпотентної групи , причому . Тоді
Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь — якому натуральному виконується включення:
При це вірно, тому що , а виходить, . Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь . Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо
Тим самим (*) доведено.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо – така підгрупа групи , що , то
Доказ. Нехай – нильпотентна нормальна підгрупа групи , а – така підгрупа з , що . Доведемо індукцією по , що . Це вірно, якщо . Тому будемо вважати, що . Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку
Очевидно, підгрупа нормалізує й . Позначимо через підгрупу групи , породжену підгрупами . Оскільки проекції на множники прямого добутку рівні , те . Помітимо ще, що , де нормально в і нильпотентна як добуток з .
Нехай – центр підгрупи , . Легко бачити, що , причому й ; аналогічно, і . Але тоді , абелева й нормальна в. Якщо , те, де , і якщо , те, що тягне . Отже, . Якщо абелева, те, і ми маємо
Припустимо тепер, що . Ясно, що . Тому що
те нильпотентна щабля . Тому що , те ізоморфна й має щабель , а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання в має щабель . Тому що нормалізує й , те нормальна в. Отже, , причому . По індукції
Для групи і її нильпотентної нормальної підгрупи щабля теорема також вірна по індукції. Тому
Теорема доведена.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.
Доказ. Нехай – підформація формації . Якщо , то по теоремі 2.3 має місце , що й потрібно.
Екрани
Недоліком поняття групової функції є те, що не завжди ущільнення — центрального ряду нормальними підгрупами є — центральним рядом.
Визначення 3.1. Відображення класу всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь — якої групи виконуються наступні умови:
1) – формація;
2) для будь — якого гомоморфізму групи ;
3) .
З умови 2) випливає, що екран приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо – екран, те кожний f — центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f — центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f — центральними рядами, співпадає з формацією .
Лема 3.1. Нехай – екран, – група операторів групи , – деяка нормальна — припустима підгрупа з . Якщо володіє нормальним — припустимим рядом, фактори якого — центральні відносно , то один з таких рядів проходить через .
Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:
Нехай . Тоді ряд
буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й — ізоморфизми:
Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої непустої множини екранів також є екраном;
2) об'єднання будь — якого непустого ланцюга екранів також є екраном.
Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь — якої групи множина формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання є формацією. Тим самим лема доведена.
Визначення 3.2. Екран назвемо:
1) p — однорідним, якщо він p — постійний і для будь — якої групи і її силовської p – підгрупи має місце ;
2) однорідним, якщо він p — однорідний для будь — якого простого p;
3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;
4) композиційним, якщо для будь — якої групи має місце , де пробігає всі фактори групи
5) порожнім, якщо для будь — якої неодиничної групи ;
6) — екраном, якщо для будь — якої групи .
— екран при будемо називати одиничним екраном.
Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожний композиційний екран є примарно постійним.
Приклад 3.1. Нехай і – непусті формації, причому , а групова функція така, що для кожної групи й для будь — який групи . Тоді – однорідний екран, що не є ні локальним, ні композиційним.
Приклад 3.2. Нехай – непуста формація, а групова функція така, що для будь — який групи виконуються умови:
1) , якщо не має абелевих композиційних факторів;
2) , якщо має хоча б один абелев композиційний фактор.
Тоді – композиційний екран, що не є однорідним.
Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран , досить кожному простому числу поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь — якої групи покласти , де пробігає .
Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран , потрібно кожній простій групі поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь — якої групи покласти , де пробігає всі композиційні фактори групи .
Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь — якої непустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;
2) перетинання будь — якої непустої множини локальних екранів знову є локальним екраном;
3) перетинання будь — якої непустої множини композиційних екранів знову є композиційним екраном.
Доказ. Нехай екран є перетинанням множини екранів . Припустимо, що всі екрани є локальними, тобто для будь — яких і має місце рівність:
де пробігає всі підгрупи групи . Тоді
а виходить, – локальний екран.
Лема 3.4. Об'єднання будь — якого непустого ланцюга примарно постійних екранів є примарно постійним екраном.
Доказ. Нехай – деякий ланцюг екранів, – її об'єднання, . По лемі 3.3 функція є екраном, причому ясно, що постійність тягне постійність екрана . Припустимо, що все є однорідними екранами. Тоді, якщо – будь — яка група й , те . Отже,
що й доводить однорідність екрана .
Екрани формацій
Кожної групової функції відповідає формація .
Лема 3.5. є непустою формацією для будь — якої групової функції .
Визначення 3.3. Нехай – деяка формація. Якщо – такий екран, що , то формація називається східчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що
– екран формації ,
має екран ,
екран визначає формацію ,
визначається екраном .
Формація має одиничний екран. Одинична формація має порожній екран.
Визначення 3.4. Екран назвемо внутрішнім, якщо – внутрішня групова функція, тобто для будь — якої неодиничної групи .
Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.
Доказ. Нехай – екран формації . Визначимо функцію в такий спосіб: для будь — якої групи . Легко бачити, що – екран, причому . Якщо й – головний фактор групи , то . Тому що клас — замкнуть, те, а виходить, — центральний Таким чином, . Отже, , тобто – шуканий внутрішній екран.
Лема 3.7. Нехай – екран формації . Тоді є екраном формації .
Доказ. Нехай – довільний головний фактор групи . Нехай . Тому що , те . Виходить, , тобто — в. Звідси треба, що .
Обернено, якщо , те головний ряд групи буде — центральним для будь — якого , тобто . Отже, .
Лема 3.8. Перетинання будь — якої непустої множини екранів формації знову є екраном формації . Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, те – внутрішній екран.
Доказ. Те, що – екран формації , безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран . Тоді для будь — якої групи . Виходить, – внутрішній екран.
Формація з однорідним екраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.
Доказ. Нехай формація має однорідний екран. Через лему 3.6 формація має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , що задовольняє наступній умові: для будь — якого простого . Тоді й, отже, . Припустимо, що формація має групи, що не входять в , і виберемо серед всіх таких груп групу , що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи . Тому що , те для кожного має місце
Якщо неабелева, то й . Якщо ж – — група, то виходить, що — центральна в. А це суперечить тому, що . Теорема доведена.
Локальна формація
Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.
Визначення 4.1. Формація називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.
Визначення 4.2. Нехай – внутрішній локальний екран формації , що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .
Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , причому задовольняє наступній умові: для будь — якого простого числа p.
Визначення 4.3. Нехай – локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації назвемо мінімальним локальним екраном формації .
Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.
Доказ. Нехай – множина всіх локальних екранів формації , причому . Позначимо через перетинання множини екранів . У множині є внутрішній екран, тому – внутрішній екран формації . По лемі 3.4 екран є локальним. Через лему 3.8 – шуканий екран.
Побудова локальних формацій
1. Формація всіх груп. Формація має локальний екран таким, що для будь — якого простого .
2. Формація одиничних груп. Формація має порожній екран, що, мабуть, локальний.
3. Формація нильпотентних — груп. Нехай – формація всіх нильпотентних — груп, – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, – мінімальний локальний екран формації .
4. Формація — груп. Нехай – формація всіх — груп, – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, –локальний екран формації .
5. Формація — нильпотентних груп. Нехай – формація всіх — нильпотентних груп (– фіксоване простої число), – такий локальний екран, що для будь — якого простого числа , відмінного від . Покажемо, що – екран формації . Головний ряд — нильпотентної групи — центральний. Нехай . Потрібно встановити, що — нильпотентна. Нехай – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції — нильпотентна. Якщо – — група, то звідси треба, що й — нильпотентна. Якщо ж — група, те, тобто . Якщо тепер – — підгрупа з , то через підгрупа — нильпотентна, а виходить, і — нильпотентна. Тим самим показано, що .
Теорема 5.1. У кожній — групі підгрупа збігається з перетинанням у всіх головних — факторів групи .
Наслідок 5.1.1. У будь — якій групі підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням у всіх головних факторів групи .
Наслідок 5.1.2. Для кожної — розв'язної групи має місце включення .
Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). для будь — якої розв'язної групи .
Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант — групи — нильпотентний.
6. Формація — замкнутих груп. Нехай – формація всіх — замкнутих груп (– деяка фіксована множина простих чисел), – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Покажемо, що – екран формації .
Очевидно, . Припустимо, що клас не порожній, і виберемо в ньому групу найменшого порядку. Тоді має єдину мінімальну нормальну підгрупу , причому не є — групою. Нехай . Тому що , те, а виходить, . Тому – абелева — група. Тому що — замкнута, те й — замкнута, тобто має нормальну — підгрупу . Ясно, що . Тому що , те . Легко бачити, що , а виходить, і група — замкнута. Тим самим показано, що .
7. Формація — дисперсивних груп. Нехай – деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел, – формація всіх — дисперсивних груп. Покажемо, що локально.
Розглянемо всілякі множини простих чисел, що володіють наступною властивістю: для всіх . Нехай – формація всіх — замкнутих груп. Очевидно, . Тому що формації локальні, то по лемі 3.4 формація також є локальною.
8. Формація — розв'язних груп. Нехай – формація всіх — розв'язних груп, – такий локальний екран, що для будь — якого простого . Неважко помітити, що – максимальний внутрішній локальний екран формації . Зокрема, формація є локальною.
9. Формація — груп. Нехай – формація всіх — груп. Позначимо через формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить . Побудуємо локальний екран такий, що для кожного для кожного . Покажемо, що . Ясно, що . Нехай , – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції . Якщо – — група, то — понад розв'язна. Нехай порядок ділиться на деяке число . Тоді, якщо , те
Звідси треба, що – — група.
Лема 5.1. Нехай – деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів — групи й . Тоді – циклічна група порядку, що ділить . Крім того, – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню .
Доказ. Будемо вважати, що – аддитивна абелева група. Тоді можна розглядати як правий векторний простір розмірності над полем з елементів. Нехай – комутативне підкольцо кільця , породжене елементами й . Через умову є правим — модулем (визначення, пов'язані з — модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура, – тіло. Тому що комутативне, те . Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому – поле. Тому що — модуль не приводимо, те для будь — якого ненульового ; але тоді відображення , є — гомоморфізмом — модуля на . Тому що ядро є ідеал поля , те – ізоморфізм. Отже, . Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому циклічна й ділить .
Нехай – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню . Тоді ділить . Добре відомо, що поле порядку містить порядку . Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й ділить, то . Але тоді й . Лема доведена.
10. Формація . Нехай – непуста формація, – такий локальний екран, що для будь — якого простого . Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що – екран формації . Зокрема, формації і є локальними формаціями.
Нехай – локальний екран деякої підформації з . Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що є локальним — екраном формації . Таким чином, кожна локальна підформація формації має внутрішній локальний — екран. Зокрема, будь — яка локальна підформація формації має внутрішній локальний — екран.
Локальні формації із заданими властивостями
Нехай – деяка операція, – локальний екран формації . Природно виникають два питання:
1) чи Буде — замкнутої, якщо — замкнута для будь — якого простого ?
2) чи Буде — замкнутої для будь — якого простого , якщо — замкнута?
Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.
Теорема Слепова 1 Нехай – деякий клас груп, – максимальний внутрішній локальний екран формації , – фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:
1) якщо , те ;
2) якщо , те .
Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай – одна з операцій , . Припустимо, що . Нехай – (нормальна) підгрупа групи й . Розглянемо регулярне сплетення , де , – елементарна абелева — група. По лемі 3.11. Тому що , те . Розглянемо головний ряд групи :
Нехай . Тому що й , те
для кожного . Отже, , де . По властивості регулярного сплетення . Отже, , і по лемі 3.10 підгрупа є — групою. Тому що й формація є по теоремі 3.3 — замкнутої, то ми одержуємо, що . Теорема доведена.
Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація — замкнута ( — замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого формація — замкнута (відповідно — замкнута).
Доказ. Необхідність. Припустимо, що — замкнуто ( — замкнута). Думаючи й застосовуючи теорему, ми одержуємо, що — замкнуто ( — замкнута) для будь — якого простого .
Достатність. Нехай для будь — якого простого формація є — замкнутою ( — замкнутої). Нехай – підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи . Покажемо, що . Тому що , те володіє — центральним головним рядом
Нехай . Тому що
те, де . Нехай . За умовою й . Звідси, через , випливає, що . Тим самим установлено, що ряд
є — центральним рядом групи . Теорема доведена.
Для будь — якого натурального числа — замкнутий клас містить, по визначенню, кожну групу , у вигляді добутку нормальних — підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.
Визначення. Клас груп назвемо слабко — замкнутим, , якщо містить усяку групу , що має нормальних — підгруп з попарно взаємно простими індексами.
Легко помітити, що якщо й – підгрупи групи причому й взаємно прості, те .
Теорема Слепова 3 Нехай – локальний екран формації й нехай для деякого натурального числа виконується наступна умова: для будь — якого простого формація або збігається з , або входить в і є слабко — замкнутою. Тоді слабко — замкнута.
Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в , але нормальних — підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу найменшого порядку. Таким чином, не належить , але має нормальні — підгрупи з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи неодиничні.
Нехай – мінімальна нормальна підгрупа групи . У підгрупи мають попарно взаємно прості індекси й належать . Тому що для теорема вірна, те . Ясно, що – єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , причому й для кожного . Через теорему 4.3. Тому що , те найдеться таке , що . Розглянемо , де пробігає все — головні фактори групи . Тому що , те, . Можливі два випадки.
Випадок 1. Нехай . Тоді неабелева й . Звідси й з одиничності випливає, що . Але тоді й, отже, можна розглядати як деяку групу групи , що діє тотожно на всіх — головних факторах групи . По добре відомій теоремі Ф. Холу нильпотентна. Тому що до того ж нормальна в , те . Але тоді для будь — якого , а тому що формація слабко — замкнута за умовою, те . Але тоді , тому що й за умовою . Одержали протиріччя.
Випадок 2. Нехай . Тоді входить в і є — групою. Тому що , те абелева. Нехай – максимальна підгрупа групи , не утримуюча . Тоді , , , . Звідси, через одиничність , містимо, що , a виходить, . По лемі 3.10 є — групою. Але тоді і є — групою, причому . Ми одержуємо, таким чином, що для кожного . Але тоді , тому що слабко — замкнута. Останнє означає, що — центральна в , що суперечить рівності . Знову одержали протиріччя.
Теорема доведена.
Наслідок 4 Нехай група має дві нормальні — понад розв'язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді — понадрозв'язна.
Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми при .
Наслідок 5 Нехай група має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді понад розв'язна .
Теорема Слепова 6 Нехай формація має такий локальний екран , що для будь — якого простого формація або збігається з , або входить в і є — замкнутою. Тоді — замкнута.
Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми .
Теорема Слепова 7 Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація — замкнута (слабко — замкнута, ) тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого формація — замкнута (відповідно слабко — замкнута).
Доказ. Достатність випливає з теорем і. Нехай — замкнута (слабко — замкнута, ). Нехай , де – нормальні — підгрупи (нормальні — підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що , те . Покажемо, що .
Нехай , де , – елементарна абелева — група. для кожного . Тому що — замкнута (слабко — замкнута), те звідси випливає, що . Якщо – перетинання в усіх — головних факторів групи , то
Тому що , те по лемі 3.10 підгрупа є — групою. Але тоді , тому що по теоремі 3.3 має місце рівність .
Теорема доведена.
Лема Чунихина 8 Нехай , , . Тоді . Зокрема, якщо й , те непроста.
Доказ. З рівності треба, що
Отже, . Звідси, через для кожного , одержуємо . Лема доведена.
Теорема Виландт 9 Група розв'язна, якщо вона має три розв'язні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.
Доказ. Нехай група має розв'язні підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді . Нехай – мінімальна нормальна підгрупа з . Тому що розв'язно, те, – простої число. Через умову теореми, не ділить одночасно й . Нехай, для визначеності, не ділить . Це значить, що силовська — підгрупа з є силовською — підгрупою групи . Через теорему Силова , де . Тому що й , те по лемі . Таким чином, – неодинична розв'язна нормальна підгрупа групи . У фактор — групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. По індукції розв'язна, але тоді й розв'язна. Теорема доведена.
Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.
Визначення. Клас груп називається — замкнутим (– натуральне число), якщо містить усяку групу , що має — підгруп, індекси яких у при попарно взаємно прості.
По визначенню, порожня формація — замкнута для кожного . Єдиної — замкнутою непустою формацією, відмінної від , умовимося вважати .
Лема 10 Нехай і – — замкнуті класи груп. Тоді також — замкнуть.
Доказ очевидно.
Наступна лема доведена Крамером.
Лема 11 Нехай формація втримується в і — замкнута, . Тоді формація є — замкнутою.
Доказ. Нехай група має — підгрупи , ,…,,індекси яких у попарно взаємно прості. Тому що , те по теоремі група розв'язна. При будь — якому гомоморфізмі групи образи підгрупи належать і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що — корадикал групи є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що є — групою для якогось . Підгрупа Фиттинга групи також є — групою. Індекс будь — якої підгрупи, що не містить , ділиться на . Тому втримується принаймні в підгрупах нашої системи підгруп . Будемо вважати, що , . Тому що є — групою, те й , . Звідси й з наслідку випливає, що , . Тому що , те ми одержуємо, що , . Скориставшись — замкнутістю формації , ми приходимо до того, що .
Лема доведена.
Теорема Крамер 12 Нехай – такий локальний — екран формації , що для будь — якого простого формація — замкнута, . Тоді — замкнута.
Доказ. Тому що – — екран, то для будь — якого простого , а виходить, . Нехай . Через лему 4.5. Якщо , те й — замкнута; якщо ж , те по лемі формація — замкнута. У кожному разі — замкнута. По лемі — замкнута. Застосовуючи лему, ми бачимо, що й формація — замкнута. Теорема доведена.
Тому що формація має одиничний екран, що задовольняє умові теореми при , те ми одержуємо
Наслідок Кегель 13 Група нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.
Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.
Лема 14 Клас усіх — замкнутих груп — замкнуть.
Доказ таке ж, як і в теореми .
Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є — замкнутою.
Доказ. Нехай – деяка формація нильпотентних груп. Нехай група має — підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку група нильпотентна. Якщо – найвищий ступінь простого числа , що ділить , то ділить для деякого , тому що не може ділити одночасно індекси всіх підгруп , і . Якщо ділить, то силовська — підгрупа із входить в і є силовскою — підгрупою групи . Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи є — групами. Тому що – формація, те звідси треба, що .
Лема доведена.
Лема 16 Нехай – якийсь — замкнутий гомоморф — замкнутих груп. Тоді клас — замкнуть.
Доказ. Нехай група має — підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. По лемі має нормальну силовску — підгрупу . Оскільки є силовскої — підгрупою в і – гомоморф, те . У групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. Тому через — замкнутість маємо . Лема доведена.
Лема 17 Для будь — якого простого й будь — якої формації нильпотентних груп клас є — замкнутою формацією.
Доказ. По лемі клас — замкнуть. По лемі клас — замкнуть і по теоремі 1.1 є формацією.
Теорема 18 Нехай – локальна підформація формації , – максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо для будь — якого простого формація — замкнута, , то — замкнута.
Доказ. Нехай . Через теорему 3.3 і леми 4.5, . Формація — замкнута. По лемі формація — замкнута. Теорема доведена.
Теорема Крамер 19 Будь — яка локальна підформація формації є — замкнутою.
Доказ. Нехай – локальна підформація формації . має внутрішній локальний — екран . Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Тоді по теоремі 3.3 для будь — якого простого має місце рівність . Тому що , те по лемі формація — замкнута. Тоді по теоремі формація — замкнута. Теорема доведена.
Наслідок Дрк 20 Нехай група має чотири підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.
Висновок
У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добутку формацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана, радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцеві розв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальної формації формації всіх груп з нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.
Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все — таки достаток отриманих результатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальних методів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца, викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку — теорії формацій.
Література
1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003
2 Кертис Ч., Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006
3 Чунихин С.А. О — властивості кінцевих груп. –К., 2001
4 Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002