Реферат: Типовой расчет

1. Бросаются 2 кости.Определить вероятность того, что на верхних гранях:

а) сумма очков не превосходит 12; б)произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делитсяна 12.

+ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

а).Пусть событие А –сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12, то есть указаннаясумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощьюклассического определения вероятности:

/> ,

где: m– число исходов, благоприятствующих появлению события А, n– общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможныхэлементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицынесложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n= 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:

m= 36. В результате получаем

Таким образом, искомаявероятность равна 1 .

б) Пусть событие В –произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.

× 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36

Вероятность события Внаходим с помощью классического определения вероятности:

/> ,

где: m– число исходов, благоприятствующих появлению события В, n– общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможныхэлементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицынесложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n= 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m= 23. В результате получаем:

Таким образом, искомаявероятность равна 0,6389.

в) Пусть событие С –произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.

Вероятность события Снаходим с помощью классического определения вероятности:

/> ,

где: m– число исходов, благоприятствующих появлению события В, n– общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей,полученной в пункте б).

Тогда из таблицынесложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n= 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m= 7. В результате получаем:

Таким образом, искомаявероятность равна 0,1944.

Ответ: а) 1; б) 0,6389,в) 0,1944.

2. Имеются nизделий 4-х сортов, причём />,где i= 1, 2, 3, 4. Дляконтроля берутся m изделий, где />. Определить вероятностьтого, что среди m изделий m1– первого сорта, m2– второго сорта, m3– третьего сорта, m4– четвёртого сорта

Дано: n1= 3, n2= 3, n3= 4, n4= 2, m1= 2, m2 = 1, m3= 2, m4= 2.

Решение.

Пусть событие А – средиm изделий 2 изделия – первого сорта,2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртогосорта.

Вероятность события Анаходим с помощью классического определения вероятности:

/> ,

где: m– число исходов, благоприятствующих появлению события А, n– общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m– число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первогосорта можно выбрать из 3 изделий /> способами,1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий /> способами,2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий /> способами,2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий /> способами. Воспользуемсятеоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Аравно:

Находим n– общее число равновозможных исходов испытания.

/>(2+1+2+2)=7изделий из /> изделий можно выбрать /> способами, то есть: />

Отсюда, искомаявероятность равна:

Ответ: Р(А) = 0,0795.

3. Среди nлотерейных билетов k выигрышных.Наудачу взяли m билетов. Определитьвероятность того, что среди mбилетов l выигрышных.

Дано: n= 10, l = 5, m=7, k = 7.

Решение.

Пусть событие А — среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощьюклассического определения вероятности:

/> ,

Находим m.Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать /> способами,а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать /> способами. Тогда числоисходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения,будет равно:

m= />×/>=/>

Находим n.. Из 10 билетов 7 билета можно выбрать /> способами,тогда

n= />

Отсюда, искомаявероятность равна:

Ответ: Р(А) = 0,525.

4. В лифт k-этажногодома сели n пассажиров (n< k). Каждый независимо отдругих с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго)этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) покрайней мере двое сошли на одном этаже.

Дано: k= 7, n = 4.

Решение.

а) Событие А – всепассажиры вышли на разных этажах.

Событие А1 –первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие А2 –второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа,на котором вышел первый пассажир.

Событие А3 –третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первогои этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие А4 –четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первогои этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события Анаходим по теореме умножения, поскольку события А1, А2, А3,А4 являются зависимыми. Тогда:

где: />, />, />, />.

Отсюда:

/>.

б) Событие В – покрайней мере двое сошли на одном этаже.

Событие В1 –первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие В2 –второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого иэтажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие В3 –третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первогои этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие В4 –четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый,второй и третий пассажиры.

Вероятность события Внаходим по теореме умножения, поскольку события В1, В2, В3,В4 являются зависимыми. Тогда:

где: />, />, />, />.

Отсюда:

/>.

Ответ: а) 0,2778; б)0,2778.

5. В двух партиях К1 и К2% доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждойпартии Какова вероятность того, что среди двух изделий:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и однодоброкачественное.

Дано: К1 = 39%, К2= 78%.

Решение.

Обозначим события:

Событие А – из первойпартии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B- из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этихсобытий соответственно равны: р1 = 0,39 и р2 = 0,78.

а) Пусть событий С –среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотримпротивоположное событие /> - средидвух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные.Вероятность события /> находим,используя теорему умножения:

Р(/>) = р1 · р2= 0,39 · 0,78 = 0,3042

Отсюда, вероятностьискомого события Р(С) найдём по формуле:

Р(С) = 1 — Р(/>) = 1 – 0,3042 = 0,6958.

б) Пусть событий D– среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события Dнаходим, используя теорему умножения:

Р(D)= q1· q2= (1 — р1) · (1 — р2) = (1 — 0,39)·(1 — 0,78) = 0,1342.

в) Пусть событий Е — одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события:Событие /> - из первой партии вынулидоброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие /> - из первой партии вынулибракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:

Е = />+/>

или Р(Е) = Р(/>) + Р(/>)

Вероятность события Енаходим, используя теорему сложения и умножения:

Р(Е) = р1 · q2+ q1· р2 = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616

Ответ: а) 0,6958; б)0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель пораженапри одном выстреле: первым стрелком равна P1= 0,39, а вторым стрелком — P2= 0,45. Первый стрелок сделал n1= 3 выстрелов, а второй стрелок – n2= 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие А — цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок,сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие А1– первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие А2 -второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, чтопервый стрелок промахнется при одном выстреле равна:

q1=1 — p1 =1- 0,39 = 0,61,

а вероятность того, чтовторой стрелок промахнется при одном выстреле равна: q2=1 — p2 =1- 0,45=0,55.

Тогда вероятностьсобытий А1 и А2 находим по формуле Бернулли:

Тогда:

Тогда искомаявероятность события А, используя теорему умножения, равна:

Р(А) = Р(А1)×Р(А2)= 0,227 · 0,3025 = 0,0687.

Ответ: 0,0687.

7. Из /> ламп niпринадлежат i-йпартии (i = 1, 2, 3) бракованныелампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачувыбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Дано: n1= 620, n2= 190.

Решение.

Испытание состоит втом, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А — выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 –выбранная лампа принадлежит 1-й партии,

Событие Н2 –выбранная лампа принадлежит 2-й партии,

Событие Н3 –выбранная лампа принадлежит 3-й партии.

Вероятность события Анаходим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н1, Н2,Н3 с помощью классического определения вероятности:

/> ,

Для события Н1имеем: m1= 620 (количество ламп в первой партии), n=1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н1 равна:

Аналогично находимвероятности гипотез Н2 и Н3.

Для события Н2имеем: m2= 190, n =1000.

Для события Н3имеем: m3= 1000 — m1 –m2 =1000 – 620 –190 = 190, n=1000.

Контроль:

Находим условныевероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3соответственно наступили, то есть вероятности />,/> и />, по формуле:

где: ki– число процентов бракованных ламп в i-йпартии. Тогда

Подставляя найденныевероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

/> =

= 0,62 · 0,06 + 0,19 ·0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.

Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N1белых и M1чёрных шаров, во второй N2белых и M2чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урныизвлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урнышар – белый.

Дано: N1= 20, M1= 1, N2= 40, M2= 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит втом, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первойурны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А — выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 –из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ниодного чёрного;

Событие Н2 –из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный;Так как события Н1, Н2 образуют полную группу событий, исобытие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события Анаходим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н1, Н2с помощью классического определения вероятности:

/> ,

где: mi– число исходов, благоприятствующих появлению события Hi,n – общее число равновозможных исходовиспытания.

В первой урне находится(N1+ M1)= 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняетсячислу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть

n= />

Находим вероятность гипотезыН1. 15 белых шаров из 20 можно выбрать /> способами,а 0 чёрных из 1 — /> способами, тогдачисло исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используятеорему умножения, будет равно:

m= />×/>=/>

Отсюда, вероятностьсобытия Н1 равна:

Аналогично находимвероятности гипотез Н2.

Для события Н2имеем:

m2=/>×/>=/>

Отсюда, вероятностьсобытия Н2 равна:

Контроль:

Находим условныевероятности события А при условии, что события Н1, Н2соответственно наступили, то есть вероятности />,/> с помощью классическогоопределения вероятности:

/> ,

где: mi– число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, чтособытие Нi соответственнонаступило; n – общее числоравновозможных исходов испытания.

При наступлении событияН1 во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего вурне 62 шара, тогда для события A| Н1 имеем:

m1= 55,a n = 62,отсюда

При наступлении событияН2 во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всегов урне 62 шаров, тогда для события A| Н2 имеем:

m2= 54,a n = 62,отсюда

Таким образом,подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятностьсобытия А:

=0,2857×0,8871 +0,7143×0,871 = 0,8756

Ответ: Р(А) = 0,8756.

9. В альбоме kчистых и l гашеных марок. Из нихнаудачу извлекаются m марок (средикоторых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению ивозвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются nмарок. Определить вероятность того, что все nмарки — чистые.

Дано: k= 7, l = 5, m= 2, n = 2.

Решение.

Испытание состоит втом, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.

Пусть событие А — все 2марки — чистые.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 –из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;

Событие Н2 –из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;

Событие Н3 –из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.

Так как события Н1,Н2, Н3 образуют полную группу событий, и событие А можетпроизойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полнойвероятности:

Определяем вероятности гипотез Н1, Н2,Н3 с помощью классического определения вероятности:

/>,

Из альбома можно вынуть2 марки из (k + l)= (7 + 5) = 12 марок - /> способами,тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:

n= />

Находим вероятностьгипотезы Н1 2 чистые марки из 7 можно выбрать /> способами, а 0 гашенных из5 — /> способами, тогда числоисходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теоремуумножения, будет равно:

m= />×/>=/>

Отсюда, вероятностьсобытия Н1 равна:

Аналогично находимвероятности гипотез Н2 и Н3:

Для события Н2имеем:

m2=/>×/>=/>

Отсюда, вероятностьсобытия Н2 равна:

Для события Н3имеем:

m3=/>×/>=/>

Отсюда, вероятностьсобытия Н3 равна:

Контроль:

Находим условныевероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3соответственно наступили, то есть вероятности />,/> и /> с помощью классическогоопределения вероятности:

/> ,

При наступлении событияН1 в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всегов альбоме 12 марок, тогда для события A| Н1 имеем: m1= /> - число способов, которымиможно выбрать 2 чистых марки из 5. n= /> - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении событияН2 в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всегов альбоме 12 марок, тогда для события A| Н2 имеем: m2= /> - число способов, которымиможно выбрать 2 чистых марки из 6. n= /> - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении событияН3 в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всегов альбоме 12 марок, тогда для события A| Н3 имеем: m3= /> - число способов, которымиможно выбрать 2 чистых марки из 7. n= /> - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

Таким образом,подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятностьсобытия А:

= 0,3182 · 0,1515 +0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.

Ответ: Р(А) = 0,217.

10. В магазин поступают однотипныеизделия с 3-х заводов, причем i–йзавод поставляет mi<sub/>%изделий. Среди изделий i–гозавода ni% — первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найтивероятность того, что купленное изделие выпущено j-мзаводом?

Дано: m1=60%, m2=10%, m3=30%, n1= 80%, n2= 90%, n3= 80%, j = 3.

Решение.

Испытание состоит втом, что наудачу покупают одно изделие.

Рассмотрим событие А –изделие оказалось первосортным.

Рассмотрим гипотезы:

Событие H1– наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.

Событие H2– наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.

Событие H3– наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

По условию задачинеобходимо найти вероятность события Н3|А, то есть событиясостоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе,если известно, что она первосортное.

Так как события H1,H2и H3образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этихсобытий, то для нахождения вероятности события /> воспользуемсяформулой Байеса:

/> ,

где полная вероятностьсобытия А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н1, Н2,Н3 с помощью классического определения вероятности:

/>,

Для события Н1имеем: m1= 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n= 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н1равна:

Аналогично находимвероятности гипотез Н2 и Н3.

Для события Н2имеем: m2= 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n= 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н2равна:

Для события Н3имеем: m3= 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n= 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н3равна:

Контроль:

где: ki–число стандартных изделий, изготовленных на i– заводе, mi– общее число изделий, изготовленных на i– заводе. Тогда

Таким образом,подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятностьсобытия А:

/> =

= 0,6 × 0,8 + 0,1× 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.

Отсюда, по формулеБайеса получим: />.

Ответ: />.

11. Монета бросается до тех пор, покагерб не выпадет n раз. Определитьвероятность того, что решка выпадает mраз.

Дано: n= 5, m = 3.

Решение.

Испытание состоит вбросании монеты.

Вероятность выпадениярешки в каждом испытании постоянна: р = 0,5, а выпадения герба – q= 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всегомонета бросается (n + m)= 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схемеБернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:

Отсюда, искомая вероятностьравна:

Ответ: 0,2187.

12. На каждый лотерейный билет свероятностью р1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2– мелкий выигрыш, и с вероятностью р3 билет может оказаться безвыигрыша />. Куплено nбилетов.

Определить вероятностьполучения n1крупных выигрышей и n2мелких.

Дано: n= 14, n1= 2, n2= 4, р1 = 0,2, р2 = 0,2.

Решение.

Событие А – среди 14билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.

Рассмотрим события:

Событие А1 –выпал крупный выигрыш.

Событие А2 –выпал мелкий выигрыш.

Событие А3 –билет оказался без выигрыша.

Вероятности этихсобытий соответственно равны: р1 = 0,2, р2 = 0,2, р3= 1 — 0,2 – 0,2 = 0,6.

Вероятность события Анаходим по формуле полиномиального распределения вероятностей:

Отсюда:

Ответ: />.

13. Вероятность наступления некоторогособытия в каждом из n независимыхиспытаний равна р .

Определить вероятность того, что число mнаступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k1≤ m.

Дано:n= 100, p = 0,8, k1= 70.

Решение.

Воспользуемсяинтегральной теоремой Лапласа:

/>,

где: Ф(х) – функцияЛапласа,

/>,/>

По условию, n=100,p= 0,8, q= 1- p = 1- 0,8 = 0,2, k1= 70, k2= 100. Вычислим х` и x``:

/>/>, />/>

Учитывая, что функцияЛапласа нечетна, то есть Ф(-х) = — Ф(х), получим

По таблице приложения 2найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.

Искомая вероятностьравна:

Р100(/>) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.

Ответ: 0,9938.

14. Дана плотность распределения />случайной величины Х.

Найти параметр γ, функциюраспределения /> случайнойвеличины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x),вероятность выполнения неравенства -2< x< 0.

Решение.

Воспользуемся свойствомплотности распределения:

/>.

В данном случае:

/>,так как /> при />. Тогда:

То есть: />

Тогда получим двефункции плотности распределения:

Контроль:

Функцию распределения /> случайной непрерывнойвеличины Х найдём по формуле:

где: /> - функция плотностираспределения вероятностей на трёх интервалах.

1) При/> имеем:

2) При/> исходный интеграл разобьемна два интеграла: