Реферат: Производная, дифференциал и интеграл

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по высшей математике
Содержание:

1. Пределы последовательностей и функций. 2

2. Производная и дифференциал. 3

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления(построение графиков) 4

4. Неопределенный интеграл. 7

5. Определенный интеграл. 9

6. Функции нескольких переменных, дифференцированныхисчислений. 11

Литература. 12

1. Пределы последовательностей и функций

 

Числовой последовательностью /> называется числоваяфункция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовуюпоследовательность означает задать закон, по которому можно определить значениелюбого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этогодостаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности ввиде функции его номера: />.

В основе всех положений математического анализа лежитпонятие предела числовой последовательности. Число А называется пределомчисловой последовательности />, еслидля любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер />,зависящий от выбранного e, начиная скоторого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше,чем на e, т. е.

/>  при   />.

Если последовательность /> имеетпредел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этотфакт записывают следующим образом:

/>.

Пусть функция /> определена в некоторойокрестности точки />. Выберем внекоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность /> сходящуюся к точке />: />. Значения функции ввыбранных точках образуют последовательность />, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределомфункции /> в точке />, если для любой сходящейсяк /> последовательностизначений аргумента, отличных от />,соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А,т. е.

/>.

Возможно иное определение пределафункции в точке: число А называется пределом функции  при />, если для всякогоположительного числа e можно указатьдругое положительное число d (зависящееот выбора e) такое, что абсолютнаявеличина разности /> будет меньше e, когда абсолютная величина разности /> будет меньше />, но больше нуля

/>,  если   />   при   />.

Таким образом, первое определениепредела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и егоназывают определением на «языке последовательностей». Второе определениеносит название «на языке />».

Кроме понятия предела функции вточке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента кбесконечности: число А называется пределом функции /> при />, если для любого числа /> существует такое число d, что при всех /> справедливонеравенство />: />.

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать,что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке />, приводят к функциям,также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найтипредел функции       />

Решение: Имеем неопределенность вида />. Для ее раскрытия разложимчислитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель />, который при /> не равен нулю. Врезультате неопределенность будет раскрыта.

/>

2. Производная и дифференциал

Пусть функция /> определенав некоторой окрестности точки />.

Производной  функции /> вточке /> называется предел отношения />, когда /> (если этот пределсуществует). Производная функции /> в точке/> обозначается

/>.

Например, выражение /> следуетпонимать как производную функции /> в точке/>.

Определение производной можно записать в виде формулы

/>.                                 (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят,что функция /> не имеет производной вточке />. Если предел (4.1) равен />, то говорят, что функция /> имеет в точке /> бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических)производная функции /> интерпретируетсякак скорость изменения величины y относительно x.Геометрический смысл производной состоит в том, что /> – это тангенс угла наклонакасательной к графику /> в точке />.

Нахождение производной функции называется дифференцированиемэтой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, тофункция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычислениепроизводных одних функций к вычислению производных других (более простых)функций.

Если функции /> дифференцируемыв точке />, то сумма, разность,произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке />, и справедливы следующиеформулы

/>.

Если функция /> имеетобратную функцию /> и в точке /> производная />, то обратная функция /> дифференцируема в точке /> и />  или  />.

Если функция /> дифференцируемав точке /> и />, то сложная функция /> также дифференцируема в /> и верна следующая формула

/>   или   />.

Пример.

Найтипроизводную функции       />

Решение:

/>

3 Геометрические изложения и дифференцированныеисчисления (построение графиков)

Функция />,определенная во всех точках промежутка />,называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если длялюбых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из нихсоответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если/> то при

/> – возрастающая, /> – убывающая.

Изданного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргументаи функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: />. Для убывающей функции этиприращения имеют разные знаки, в силу чего />.Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших инаименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимумаи минимума (точками экстремума).

Точка /> называетсяточкой максимума (минимума) непрерывной функции />, а значение /> называется максимумом(минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки /> такая, что значениефункции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение всамой точке />, т. е. меньше (больше),чем максимум (минимум) /> (рис. 1).

/>/>у                               max                     у

 

min

f(х0)                                                     f(х0)

О   х0–d                    х         х0+d     х              О  х0–d       х                   х0+d х

точка максимума точка минимума

Рис.1

Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведениефункции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характерлокальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признакиэкстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, накоторые опираются все дальнейшие исследования функций.

Рекомендуется исследование функций проводить в определеннойпоследовательности.

1.Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальныеасимптоты графика.

2.Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции);точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения /> и />.

3.Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4.Использовать первую производную для определения области возрастания и убыванияи экстремумов функции.

5.Использовать вторую производную для определения участков выпуклости ивогнутости графика и точек перегиба.

6.Построить график функции с учетом проведенного исследования./>

 

Пример.Провести полное исследование функции

/>

Решение:

Проведемполное исследование функции, используя следующую схему:

найти область определения функции; исследовать на четность и нечетность функцию; найти точки разрыва функции; найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции; найти точки пересечения графика функции с координатными осями; исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум; определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба; при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках; построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

Областьюопределения функции является множество />.

Таккак /> и />, то функция не является ничетной, ни нечетной.

Функцияпретерпевает разрыв в точке />.

Найдемасимптоты графиков функции:

а).Прямая /> является вертикальнойасимптотой, т.к.

/>,              />

б).Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являютсячастным случаем наклонных асимптот) />,

где                  />;

/>

Такимобразом, прямая /> являетсяединственной наклонной асимптотой и на />,и на />.

Найдемточки пересечения графика функции с осями координат.

а) Сосью />: />, />, т.е. точка пересечения сосью /> - />.

б) Сосью />: />, />, т.е. точка пересечения сосью /> - />.

6.Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдемпроизводную функции.

/>

Из /> получаем />, откуда />, />.

+                                 _                                +

______________________________________   x

-3                                            11

Таккак на интервалах /> и /> производная положительна,т.е. />, то график функции науказанных интервалах возрастает. Так как на интервале /> производная отрицательна,т.е. />, то на указанном интервалеграфик функции убывает.

Таккак при переходе через точки />, /> производная функции меняетзнаки и эти точки входят в область определения функции, то />, /> - точки локальногоэкстремума. Причем />  точкалокального минимума: /> (так как припереходе через нее производная меняет знак с  "+" на "-"); /> - точка локальногомаксимума: /> (так как при переходечерез нее производная меняет знак с  "-" на "+").

7.Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба.Для этого найдем вторую производную функции.

/>

Очевидно,что в интервале /> втораяпроизводная меньше нуля, т.е. />, и вэтом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале /> вторая производная большенуля, т.е. />, и в этом интервале графикфункции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотряна то, что при переходе через точку /> втораяпроизводная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как /> не входит в областьопределения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точекперегиба у графика функции нет.

Из /> получаем />, откуда />, />.

+                                 _                                +

______________________________________   x

-3                                            11

Таккак на интервалах /> и /> производная положительна,т.е. />, то график функции науказанных интервалах возрастает. Так как на интервале /> производная отрицательна,т.е. />, то на указанном интервалеграфик функции убывает.

Таккак при переходе через точки />, /> производная функции меняетзнаки и эти точки входят в область определения функции, то />, /> - точки локальногоэкстремума. Причем />  точкалокального минимума: /> (так как припереходе через нее производная меняет знак с  "+" на "-"); /> - точка локальногомаксимума: /> (так как при переходечерез нее производная меняет знак с  "-" на "+").

4. Неопределенный интеграл

Часто возникает задача, обратная той, которая решалась вдифференциальном исчислении, а именно: дана функция />,найти функцию />, такую, что />.

Функция /> называетсяпервообразной для данной функции /> нанекотором промежутке Х, если для любого /> выполняетсяравенство

/>.

Например, пусть />, тогдаза первообразную можно взять />,поскольку />.

В основе интегрального исчисления лежит теорема об общемвиде первообразной: если /> –первообразная для функции /> напромежутке Х, то все первообразные для функции /> имеют вид />, гдеС –произвольная постоянная.

Выражение вида /> описываетвсе первообразные для функции />.Действительно, для любой постоянной С 

/>.

Пусть наряду с данной первообразной /> функция /> – также первообразная для />. Тогда должны выполнятьсяравенства

/>,

откуда/>. Следовательно, разностьэтих первообразных будет тождественно равна константе /> или />.

Действие нахождения первообразной называется интегрированиемфункции.

Доказанная теорема позволяет ввести основное понятиеинтегрального исчисления: если /> –первообразная для />, то совокупностьфункций />, где С –произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции/>, который обозначаетсяследующим образом

/>.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собойсемейство плоских кривых />,называемых интегральными.

Для того, чтобы проверить, правильно ли выполненоинтегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральнаяфункция />. Как всякая обратнаяоперация, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.

Приведем основные свойства неопределенногоинтеграла:

1.производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

/>;

2.неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интеграловот слагаемых функций

/>;

3.постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

/>.

Значения интегралов от основных элементарных функцийполучаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицуосновных интегралов:

1) />;

7) />;

2) />;

8) />;

3) />;

9) />;

4) />;

10) />

5) />;

11) />;

6) />;

12) />.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются табличными.

Пример.Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверитьдифференцированием

/>

Решение:Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методомзамены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем обаметода.

1.Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле />. Тогда /> или />. Тогда

/>

Послезамены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла:постоянный множитель /> можно выноситьза знак неопределенного интеграла, и так как />,то пришли к табличному интегралу />, где /> и />.

2.Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что /> и то, что подынтегральноевыражение можно представить в виде

/>,

внесемпод знак дифференциала />. Для этоговыпишем дифференциал этой функции />. Тогда

/>

Послевнесения под знак дифференциала функции /> пришлик табличному интегралу />, где /> и />.

3. Результат интегрирования проверимдифференцированием. Для этого найдем производную

/>

Таким образом, производная отнеопределенного интеграла равна подынтегральной функции, следовательно,интеграл от данной функции найден, верно.

5. Определенный интеграл

Определение определенного интеграла.  Пусть функция /> задана на отрезке [а,b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками

/>.

Точки, разделяющие отрезок [а, b]на частичные отрезки /> длиной />, называются точкамиразбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку />. Образуем суммупроизведений

/>,

называемуюинтегральной суммой для функции /> наотрезке [а, b]. Геометрический смысл величиныs показан на рис. 2… Это суммаплощадей прямоугольников с основаниями /> ивысотами />.

При этом числа a и b называются соответственно нижним иверхнимпределами, выражение /> – подынтегральнымвыражением, /> – подынтегральнойфункцией.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейнойтрапеции, ограниченной вертикальными прямыми /> при/>, осью Ох и графикомнеотрицательной и непрерывной функции />.В этом состоит его геометрический смысл.

Если предположить, что /> –производительность труда в момент t, то /> будет численно равенобъему произведенной продукции за промежуток />,т. е. определенному интегралу можно придать экономический смысл.

    у

/>                           />  В

 Мi

/>

  mi

      А

   О  х0=а  хi    /> хi+1       b= хn     х

    />

Рис. 2

Предел интегральной суммы /> при стремлении /> к нулю, не зависящий от способа выбора точек /> и точек />, называется определенным интегралом от функции /> на [а, b] и обозначается

/>

Определенный интеграл обладает рядом свойств,аналогичных свойствам неопределенного интеграла:

1)постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

2)интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов отэтих функций  (свойство линейности).

Крометого, определенному интегралу присущи свойства, не имеющие аналогов в теориинеопределенных интегралов:

3)интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длинуотрезка интегрирования

/>;

4) при перемене местами пределов интегрированияинтеграл изменяет лишь знак

/>;

5)интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

/>;

6)для любых чисел а, b иc имеет место равенство

/>.

Пример.Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

/>

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новуюпеременную t по формуле />. Тогда /> или />. Осуществим пересчетпределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний пределинтегрирования старой переменной /> ввыражение /> и найдем нижний пределинтегрирования новой переменной />.Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной />, найдем верхний пределинтегрирования новой переменной />. Тогда

/>

 6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений

До сих пор рассматривались функции /> одной переменной х.В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многихфакторов вводится понятие функции нескольких переменных.

Пусть каждому набору значений nпеременных величин /> из множества M, называемых независимымипеременными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят,что задана функция нескольких переменных />.

/>

      z                               />

                                     y

    O

                        x                          

M

 

Рис. 3

Функция одной переменной /> изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения M  функции /> представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оxy  и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис.  3).

Приведем примеры функций нескольких переменных.

1.Функция вида  />,  где /> – постоянные числа,называется линейной или гиперплоскостью />-мерномпространстве.

2.Функция вида /> />, где /> – постоянные числа,называется квадратичной формой от переменных />.

При рассмотрении функций в n-мерномпространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное пониманиегеометрических терминов возможно только при п = 2  и  п = 3.

Далее для наглядности будем рассматривать функции двухпеременных (/>), хотя практически все понятияи теоремы, сформулированные для />,переносятся на случай />. Основныепонятия математического анализа, введенные для функции одной переменной,переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется  пределомфункции /> в точке />, если для любого числа /> можно найти число /> такое, что для всех точек /> из d-окрестности точки  М  выполняется неравенство />. Для обозначения пределафункции в точке используется символика

/>.

Окрестностью точки /> называетсякруг, содержащий точку М.

В случае функции двух переменных аргумент может стремитьсяк предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говоритьо пределах функции в точке вдоль определенных линий.

Функция /> называетсянепрерывной в точке />, еслипредел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке,т. е. />. Геометрический смыслнепрерывности функции при /> очевиден:график функции /> представляетсобой в точке непрерывности /> сплошнуюповерхность в некоторой окрестности этой точки.

Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2,x Î [-20, 20], y Π[-10, 10].

           

Решение.

            Необходимоеусловие экстремума /> = 2х = 0, /> = 2у = 0, откудакоординаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).

            Вторыепроизводные А = />= 2; В = />= 0; С = />= 2. Так как AC — B2 = 4 > 0,  то в точке (0,0) — локальный минимум.

            Значениефункции в точке минимума z (0, 0) = 0.

/>Литература:Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Джангар, 2000. — 864 с. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.