Реферат: Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Исходные данные к курсовому проекту

Рассматриваетсяпоследний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построенииматематической модели предположим:

1) посадка осуществляется по нормали кповерхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

2) на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и силатяги />, где с=const, а β –секундный расход массы m, />;

3) аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнениядвижения КА могут быть представлены в виде:

/>; />; />, где h – текущаявысота;

или в нормальной форме:

/>; />; />; />.

Здесь введены обозначения:

/>; />; />; />; />.

Граничные условия имеют вид:

/>; />; />; />; />,


причем Т заранее неизвестно. Требуется найтипрограмму управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходетоплива, то есть />.

Исходные данные для расчетов

Начальная масса КА

/>, кг.

Начальная высота

/>, км.

Начальная

скорость

/>, км/с

Отношение силы тяги

к начальной массе />, м/с2

500 190 2,65 42,5

/>=190000 м.

/>=2650 м/с

Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2,величина с=3000 м/с.


Задание к курсовому проекту

1.) Составить гамильтониан Н,воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

2.) Из условия максимизации Н по u найтиоптимальное управление.

3.) Получить каноническую систему уравненийи в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданыкомпоненты x0, x1, x2, а в момент t=T‑компонентыx1, x2, ψ0.

4.) Из условия Н(Т)=0 получить соотношениедля определения неизвестного времени Т.

5.) Произвести анализ необходимых условийоптимальности, начав с исследования возможности существования особоговырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения

/>.

Доказать, что Кu не можетобратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особогоуправления в данной задаче не существует.

Показать, что Кu есть монотоннаяфункция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех />;

б) Ku<0 для всех />;

в) Ku>0 для />, Ku<0для />;

г) Ku<0 для />, Ku>0для />.

Показать, в каких случаях (из физическихсоображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расходтоплива меньше.

Получить программу оптимального управления,когда до некоторого момента t1 управлениеотсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равносвоему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.

6.) Решить каноническую систему уравнений,рассматривая ее для случаев, когда /> иуправление u*=0, и когда />, u*=umax.

Приравнивая х1(Т) и х2(Т)нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе,состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этойсистемы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управлениямягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовуютраекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).


Выполнение задания курсового проекта

Нам известно, что

/>, где        с – сила тяги двигателя,

m –масса космического аппарата;

/> – ускорение аппарата.   

То есть, масса · ускорение = сумме сил,действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: />.

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β),ее можно менять в пределах />.

/>можно найти из исходных данных – выразив из отношения силытяги к начальной массе Pmax/m(0):

/>;

/>;

/> кг/с.

Наш критерий оптимизации />. Введем принятые в исходныхданных обозначения:

/>; />.


Начальный момент времени t=0, конечныймомент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.

/>;

Тогда критерий оптимизации:

/>;

/>. (Здесь />.)

Теперь необходимо написать уравнение состояниясистемы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.

Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3уравнения состояния:

/>;

/>;

/>.

Выберем управление:

/>      />;

Подставляем уравнения состояния, получим:

так как />и/>, отсюда

/>                                              />;

/>             />;

/>                                        />.

Критерий оптимизации:

/>.

Введем переменные х0и хn+1 (то есть х4).

/>, где t – текущее время.

/>.

Тогда основные уравнения состояния:

/>                           />

/>/>                           />

/>          />

/>                           />

/>                            />


Составим гамильтониан Н:

/>;

/>.

Оптимальномууправлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной областивозможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

Тоесть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψi тоже получимсопряженные уравнения, которые имеют вид />:

/>


/>                – так как функция не зависит от х0,

следовательно производная равна нулю;

/>       – аналогично, так как функция не зависит от х1.

/>

/>

/>

Итак, нужно найти максимум гамильтониана:


/>

/>


Функция переключения:

/>

Используя для вычислений Mathcad,получим оптимальное управление:

/>

Таким образом оказалось, что оптимальноеуправление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигательдолжен быть совсем выключен (при Ku<0), либо включен на максимальную мощность (при Ku>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения Кu вовремени:

/>;

Для определения ψ1 и ψ2решаем сопряженные уравнения:

/>, следовательно, ψ1 = const,обозначим ψ1=с1.

/>, следовательно, />, где c2 = const.

Итак,


/>

Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const –величина постоянная, поэтому производная /> имеетвсегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Kuлибо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает,что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) Ku>0для всех />;

б) Ku<0для всех />;

в) Ku>0для />, Ku<0 для />;

г) Ku<0для />, Ku>0 для />.

В случаях б) (когда двигатель КАвыключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен намаксимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полетпроисходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкойпосадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтомуоптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемыхварианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либовсё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет свыключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет сдвигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки.Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть путипроделывается с выключенным двигателем.

Поэтому оптимальным управлением в даннойситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходитвключение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальнуюмощность.

Итак, оптимальному управлению соответствует

/>

На первом участке полета, на котором u1=0:

/>


/>

/>

/>

/>; />; />;

/>;

/>;

/>.

Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:

Зададимся условием, что при t=t* (в моментвключения двигателя):

/>;

/>;

/>.


/>/>

/>

/>

На отрезке полета со включенным двигателем:

/>;

так как />,запишем:

/>.

Теперь, зная х3, можно выразить х2:

/>

  />/>

/>

/>

/>.

Теперь, зная х2 выразим х1:

/>

/>

/>

/>

/>;

На отрезке пути h(t):

/>

/>

/>

В момент посадки t=T высота и скорость должныбыть равны нулю, то есть /> и />. На основании этого утверждения приравняем х1(T) и х2(Т)нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Такимобразом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейныхуравнений относительно двух неизвестных t* и Т:

/>/>

/>


Из второго уравнения системы выразим моментвремени, на котором включается двигатель:

/>;

Подставим это выражение в первое уравнениесистемы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же времяпосадки):

/>

Для расчета времени полета Т воспользуемсяпрограммой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления[1]:

Теперь, зная Т и t*, можно определитьконечную массу космического аппарата m(T):

/>кг.

Можно рассчитать высоту h (t*), на которойКА должен включить двигатели:

/> м.

Таким образом, включение двигателей происходитна 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты.Тот же результат мы наблюдаем и на графике.

еще рефераты
Еще работы по математике