Реферат: Операторные уравнения

Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальноеобразовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский Государственный Гуманитарныйуниверситет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа иметодики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

«Операторные уравнения»

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

Кощеева Анна Сергеевна

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

_______________________

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математическогоанализа и МПМ

Подгорная Ирина Иссаковна

________________________

Допущен к защите в ГАК

Зав.кафедрой______________________ КрутихинаМ.В.

« »____________

Декан факультета__________________ ВаранкинаВ.И.

« »____________

Киров 2005

Содержание

Введение_______________________________________________________ 3 Глава 1.Операторные уравнения.___________________________________ 4 §1. Определение линейного оператора________________________ 4 §2. Норма линейного оператора______________________________ 5 §3. Обратные операторы____________________________________ 5 §4. Абстрактные функции___________________________________ 9 §5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________ 11 §6. Метод малого параметра в простейшем случае______________ 12 §7. Метод малого параметра в общем случае___________________ 13 §8. Метод продолжения по параметру________________________ 15 8.1. Формулировка основной теоремы___________________ 15 8.2. Простейший случай продолжения по параметру_______ 16 Глава 2. Приложение_____________________________________________ 19 Литература_____________________________________________________ 27
Введение Функциональныйанализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих вреальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областяхматематики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.Многиезадачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся котысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь,приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. Вданной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.

Цель данной работы: рассмотретьосновы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений –метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применениеэтих методов к решению задач.

Изучив имеющийся материалпо данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:

1. раскрыть некоторые основы теориилинейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторныхуравнений;

2. проиллюстрировать на конкретныхпримерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решенияконкретных задач.

Таккак выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащейконструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель –сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики.Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимыетеоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоихметодов, а во второй – решения конкретных задач.
Глава1. Операторные уравнения§1.Определение линейногооператора

Пусть X и Y – линейныепространства, оба вещественные или оба комплексные.

Оператор А: X → Y собластью определения D(А) называется линейным, если

А(λ1x1+ λ2x2) = λ1А(x1)+ λ2А(x2)

для любых x1,x2ÎD и любых скаляров λ1 и λ2.

Пусть X и Y –нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюдузаданный в X (т.е. D(А) = X).

Оператор А называется непрерывнымв точке x0ÎX, если Аx → Аx0при x → x0.Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0ÎX можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Теорема1. Пусть линейныйоператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховомпространстве Y непрерывен в точке 0 ÎX; тогда А непрерывен в любой точке x0ÎX.

Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0= А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 →0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0→0, что и требовалось доказать.

Линейный оператор Аназывается непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Пусть S1(0) –замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.

Будем называть линейныйоператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен наединичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество

{ ||Аx||,||x|| ≤ 1}.

Согласно определению,если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, чтодля любых x с ||x|| ≤ 1 справедливонеравенство

||Аx|| ≤с (1)

Теорема2. А ограничентогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx|| ≤с ||x|| (2)

для любых x ÎX, где с – постоянная.

Теорема3. Пусть А: X →Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А былнепрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§2. Нормалинейного оператора

В линейном пространстве непрерывныхлинейных операторов зададим норму следующим образом:

/>. (1)

Поясним, почемусуществует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченногооператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество

ограничено сверху. По теореме оверхней грани существует />.

Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех xÎ S1(0). Отсюда

||Аx||≤ ||А|| ||x||, (2)

справедливое для всех xÎX, включая x = 0. такимобразом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx||≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.

Пространствонормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будемобозначать L(X, Y).

§3.Обратныеоператоры

Системы линейныхалгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи дляобыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могутбыть записаны в виде линейного уравнения

Если существует обратныйоператор />,то решение задачи записывается в явном виде:

Важное значениеприобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный операторсуществует и обладает теми или иными свойствами.

Пусть задан линейныйоператор: А: X → Y, где X,Y – линейные пространства, причем егообласть определения D(A)/>X, а область значений R(A)/>Y.

Введем множество /> - множество нулейоператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 ÎN(A)

Теорема4. Оператор Апереводит D(А) в R(А) взаимно однозначно тогда итолько тогда, когда N(A)=/>,(т.е. множество А нулей состоит только из элемента 0)

Теорема5. Оператор А-1существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда длянекоторой постоянной m>0 и любого x ÎD(A)выполняется неравенство

/>. (1)

Введем теперь следующееважное понятие.

Будем говорить, чтолинейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y, оператор обратим и A-1ÎL(Y, X), (т.е. ограничен).

Обращаясь к теореме 5, мысможем сформулировать следующее утверждение.

Теорема6. Оператор Анепрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех /> выполняется неравенство(1).

В случае определенного иограниченного на всем множестве оператора A ÎL(X,Y) имеется теорема Банаха об обратномоператоре.

Теорема7. Если А – ограниченныйлинейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство Xна банахово пространство Y, то обратный оператор А-1ограничен.

Иными словами, если А Î L(X,Y), где X и Yбанаховы, R(A)=Y и А обратим,то А непрерывно обратим.

Взглянем на понятиенепрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения

Ax = y (2)

Если А непрерывнообратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у. Если приэтом />(решение того же уравненияс правой частью />), то />. Это означает, что малоеизменение правой части y влечет малое изменение решения, или, как принято говорить, задача (2)корректно разрешима.

Пусть А Î L(X,Y). Оператор U Î L(X,Y) будем называть правымобратным к А, если AU = Iy. Оператор V Î L(X,Y) будем называть левым обратнымк А, если VA = Ix.

Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор впространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение Аr–1, а для левого – АL–1.

Лемма1. Еслисуществует правый обратный Аr–1к А, то уравнение (2) имеет решение

x = Аr–1y

Если существует левыйобратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.

Доказательство.

А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,

т.е. x = Аr–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.

Далее, пусть существует АL–1. рассмотрим N(A). Пусть x ÎN(A), тогда Аx = 0.применим к этому равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x ÎN(A) оказываетсяравным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимнооднозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что итребовалось доказать.

Пусть X – банахово пространство. Рассмотримбанахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных навсем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно,что I непрерывно обратим. Ниже доказывается,что вместе с I непрерывно обратимы все операторы /> - единичного шара в L(X), т.е. все такие А, для которых справедливо неравенство/>.

Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X –банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.

Теорема8. Пусть /> и />; тогда оператор I– Cнепрерывно обратим. При этомсправедливы оценки

/> (1)

/> (2)

Доказательство.Рассмотрим в L(X) ряд

I+C+C2+C3+… (3)

Так как />, то ряд (3) оцениваетсясходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.

/>.

Где S – сумма ряда (3). Далее простойпроверкой убеждаемся, что

/>,

/>.

Но при этом /> (ибо /> и />), а />. Поэтому, в пределе имеемравенства (I– C)S= I и S(I– C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I– C)-1. Далее,

/>,

/>.

Переходя в этихнеравенствах к пределу при />,получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим болееобщий случай пространства L(X,Y). Пусть А ÎL(X,Y) непрерывно обратим.

Теорема9.Пусть A, BÎL(X,Y), А непрерывно обратим и выполненонеравенство />. Тогда Bнепрерывно обратим и справедливыоценки

/>, />.

§4. Абстрактныефункции

Пусть S – некоторое множество на числовойоси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.

Рассмотрим функцию x(/>) с областьюопределения S и с областью значений в X. Такиефункции принято называть абстрактными функциями числовой переменнойили векторными функциями числовой переменной, поскольку элементылинейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. Наабстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и фактыматематического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывноститаких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитическойабстрактной функции.

Пусть x(/>) определена вокрестности точки />0,за исключением, быть может, самой точки />0.Элемент а ÎXбудем называтьпределом функции x(/>)при />→/>0изаписывать

/> при />→/>0,

если /> при />→/>0.

Степенные ряды – этоспециальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависятот параметра/>.

Рассмотрим внормированном пространстве X ряд вида />, где xкÎX, а/> –вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новуюпеременную />–/>0= />, то в дальнейшем мы полагаем />0= 0 ирассматриваем степенные ряды вида

/> (1)

Конечная сумма /> называется частичнойсуммой степенного ряда (1).

Пусть /> – множество всех точек />, для которых ряд (1)сходится. /> называется областьюсходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при />Î/> обозначим через S(/>) (этоабстрактная функция, определенная на /> созначениями в X), при этом будем писать

/>/>, при />Î/>.

Последнее равенство означает, что Sn(/>)→ S(/>)при n→∞ для всех />Î/>.

Очевидно, областьсходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î/>. Как и в случае скалярных функций, справедливаследующая теорема.

Теорема10 (Абель). Пусть/>0≠ 0и />0Î/>, тогда круг /> содержится в />. Во всяком круге Sr(0), где r< />,ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно />.

Теорема11. Пусть двастепенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

/>/>;

тогда равны все их коэффициенты: /> (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция /> числового переменногоλ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.

По определению производной x’(λ) функцииx(λ) в точкеλ0 называется предел

/>,

если этот предел существует (и конечен). Если /> имеет производную в точкеλ0, то она называется дифференцируемой в этойточке.

§5. Аналитическиеабстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x(/>) будем называть аналитическойпри />=0, если онапредставима в некоторой окрестности точки />=0сходящимся степенным рядом:

/> (1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема12. Если x(/>) – аналитическаяабстрактная функция при />=0,то x(/>) непрерывна в круге SR(0), где R – радиус сходимостистепенного разложения (1).

Теорема13. Если x(/>)– аналитическая абстрактная функция при />=0,то x(/>) дифференцируема вкруге SR(0) сходимости своего степенногоразложения.

Пусть x(/>) бесконечнодифференцируема в точке 0. Ряд вида

называется рядом Тейлорафункции x(/>).

Если x(/>) аналитична при />=0, то ее ряд Тейлора,в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к нейв SR(0).

Понятие абстрактнойаналитической функции используется в широко применяемом на практике методемалого параметра.

§6. Метод малогопараметра в простейшем случае

Рассмотрим следующееуравнение:

Аx–/>Сx=y. (1)

Здесь А, С ÎL(X,Y) и y ÎY заданы, /> - скалярный параметр,/>, а неизвестное x разыскиваетсяв X. Если />, т.е.

/>, (2)

то, согласно теореме 9, оператор А–/>С непрерывно обратим, итогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой

/>. (3)

Отсюда видно, что в круге(2) решение является аналитической функцией параметра /> и, следовательно,может быть найдено в виде

/> (4)

На этой идее основываетсяметод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и,согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваемкоэффициенты при одинаковых степенях /> вправой и левой частях получившегося тождества:

/>.

Таким образом, мыприходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0,x1, …:

Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1,…

Так как А непрерывнообратим, то отсюда последовательно находим

x0=А–1y, x1=А–1(СА–1)y, …, xк=А–1(СА–1)кy,…

Следовательно,

/>. (5)

Мы получили решение (3),разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд иограничиться приближенным решением

то можно оценить ошибку. Вычитая изряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим

/>.

§7. Метод малогопараметра в общем случае

Пусть дано уравнение

А(/>)х = у(/>). (1)

Здесь А(/>)ÎL(X,Y) задана при каждом />,/>, или, как говорят, А(/>) –оператор-функция. Пусть А(/>)аналитична при />=0, аоператор А(0) непрерывно обратим, у(/>)– заданная аналитическая функция /> при/>=0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскиваетсяв X.

Аналитичность А(/>) и у(/>) в точке 0означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусамисходимости, которые равны /> и />соответственно:

/>, />. (2)

Из аналитичности А(/>) следуетнепрерывность А(/>) при />=0. следовательно,найдется число r > 0 такое, что в круге />

/>.

Отсюда вытекает, что вкруге />оператор-функцияА(/>) непрерывнообратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение

/>,

при этом x(/>) аналитична вточке />=0 и радиуссходимости соответствующего степенного ряда равен min(/>, r). Дляфактического построения x(/>)удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x(/>) в виде

/>. (3)

Подставляя ряд (3) вуравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенныхкоэффициентов x0, x1, x2, …:

А0x0= y0, А0x1+А1x0= y1,

А0x2+ А1x1 + А2x0= y2, (4)

. . . . . . . . . . .

/>, …

Здесь А0=А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы,находим

/>, />, … (5)

Возникающие здесь формулыдовольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любойстепенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когдаобращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператораА(/>).

§8.Метод продолжения по параметру8.1.Формулировка основной теоремы

В качестве еще одногоприложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов методапродолжения по параметру. Пусть /> и Анепрерывно обратим. Если />, то, согласнотеореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенныхусловиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае,когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотримнепрерывную на отрезке [0, 1] оператор — функцию /> такую,что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точкиА и В. Будем предполагать, что для оператор – функции /> выполняется следующееусловие:

1. Существует постоянная /> такая, что при всех /> и при любых /> справедливо неравенство

/>. (1)

Ниже будет доказана следующаятеорема.

Теорема14. Пусть А(λ) – непрерывная на[0, 1] оператор-функция (при каждом />),причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем />.

Замечание к теореме 14. Если выполнено условие I при /> иоператор /> непрерывно обратим, то

/>. (2)

Действительно, пусть />, а />, т.е./>. тогда условие I дает /> или/>, что означаетсправедливость неравенства (2).

8.2. Простейшийслучай продолжения по параметру

Приведем здесьдоказательство теоремы 14 для случая, когда />.Согласно условию этой теоремы />. Позамечанию 14 />. Имеем следующую оценку:

/>.

Пусть />, где />. На [0, δ] имеем />, и, следовательно, потеореме 9 А(λ) при всяком /> непрерывно обратим. Еслиокажется, то />, то теорема доказана.

Пусть δ < 1.Возьмем А(δ). Согласно замечанию п.14.1 />.Повторяем наши рассуждения при λ>δ. Имеем оценку

/>,

если />, откуда А(λ)непрерывно обратим при каждом />. Если />/>,то теорема доказана. Если же 2δ < 1, то /> ирассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точкиλ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.

Доказательство теоремы в общем случае

Рассмотренный вышечастный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случайосновывается на следующем элементарном предложении.

Лемма. Пусть М – некоторое непустоемножество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].

Замечание 1. условиеоткрытости М на [0,1] понимается так: для любого /> существует δ > 0такое, что />.

Доказательстволеммы. Пусть N= [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужнодоказать, что N= Æ – пустое множество. Допустимпротивное, что N¹Æ. Поскольку М ¹Æ и ограничено сверху, то существует b= supM, причем bÎM вследствие замкнутости. Покажем, что b= 1. Если b<1, товследствие открытости Mна [0, 1] найдется x> b, xÎM. Это противоречит определению supM. Следовательно, b>1 невозможно. Итак, 1ÎМ.

Теперь рассмотриммножество N. Как дополнение к М, онотакже открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM. мы получаем, что 1 Î N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречиедоказывает, что допущение N¹Æневерно. Итак, N= Æ, т.е. М = [0, 1]. Леммадоказана.

Вернемся к доказательствутеоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ)непрерывно обратим. Согласно замечанию 1 /> длявсех λ ÎМ.М не пусто, поскольку 0 Î[0, 1].

воспользуемся непрерывностьюоператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e> 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î[0, 1] таких, что /> < δвыполняется неравенство /> <e.

Возьмем e= γ, тогда при /> < δ(γ),λ Î[0, 1]

/><1.

По теореме 9 §3 А(λ)непрерывно обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ0 М содержит />, т.е. Моткрыто на [0, 1].

Докажем, что Мзамкнуто на [0, 1]. Пусть /> и/> при />. Надо доказать, что λ0 М. воспользуемся неравенством /> иполучим

/>.

Вследствие непрерывностиА(λ) по λ для любого e> 0 находим номер N= N(e) такой, что при n> N будет /><e. Возьмем e= γ, тогда для n= N(γ)+1 /><1.

По теореме 9 А(λ0) непрерывно обратим, т.е.λ0 ÎМ, и, значит, М замкнуто на [0, 1]. По лемме М = [0,1]. в частности, 1ÎМ и />.Теорема полностью доказана.

Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:

А(λ)х = у, λÎ[0, 1]. (1*)

Пусть для всех возможных решенийэтого уравнения при всяком λÎ[0, 1] справедлива оценка

/>, (2*)

где с – некотораяпостоянная, не зависящая от х, у и λ. Оценка такого роданазывается априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно, априорнаяоценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1): />.

Доказанная выше теоремасвидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теоремсуществования и единственности решений.

Глава 2. Приложение

Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:

/> (1)

Это уравнение вида А(/>)х = у(/>) – операторноеуравнение в С[-π; π], где

Покажем, что А(/>) аналитична в т.0, т.е. разлагается в ряд вида />.Разложим функцию А(/>)в ряд Тейлора: />.

Найдем к–ую производную:

Разложим функцию в рядТейлора в т. 0:

Таким образом, функцияаналитична, следовательно, непрерывна при /> =0, а значит, уравнение имеет единственное решение.

Операторные коэффициентыимеют вид:

/>; /> (2)

I. Начнем с уравнения А0x0= y системы (4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ≥1.

Заменим, />, поэтому />

/>, (4)

где

/>, />

Для того, чтобы найтикоэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:

/>,

подсчитаем интегралы:

/>, />, />

Тогда, подставив в уравнение,получаем: />. Отсюда:

/>. (5)

Найдем коэффициент Вуравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:

/>.

Подсчитав соответствующиеинтегралы:

/>/>/>, />, />, подставив и выразив В,получаем:

/>. (6)

Подставим найденные коэффициенты (5)и (6) в уравнение (4):

и свернем по формуле:

II. Найдем теперь x1(t), для этого необходимо решитьследующее уравнение системы (4) §7: А0x1+А1x0= y1. Так как y1=0 в нашем случае, то мы будем решатьуравнение А0x1= – А1x0.

Обозначим />, т.к. мы знаем теперь x0(s), следовательно φ(t) можно вычислить. Имеем:

Как в предыдущем случаезаменим, />, поэтому />

/> . (7)

где />, />.

Умножим уравнение (7) на cos t и проинтегрируем по t от–π до π – получим коэффициент А:

Подсчитав: />, />, />,

имеем />.

Аналогично умноживуравнение (7) на sin t и проинтегрируем по t от–π до π – получим коэффициент В: />.

Составляем функцию x1(t), подставив коэффициенты Аи В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса разности:

/>.

Таким способом мы можемнайти все остальные решения уравнения с любой степенью точности.

Пример2. Применимметод продолжения по параметру для оценки разрешимости краевой задачи длядифференциального уравнения, а потом решим ее методом малого параметра.

–x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)

x(0) =x(1) = 0 (2)

Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t)непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) – b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).

Покажем методомпродолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части y ÎY = С [0, 1] существует единственноерешение задачи x Î X = С2 [0, 1] – пространству, состоящему из дважды непрерывнодифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой />, где />.

Запишем задачу (1) – (2)в операторном виде: Вx = y

Здесь /> определен всюду на X созначениями в Y. В качестве оператора А примем />ÎL(X, Y).

Соединим операторы Аи В отрезком

/>, λ Î [0, 1].

Теперь необходимоустановить априорную оценку для решений краевой задачи

–x'' + λb(t)x' +λc(t)x = y(t), 0< t <1, (3)

x(0) =x(1) = 0 (4)

Как только такая оценкабудет получена, из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная разрешимостькраевой задачи (3) – (4).

Умножим уравнение (3) наx(t) и проинтегрируем полученноеравенство по t от 0 до 1:

/>.

Заметим, с учетомграничных условий:

Подставим полученныеинтегралы и сгруппируем относительно λ:

/> (5)

Произведем оценку всехтрех слагаемых в этом равенстве.

Докажем, что />. (6)

Заметим, что />, и значит по неравенствуКоши – Буняковского:

/>.

Точно так же:

/>.

Перемножим этинеравенства:

/>. (6*)

Отсюда, замечая, что />, получим

/> />/>.

Далее /> (7)

– это следует из предположения (*).

Последний интегралравенства (5) можно оценить, используя скалярный квадрат:

/>, где />.

Для любого ε > 0 /> />

/>. (8)

Используя полученныенеравенства (6), (7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:

/>,

считая ε > 0 достаточномалым, имеем

/>.

Выберем /> и получим

/>, где />.

Возвращаясь снова кравенству (5), получим следующую оценку:

/>, где />, а />.

Теперь с помощью оценки(6*) имеем /> и, значит, учитывая, что />, получим

/> (9)

Из уравнения (3) можемполучить оценки для /> и />:

/>. (10)

Здесь /> оценивается через /> и />. Действительно, x(0) =x(1) = 0. по теореме Роля на (0, 1) найдется точка ξ, в которой x'(ξ)= 0. Тогда, запишем уравнение (3) в виде

/>,

(в этом можно убедиться, взявпроизводную:

и сократив/>)

интегрируем его от ξ до θ иполучим

/>.

Отсюда имеем оценку

/>, (11)

где />.

Теперь подставим полученныерезультаты в (10):

/>. (12)

Теперь (9), (11) и (12)дают искомую априорную оценку:

(постоянную с4 нетрудноподсчитать, сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).