Реферат: Элементарное доказательство великой теоремы Ферма

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

(Приведенный ниже вариант доказательства Великой теоремы Фермаполучен в октябре 2010 года)

С.А. ЛАБУТИН (д.т.н.)


1. Введение [1]. Великая (большаяили последняя) теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от нуляцелых чисел x, y, z, для которыхимеет место равенство

xn+ yn = zn,(1)

где n> 2. Общеизвестно, что при n = 2 такие числасуществуют (например, 3, 4 и 5).

В бумагах Ферма (который жил в1601-1665 гг.) было найдено доказательство этой теоремы при n = 4 (это единственное полное доказательствотеоретико-числового результата, сохранившееся от Ферма). Относительно же общегослучая любого n > 2 Ферма лишь написал (наполях «Арифметики» Диофанта), что он нашел «поистинезамечательное доказательство» этого факта, но «поля слишком малы,чтобы его уместить».

Несмотря на усилия многихматематиков (в «Истории теории чисел» Диксона прореферировано болеетрехсот (!) работ на эту тему), это доказательство найдено не было, что дажевызвало сомнение в том, что в доказательстве Ферма не содержалось какой-либоошибки. Тем более, что кроме показателя n = 4,нет ни одного показателя, для которого теорему Ферма удалось бы доказать элементарнымисредствами.

Известно [1], что длядоказательства теоремы Ферма достаточно рассмотреть только случаи показателей n = 4 (для этого случая доказательство теоремы полученоПьером Ферма) и n = q ≥ 3, где q — простое число, делящееся без остатка только на единицу и на самосебя, и примитивных решений x, y, z.Решение называется примитивным, если состоит из попарно взаимно простых чисел, т.е.каждая из пар чисел (x, y), (y, z)и (x, z) не имеет общих множителей кромеединицы.

Только создание в середине 19века нового достаточно сложного раздела математики «теории алгебраическихчисел» (первооткрывателем этого направления математики является немецкийматематик Куммер) позволило доказать теорему Ферма для простых показателей q < 253747889 [1] в случае, когда ни одно из взаимнопопарно простых чисел x, y, z неделится на q (опираясь на результаты, полученныерядом ученых к 1941 г., и на возможности ЭВМ для проверки сформулированных имиусловий), и для q < 100000 для произвольныхвзаимно попарно простых решений x, y, z(опираясь на результаты Вандивера, полученные в 1929 г., и на возможностиЭВМ, для проверки сформулированных им условий). Но теория алгебраических чиселтак и не позволила доказать теорему Ферма для всех простых чисел q > 2.

В докладе рассматриваетсядоказательство теоремы Ферма для всех n = q ³3, где q является нечетным (не обязательнопростым!) числом, на основе тех методов, которыми мог пользоваться Ферма в 17веке. Хотя это доказательство и не открывает каких-либо новых путей вматематике, но все-таки позволяет ликвидировать неприятную ситуацию, возникшуюпосле появления теоремы Ферма, когда в течение 340 лет (!) математики всегочеловечества не смогли доказать эту теорему элементарными методами (и вообще несмогли пока доказать эту теорему!), и даже заявляли, что в доказательствеФерма, вероятно, содержалась какая-то ошибка, не замеченная Ферма (хотяизвестно, что во всех случаях, когда Ферма писал, что получил доказательствокакого-либо математического утверждения, то все эти доказательства в дальнейшембыли найдены другими учеными кроме доказательства … Великой теоремы Ферма!).

Пьер Ферма в свободное отосновной работы время (он работал в отделе прошений кассационной палаты судафранцузского города Тулуза) без каких-либо особых усилий (вполне возможно, чтов течение всего одного вечера) доказывает рассматриваемую теорему, затемвосхищается, вероятно, тем, что доказательство получено сразу для всех n > 2, но вовсе не считает необходимым сохранить этодоказательство для других ученых или сообщить его в письмах к этим ученым (другимисловами, вовсе не считает это доказательство каким-то особым достижением).

2. Какие известные результатыиспользованы в рассматриваемом доказательстве? Заметим, что в «Арифметике»Диофанта рассматриваются, в частности, целочисленные решение уравнения Пифагора

x2+ y2 = z2.(2)

Общие формулы для целочисленныхрешений этого уравнения были известны еще древним индусам и используются Фермапри доказательстве теоремы (1) для случая n = 4.

Запишем эти формулы для решенияуравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел x,y, z.

Леммы 1. Для любых взаимнопростых положительных чисел m и n < m разнойчетности формулы

x= 2mn, y = m2 — n2,z = m2+ n2 (3)

доставляют состоящее изположительных целых чисел примитивное решение уравнения (2) с четным значением х.Обратно, любое состоящее из положительных чисел примитивное решение (x, y, z) уравнения (2), для которого хчетно, выражается формулами (3), где m и n < m — взаимно простые числа разной четности.

Заметим, что в уравнении (2) неможет быть четным число z и нечетными числа x и y, так как суммаквадратов любых двух нечетных чисел имеет вид (x2+ y2) = (4k+ 2), где k — некотороецелое число, а каждый квадрат числа z2имеет вид (4k) при четном zили (4k + 1) при нечетном z[1].

Кроме того, для доказательстватеоремы Ферма потребуется лемма 2.

Лемма 2. Пусть a, b и с — такиенатуральные (целые положительные) числа, что

1) имеет место равенство ab = cn;

2) числа aи b взаимно просты.

Тогда существуют такиенатуральные числа x и y, что а = хn,b = yn.

Короче говоря, если произведениедвух взаимно простых натуральных чисел является n-ойстепенью, то каждый из сомножителей также будет n-ойстепенью. Доказательство этой леммы приведено в книге [1] и является настолькопростым, что для математика такого уровня как Ферма является самоочевидным.

Кроме того, нетрудно показать,что для полного доказательства теоремы Ферма достаточно доказать ее только дляслучая простых чисел n = q ³ 3 и для n = 4 и примитивных решений x,y, z. Доказательство этого утверждения содержится в [1], является оченьпростым и, вне всякого сомнения, было известно Ферма.

Поскольку для случая n = 4 теорема (1) была доказана еще Ферма (этодоказательство в книге [1] занимает две страницы!), то ниже рассматриваетсятолько случай теоремы Ферма для n = q ³3, где q — нечетноечисло (для рассматриваемого ниже доказательства не потребовалось вводить болеежесткое условие, чтобы q являлось простым числом)с примитивными решениями x, y, z.

3. Преобразование уравнения Ферма.Прежде чем переходить непосредственно к доказательству теоремы Ферма, выполнимследующие преобразования уравнения (1) при n = q ³3, где q — нечетноечисло. В этом уравнении одно из чисел x, y илиz является четным, а два других — нечетными.

А). Рассмотрим сначала случай,когда четным числом является число x или y. Без ограничения общности доказательства можно считатьчетным, например, число х. Запишем уравнение (1) в виде

хq = [ (z) q/2] 2 — [ (y)q/2] 2. (4)

Обозначим

хq = 2a, (z) q/2 + (y) q/2 = 2b и (z)q/2 — (y)q/2 = 2с.

Тогда правая часть уравнения (4)равняется (4bc), а левая часть (2а), т.е.

а = 2bc.(5)

Заметим далее, что имеют местотакже следующие соотношения:

b + c = (z) q/2, b c= (y) q/2, (6)

(b + c)2 = (z) q, (b c) 2= (y) q. (7)

Из уравнений (7) следует, что

(z)q + (y)q = (b+ c) 2 + (b c) 2 = (b2 + c2+ 2bc) + (b2+ c2 — 2bc)= 2 (b2 + c2)(8)

Предположим, что b2 и c2не являются целыми числами. Запишем их в виде b2= B + s<sub/>ис2 = С + g, где B и C — целые части чисел b и c,а |s| < 1 и |g|< 1 — их дробные части. Тогда из уравнения (8) получаем

(z)q + (y)q = 2 (B+ C + s + g). (9)

Так как левая часть уравнения (9)является целым четным числом, то (B + C + s + g) также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0или ±1, т.е. g = — s+ ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s= 0), +1 или — 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значенияхs).

Из уравнения (z) q/2 + (y) q/2 = 2b следует, что значение b > 1, так как z > y >1. Но любое нецелое число b >1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых,такое число всегда можно записать в виде (В1 + s1) с положительным значением дробной части s1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая изэтого выражения единицу получаем (В1 + 1 — 1 + s1) = (В + s),где В = В1 + 1 — это целая часть числа b, а s =(s1 — 1) — дробная часть числа b. Поскольку s1< 1, то значение s < 0 при такомпредставлении числа b. При s= 0 можно считать, что s1 = 0 и В1= В.

Сначала будем полагать, чточисло b представлено ввиде b = (В + s)со значением s < 0. При этом, как отмечено выше,значение ρ = — 1.

Рассмотрим далее произведение

(zy)q = (b+ c) 2 (b c) 2 = b2 + c2+ 2bc) (b2+ c2 — 2bc)= (b2 + c2)2-4b2c2.(10)

Учитывая, что b2 = B + s<sub/>и с2 = С + ρ — s, преобразуем правую частьуравнения (10):

(zy)q = (B + С + ρ) 2 — 4 (В + s)(С + ρ — s) =(B + С + ρ) 2 — 4 В(С + ρ) + 4s(ВС — ρ) + 4s2

или

Е = (zy)q + 4В (С + ρ) — (B + С + ρ)2 = 4sN + 4s2, (11)

где N= (ВС — ρ) > 0, так как В> С + ρ (это следует из второгоуравнения (6) с учетом того, что любые целочисленные корни уравнения (1) должныбыть больше q ≥ 3[1]). Таким образом, для величины s получаем квадратичноеуравнение

 

s2+ s (ВС — ρ)- 0,25Е = 0, (12)

где величина Е ≤ 0,так как правая часть уравнения (11) отрицательна при s< 0 (поскольку целое положительное число N > |s| и ρ= — 1) или равна нулю при s = 0.

Для положительного значения s1 = (1 + s) получаемтакже уравнение (12), но со значением ρ = 1 и (В — 1) вместо В, т.е.

(1 + s) 2+ (1 + s) (В — 1 — С — 1) — 0,25 [ (zy) q + 4 (В — 1) (С + 1) — (B — 1 + С + 1) 2]

или

s2+ 2s + 1 + s (ВС — 2) — 0,25 [ (zy) q+ 4 (В — 1) (С + 1) — (B + С) 2] = 0. (13)

Вычтем из уравнения (13) уравнение(12) при ρ = — 1. В результате получим

 

s — [ (В — 1) (С + 1) — 0,25 (B + С)2] + [В (С — 1) — 0,25 (B + С — 1) 2]+ 1= 0

или s= — 0,5 (ВС) — 0,75 < 0.

Но модуль sоказывается больше единицы, поскольку В > C.Уравнения (12) и (13) дают одинаковые значения sтолько в случае s1 = s = 0. При этом ρ = 0 и В1= В.

Таким образом, значение s дробной части числа bравно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с,равная g = — ρ + s,также равна нулю, т.е. b и cявляются целыми числами. Но при целых числах b иc из уравнений (6) следует, что y<sub/>= (y1) 2 и z = (z1) 2,так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значенияхq ³ 3 и взаимно простых числах x, y и z будет целым числом.

Аналогичным образом можнопоказать, что х также является квадратом некоторого целого числа х1.Из уравнения (4) можно получить уравнение x2q = [ (z) q/2xq/2]2 — [ (x) q/2yq/2] 2. Обозначим xq/2zq/2-xq/2yq/2 = 2с2 и xq/2zq/2+ xq/2yq/2 = 2b2,где аналогично случаю, рассмотренному выше, можно показать, что сb2 могут быть только целыми числа. Издвух последних уравнений получаем xq/2zq/2 = (b2+ с2) и xq/2yq/2 = (b2 — с2). При целых числах с2,b2, zq/2и yq/2 левая часть этихуравнений будет целым числом только в случае x =(x1) 2.

Это означает, что для нахожденияцелочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q ³ 3ичетном значении x или y достаточно найти целочисленные решения уравнения Пифагора

[ (х1) q] 2 + [ (y1)q] 2 = [ (z1) q]2. (14)

В). Рассмотрим теперь случайчетного значения числа z инечетных значений х и y. Умножимуравнение (1) при n = q ³ 3 на z<sub/>q и запишем его в виде (xz)q = z2q — (yz)q. Обозначим ()q = 2a,(z) q+ (zy) q/2= 2b и (z) q — (zy) q/2 = 2с. Тогда правая часть уравнения (xz) q = z2q — (yz) q равняется (4bc), а левая часть (2а), т.е.

 

а = 2bc.(15)

Заметим далее, что имеют местотакже следующие соотношения:

b+ c = (z) q, b c = (zy) q/2, (16)

(b+ c) 2 = (z)2q, (b c) 2 = (zy) q. (17)

Из уравнений (17) следует, что

(z)2q + (zy)q = (b+ c) 2 + (b c) 2 = (b2 + c2+ 2bc) + (b2+ c2 — 2bc)= 2 (b2 + c2)(18)

Предположим, что b2 и c2не являются целыми числами. Запишем их в виде b2= B + s<sub/>ис2 = С + g, где B и C — целые части чисел b и c,а |s| < 1 и |g|< 1 — их дробные части. Тогда из уравнения (18) получаем

(z)2q + (zy)q = 2 (B+ C + s + g) (19)

Так как левая часть уравнения (19)является целым четным числом, то (B + C + s + g) также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0или ±1, т.е. g = — s+ ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s= 0), +1 или — 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значенияхs).

Из уравнения (z) q + (zy) q/2 = 2b следует, что значение b > 1, так как z > y > 1. Но любоенецелое число b > 1может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых,такое число всегда можно записать в виде (В1 + s1) с положительным значением дробной части s1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая изэтого выражения единицу получаем (В1 + 1 — 1 + s1) = (В + s),где В = В1 + 1 — это целая часть числа b, а s =(s1 — 1) — дробная часть числа b. Поскольку s1<1, то значение s < 0при таком представлении числа b. При s = 0 можно считать, что s1= 0 и В1 = В.

Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s) созначением s < 0. При этом значение ρ = — 1. Рассмотрим произведение

(z2q) (zy) q = (b + c) 2 (b c) 2 = b2 + c2+ 2bc) (b2+ c2 — 2bc)= (b2 + c2)2 — 4b2c2,

и повторим полностью описаннуюпосле уравнения (10) процедуру доказательства, приведенного выше. В результатеиз второго уравнений (16) можно получить, что z = (z1) 2 иy<sub/>= (y1) 2, где zy1 — некоторые целые числа. Тольков этом случае правая часть этого уравнения при взаимно простых числах z и y будет целым числом. Можетпоказаться, что числа z и yмогут также иметь иной вид: z =(z1) 2Rи y<sub/>= (y1) 2Eпри условии, что целые числа R и E являются взаимно простыми, а их произведение RE является квадратом некоторого целого числа F. Но согласно лемме 2 из уравнения RE= F 2следует, что взаимно простые числа R и E должны быть квадратами некоторых целых чисел Q и D,а это означает, что z и y и в этом случае представимы в виде квадратов целыхчисел z = (Qz1) 2 и y<sub/>= (Dy1) 2.

Покажем далее, что число x также представимо в виде x= (x1) 2, где x1 является некоторым целым числом. Для этогорассмотрим уравнение (1) при n = q ³3 и четном значении z. Обозначим

 

zq/2 = 2a, xq/2<sub/>+<sub/>yq/2 = 2b, xq/2<sub/>- yq/2 = 2c. (20)

Из уравнений (20) можно получитьследующие равенства:

а = 2bc.(21)

b+ c = (x) q/2, b c = (y) q/2, (22)

(b+ c) 2 = (x)q, (b c) 2 = (y) q. (23)

Из уравнения (1) при n = q ³ 3 получаем xq<sub/>+<sub/>y<sup/>q = b2 + c2= zq. Предположим, что b2 и c2не являются целыми числами. Запишем их в виде b2= B + s<sub/>ис2 = С + g, где B и C — целые части чисел b и c,а |s| < 1 и |g|< 1 — их дробные части. Поскольку zqявляется целым числом, то и b2 + c2 = B + s<sub/>+ С + g такжедолжно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0 или ±1, т.е. g= — s + ρ, где ρ может приниматьзначения 0 (при s = 0), +1 или — 1 (соответственно,при положительных или отрицательных значениях s).

Из второго уравнения (20) следует,что значение b > 1,так какx иy больше q ³ 3 [1]. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образомпредставлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегдаможно записать в виде (В1 + s1)с положительным значением дробной части s1> 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В1+ 1 — 1 + s1) = (В + s), где В = В1 + 1 — это целаячасть числа b, а s = (s1 — 1) — дробная часть числа b. Поскольку s1 < 1, то значение s< 0 при таком представлении числа b. При s = 0 можно считать, что s1= 0 и В1 = В.

Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s) созначением s < 0. При этом значение ρ = — 1. Для этого представления числа b запишем (y) q в виде

(y)q = (b c) 2 = b2 + с2 — 2bc = (В + sС — 1 + s) 2 — 2bc. (24)

Далее представим b в виде b = (В1+ s1), где s1> 0, а ρ = 1. Тогда значение (y) q можнозаписать в виде

(y)q = = (В1 + s1 — С + 1 + s1)2 — 2bc = (В — 1 + s<sub/>+ 1 — С + 1 + s<sub/>+1) 2 — 2bc = (ВС + 2+ 2s) 2 — 2bc.(25)

Вычтем из (25) уравнение (24). Врезультате получаем 6 (ВС — 1) + 9 + 12s= 0 или /> < 0, т.к из уравнений (20)следует, что целое число В > С + 1. Но при этом модуль s оказывается больше единицы. Уравнения (24) и (25) даютодинаковые значения s только в случае s1 = s = 0. Приэтом ρ = 0 и В1 = В.

Таким образом, значение s дробной части числа bравно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с,равная g = — ρ + s,также равна нулю, т.е. b и cявляются целыми числами. Но при целых числах b иc из уравнений (22) следует,что x = (x1) 2 и y<sub/>= (y1) 2,так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значенияхq ³ 3 будет целым числом.

Это означает, что для нахожденияцелочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q ³ 3ичетном значении z и z1 достаточно найти целочисленные решенияуравнения Пифагора

[ (х1) q] 2 + [ (y1)q] 2 = [ (z1) q]2. (26)

Но как показано в замечании к лемме1 уравнение (26) при четном значении z и (z1) qне может иметь целочисленных решений. Следовательно, уравнение (1) при нечетномзначении n = q ³ 3 и четномзначении z также не имеет целочисленных решений.Поэтому далее достаточно доказать, что целочисленных решений не имеет также иуравнение (14).

Доказательство великой теоремыферма. Уравнения (1) и (14) полностью эквивалентны, т.е. либо не существуетцелочисленных решений у обоих уравнений, либо целочисленные решенияодновременно имеют уравнения (1) и (14). Покажем, что уравнения (14) не имеетцелочисленных решений, а, следовательно, не имеет целочисленных решений такжеуравнение (1).

Доказательство проведем отпротивного. Предположим, что уравнения (14) и (1) имеют целочисленные решения. Безограничения общности доказательства можно считать четным число х. Выберемсреди всех примитивных решений уравнения (14) некоторую тройку чисел (x1, y1,z1) с минимальным значением z1. Соответствующее решение уравнения (1) будетиметь вид x = (x1)2, y = (y1)2 и z = (z1) 2, где значение z = (z1) 2является минимальным для всех решений уравнения (1). Согласно лемме 1любое решение уравнения (14) при четном значении x1описывается формулами (3), т.е.

(х1) q = 2mn, (27)

(z1)q = m2+ n2, (28)

(y1)q = m2-n2, (29)

где n — взаимнопростые числа разной четности.

A. Рассмотримсначала случай, когда четным является число n =2р. Тогда (х1) q= 4. Поскольку числа m и 4р взаимно просты, то отсюда согласно лемме 2вытекает, что m = (z2)q, 4р = t q, где z2 и t — некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительныечисла. В частности из уравнения (29) получаем (y1)q = (z2)q — [ (t/21/q) 2] qили с учетом того, что целочисленные решения этого уравнения имеют вид y1 = [ (y3)]2 и z2 = (z3) 2, получаем уравнение

[ (y3)q] 2 + (t q/2) 2 = [ (z3)q] 2.

В силу выбора решения (x1, y1,z1) с минимальным значением z1 должно иметь место неравенство z2 ³z1, а потому и неравенство (z2) q ³ (z1) q.В результате получаем абсурдное неравенство m ³ m2+ n2.

B. Рассмотримтеперь случай, когда в уравнениях (27) — (29) четным является число m = 2k, а нечетным число n. Поскольку числа 4k и n взаимно просты, изуравнения (27) согласно лемме 2 вытекает, что 4k= (z2) q и n =t q. где zt — некоторые целые (очевидно,взаимно простые) положительные числа. Тогда из уравнения (29) получаем (y1) q= [ (z2) 2/22/q] q — [ (t) 2] qили

(y1)q + [ (t)2] q= [ (z2) 2/22/q] q. (30)

Поскольку целочисленнымирешениями этого уравнения являются только квадраты некоторых целых чисел, то y1 = (y2)2. Тогда уравнение (30) может быть записано в виде [ (y2) q]2 + [ (t) q]2= [ (z2) q/2] 2. Согласно лемме 2 существуюттакие положительные взаимно простые числа а и bразличной четности, что (t) q = 2ab, (y2) q= a2b2, (z2) q/2= a2+ b2.Поскольку z2 является нечетнымчислом, то (z2) q /2 не может бытьцелым числом, так как (z2) q также будет нечетным числом, т.е. последнеецелочисленное равенство не может иметь место. Это означает, что целочисленныхрешений уравнений (1) и (14) при четном числе m= 2k также не существует.

Заметим, что в этом случае изнеравенства z2 > z1 или (z2)q > (z1)q такжеполучается абсурдное неравенство 2m > m2+ n2(случай равенства правой и левой частей при m =1 и n = 1 не должен рассматриваться, так как приэтом не будет выполняться уравнение (27)).

Оба случая А и В привели кабсурдным неравенствам. Это означает, что целочисленных решений уравнений (1) и(14) не существует. Тем самым теорема Ферма доказана элементарными методами сиспользованием только той математической информации, которой мог и должен былобладать Пьер Ферма 350 лет назад.


Литература

1. Постников М.М. Теорема Ферма. — М.:Наука, 1978, 128 с.

еще рефераты
Еще работы по математике