Реферат: Топологические пространства

§1. Топологическиепространства

(предварительные сведения)

1.1. Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Yтопологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Yназывается непрерывным, если у всякого множества О, открытого впространстве Y, полный прообраз  f –1(О) открыт  в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Yи отображения f: X→Yсправедливо следующее равенство:

/>            (1).

Теорема 1.1. Отображение f :X→Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F,замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F)замкнут в Х.

Доказательство.Необходимость. Пусть отображение f :X→Yявляется непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y,прообраз f –1(O)открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Yмножество.Тогда множество CF открыто в Y, имножество />открыто в Х, в силунепрерывности отображения f  иравенства (1). Следовательно, множество f –1(F) замкнуто в Х.

Достаточность.Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полныйпрообраз f –1(F)замкнут в Х.Рассмотрим произвольное открытое в Yмножество О. Тогда множество CO будетзамкнутым в Y. Поэтому /> замкнутоев Х множество. Следовательно, множество />открытов Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y,полный прообраз />открыт в Х иотображение f :X→Yнепрерывноепо определению. €

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Хназывается несвязным, если его можно разбить на два непустыхнепересекающихся открытых множества:

Х = О1/> О2.

Определение 5. Пространство Х называется связным,если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбитона два непустых открытых множества О1 и О2,не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1.Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Хназывается связным, если в нём одновременно открытым и замкнутыммножеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическомпространстве Х называется связным, если оно является связнымпространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Хследующие условия эквивалентны:

(1)  существуют непустыеоткрытые множества О1и О2, для которыхО1 ∩ О2 = Æ и  О1 /> О2 = Х;

(2)  существуют непустыезамкнутые множества F1и F2, для которых F1 ∩ F2 = Æ  и  F1 /> F2 = Х;

(3)  в  Х  существуетнетривиальное открыто-замкнутое множество G;

(4)  существует непрерывнаясюръективная функция φ : Х® {1, 2}.

Доказательство. Из(1) следует (2). Пусть О1 и О2непустые открытые множества, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1 /> О2 = Х. Рассмотрим множества F1 = СО1и F2 = СО2. Они являются непустымизамкнутыми множествами, причём F1 ∩ F2 = Æ  и  F1 /> F2 = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F1 и F2  непустыезамкнутые множества, для которых F1 ∩ F2 = Æ  и  F1 /> F2 = Х. Рассмотрим множество  G = F1 Ì Х.Множество F1 замкнутое по условию иоткрытое, как дополнение до замкнутого множества F2(F1 = CF2). Поэтому множество G = F1является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х.Тогда множество Q = CGтоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.

Рассмотрим функцию φ :Х ® {1, 2}, при которой

φ(х)= />/> />

Функция φ является непрерывной исюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы ихсоответственно равны множествам G иQ, открытым в Х.

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ®{1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества  A  = {1} и  B = {2} –непустые, непересекающиеся открытые в М и />. Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующееравенство:

Х = φ –1(М) = φ –1(А /> В) = φ –1(А) /> φ –1(В),

причём φ –1(А)  и  φ –1(В) непустые непересекающиесямножества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества  О1 = φ –1(А)  и  О2 = φ –1(В) непустые, непересекающиесяоткрытые в  Х  и  Х = О1 /> О2 .€

Теорема 1.3. Пусть в топологическомпространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1  и  F2и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1 /> F2. Тогда М содержится только водном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.

Доказательство. ПустьF1 и F2дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F1 /> F2. Тогда

М = (М ∩ F1) /> (M ∩ F2).

Так как множества F1и F2 замкнутые в Х, томножества М ∩ F1иM ∩ F2замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить надва непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств,напримерM ∩ F2,пустое. Тогда

М = М ∩ F1 Í F1. €

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество Мсодержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 иО2топологического пространства Х, то оно целиком содержитсятолько в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f :Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y.Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство отпротивного. Предположим, что пространствоYнесвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O1 /> O2.

В силу того, что f  непрерывноеотображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и  G2 = f –1(O2)будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всёпространство Х, что противоречит его связности. €

1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространствоназывается компактным, если всякое покрытие этого пространства открытымимножествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическомпространстве Х называется компактным, если оно компактно виндуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологическогопространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытиямножествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7.Замкнутое подмножество Акомпактного пространства Х компактно.

Доказательство.В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия /> множества Аоткрытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этогодобавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространстваХ. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можновыделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в этоподпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,

/>.

Очевидно, что множества /> образуютискомое конечное подпокрытие множества А. €

Определение 10. Топологическое пространствоназывается хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладаютнепересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество Ахаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактногопространства компактен, т.е. если f : Х→Y– непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х)компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

 §2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшиесвойства

Пусть f : Х→Y – непрерывноеотображение. Для открытого в YмножестваU и точки yÎY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).

Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным надточкой yÎY, если существует такая окрестностьOy точки y, чтотрубка f –1(U)является несвязной над каждой окрестностью U Í Oyточки y.

Замечание 2. В данном определении достаточнорассматривать только связные окрестности U Í Oy,т.к., если U = U1 /> U2, где  U1, U2 – непустые дизъюнктные открытые в U  (а значит и в Y ) множества, то

f <sup/>–1(U) = f <sup/>–1(U1) /> f –1(U2),        f –1(U1) ∩ f <sup/>–1(U2) = Æ,

т.е.  f –1(U) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным надточкой yÎY, если оно не являетсянесвязным над точкой y, т.е. для любойокрестности Oy точки yсуществует такая связная окрестность U Í Oyточки y, что трубка  f <sup/>–1(U) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, еслионо связно над каждой точкой y Î Y.

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пустьотображение f : Х→Yнепрерывно и точка y Î Y.Тогда следующие условия эквивалентны:

(1)  отображение f  несвязно над точкой y Î Y;

(2)  существует такаяокрестность Oy точкиy Î Y, что каждая трубка f <sup/>–1(U) над окрестностьюU Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустыхоткрытых в этой трубке множества;

(3)  существует такаяокрестность Oy точкиy Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oyточки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубкемножества;

(4)  существует такаяокрестность Oy точки y Î Y,что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Í Oyточки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

(5)  существует такаяокрестность Oy точки y Î Y,что для каждой трубки f <sup/>–1(U) над окрестностью U Í Oyточки у существует непрерывная сюръективная функция  φ :f <sup/>–1(U) ® {1, 2}.

Доказательство. Из(1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f :Х→Y  несвязное над точкой y Î Y,т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.Такимобразом, трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этойтрубке множества, т.е.

f <sup/>–1(U) = О1 /> О2, О1 ∩ О2 = Æ.

Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U)распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества.Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых вэтой трубке множества.

Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U)распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этойтрубке множество.

Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U)существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, потеореме 1.2, для трубкиf –1(U) существует непрерывная сюръективная функция  φ :f <sup/>–1(U) ® {1,2}.

Из (5) следует (1). Пусть существует такаяокрестностьOy точки y Î Y, что для трубкиf –1(U) над некоторой окрестностьюU Í Oyсуществует непрерывная сюръективная функция  φ : f <sup/>–1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2,трубка f –1(U)распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества.Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, чтоотображениеf  несвязно над точкойy Î Y. €

Определение 14. Отображение f :Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f <sup/>–1(y), где y Î Y,этого отображения является связным множеством.

Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пустьотображения  f : X ® Y  и  g :Z ® Y непрерывные исуществует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, прикотором  f = g /> φ.Тогда, если отображение  f связно над точкой y Î Y(слой f –1(y) связен), то и отображение  g связно над точкой  y Î Y (слой g –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).

Доказательство.Пусть отображения f : X ®Yсвязное над точкой  y Î Y,тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oyточки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит(по теореме 1.5) образ связного множества  f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е.множество       φ(f –1(U))(множество φ( f –1(y)))  – связное.

Предположим, что отображение gнесвязно над точкой  y Î Y,т.е. существует такая связная окресность Oyточки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. (Предположим,что слой g<sup/>–1(y) несвязен над точкой y Î Y).

По условию, f = g /> φ, следовательно,

f –1(U) = (g /> φ) –1(U) = φ –1(g–1(U)).

Отсюда, 

φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)

(для слоя  φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U))связное (слой φ( f –1(y)) связен), а множество  g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.

Пусть отображнение  f связно (послойно связное), тогда, по определению 10(11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f –1(y)связен). Возьмём произвольную точку y Î Y.Если отображение  f связнонад этой точкойy Î Y(слой f –1(y)связен), то и отображение g связно над этой жеточкой (слой g–1(y)связен). В силу произвольности выбора точки y,заключаем, что отображение g связно над каждойточкой  y Î Y(послойно связно). €

 

2.2. Замкнутые отображения. Связь связности ипослойной связности

Определение 15. Отображение f :X→Yназывается замкнутым,если для каждого замкнутого множества  F Í Х образ  f (F)является замкнутым множеством в Y.

Определение 16. Отображение f :X→Yназывается замкнутымнад точкой yÎY,если для всякой окрестности О слояf –1(y) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y,трубка над которой f –1(Oy)содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):

f –1(y) Í f –1(Oy) Í О.

Связь между замкнутостью  в точке и общей замкнутостьюустанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывноеотображение f :X→Yзамкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой  yÎY.

Доказательство.Необходимость. Пусть отображение f :X→Yзамкнуто.Возьмём произвольную точку  y Î Y ирассмотрим окрестность О множества  f –1(y).Множество F = X \ О замкнуто вХ и F ∩ f –1(y) = Æ. Поэтому множество f (F)замкнуто в Y и точка y Ï f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки yобладает таким свойством  f –1(Oy) ∩ F = Æ, следовательно, f –1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение fзамкнутонад каждой точкойyÎYв силу того, что точка yвзятапроизвольно.

Достаточность. Пустьнепрерывное отображение f замкнуто над каждой точкойyÎY. Предположим, что образ f (F)некоторого замкнутого в Х множества Fне замкнут в Y.Пусть точка  y Î [f(F)] \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ Fявляетсяокрестностью множества f –1(y).Следовательно, существует такая окресность Oyточки y,что f –1(Oy) Ì X \ F. Но тогда  Oy ∩ f (F) = Æ и поэтому точка y Ï [f (F)].

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшиепримеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f :X ® Yкомпактного пространства X в хаусдорфовопространство Y является замкнутым.

Доказательство.Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое вХ. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактногомножества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (всилу теоремы 1.8). Таким образом, отображение fявляется замкнутым. 

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображениеf :X ® Yкомпактного пространства X на хаусдорфовопространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство.Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество Fкомпактного пространства X. В силу предложения2.1, образ f (F)– замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f  –1 является непрерывным,следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ

Предложение 2.2. Пусть отображение f :X ® Yзамкнуто над точкой y Î Y ипусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z :Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение fзамкнуто (над каждой точкой y Î Y),то и отображение g замкнуто.

Доказательство.Возьмём произвольную точку y Î Yи рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество  U¢ такое, что  U = U¢ /> Z. Множество  O = U¢ /> (X \ Z)  будет окрестностью слоя  f –1(y). Отображение fзамкнутое над точкой  y Î Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точкиy, что       f –1(Oy) Ì O. Тогда g–1(Oy) Ì Z /> O = Z /> U¢ = U.

В силу произвольности выбора точки y Î Y,можно заключить, что если отображение fзамкнутое над каждой точкой y Î Y,то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y. 

Предложение 2.3. Пусть отображение f :X®Yзамкнуто над точкой y Î T Í Y, где T– произвольное множество в Y.Тогдапод-отображение  g = f |/> :f –1(T) ® Tзамкнуто над точкой y. В частности, если отображение fзамкнуто (над каждой точкой y Î T), то и отображение gтоже замкнуто (над каждой точкой  y Î T).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность Ослоя g–1(y) = f –1(y),такую что

O = O' /> f –1(T),

гдеО¢ – открытое в Х множество.Так какотображение fзамкнутоенад точкой y, найдётся такая окрестность O'yв Y точки y, что            f –1(O'y) Ì О'. Тогда в Тсуществует  такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy' /> T,и  f –1(Oy) = g–1(Oy) Ì O' /> f –1(T) = О. Следовательно, отображениеgбудетзамкнуто над y Î Y.

Если отображение  f  замкнутое над каждой точкой y,то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.

Установим теперь связь между связными и послойно связнымизамкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f :X→Y замкнуто над точкой y Î Y  и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. Вчастности, если отображение f замкнуто и каждыйего слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y.

Доказательство.Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся такиенепустые открытые в f<sup/>–1(y) множества О1 и О2,что О1 ∩ О2 = Æ и О1 /> О2 = f –1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q1 и Q2такие, что

O1 = Q1/> f –1(y),            O2 = Q2 /> f  –1(y).

Рассмотрим замыкание этих множеств /> и/> в Х. Их пересечение/> есть замкнутое множество,и F /> f –1(y) = Æ(т.к.О1 и О2 замкнутые в f  –1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q1/> Q2) \ F открыто в Х, причём  f –1(y) Ì О. Для этой окрестности О(в силу замкнутости отображения f )найдётся такая окрестность Oy точки y, что  f –1(Oy) Ì О.Пусть G1 = f –1(Oy) /> Q1и G2 = f –1(Oy) /> Q2– открытые в f –1(Oy) множества. Так как

/> Ì Х \ f –1(Oy),

то G1 ∩ G2 = Æ. Тогда f –1(Oy) = G1 />G2. Следовательно, трубка f –1(Oy) несвязна.

Пусть U Í Oy– произвольная окрестность точки y.Тогда /> и /> – дизъюнктные множества,открытые вf  –1(U),  и непустые, т.к. О1 Ì /> иО2 Ì />. Следовательно, для любойокрестности U Í Oyтрубка f  –1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение fзамкнутое над каждой точкой  y Î Y  и каждый его слой несвязн, тогда,для произвольной точки y, отображение f  будет несвязным над ней, следовательно, и над каждойточкой y Î Y.

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f :X→Y замкнуто над точкой y Î Yи связно над точкой y. Тогда слой f <sup/>–1(y) являетсясвязным множеством. В частности, если fзамкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пустьотображение f :X→Yзамкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство.Возьмём произвольную точку y Î Yи предположим, что отображение f несвязно надточкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U)является несвязной над каждой окрестностью U Í Oyточки y. Зафиксируем некоторую такую связнуюокрестность U, для которой выполняются следующиеусловия:

f –1(U) = О1 /> О2,       О1 ∩ О2 = Æ,

где О1 и О2 – непустые открытые в  f –1(U) множества.

Слой f –1(y) связен и f –1(y) Ì f –1(U), отсюда,  f –1(y) содержится либо в О1, либо в О2(по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х1ÎО1. Образэтой точки f (x1) = y1 Ì U.По условию, слой f –1(y1) связен и  f –1(y1) Ì О1 />О2 = f –1(U).Поскольку О1 ∩ О2 = Æ и х1ÎО1,следовательно (по теореме 1.4),  f –1(y1) Ì О1. (Другими словами, если однаточка слоя принадлежит множеству О1, то и весь слойпринадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х1 произвольная,то О1 = f –1( f (O1)).Аналогично доказывается, что О2 = f –1(f (O2)).

Отображение f  замкнутое,тогда, по теореме 2.3, подотображение  g = f : f –1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O1) = g (O1)  и f (O2) = g (O2)будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U иU = f (O1) /> f (O2), т.е. окрестность Uнесвязна. Это противоречит выбору окрестностиU.

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь междупослойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующейтеоремы:

Теорема 2.3.Замкнутое отображение f :X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаютсятакие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f :X→Y замкнутое, Z Í Xзамкнуто в Х. Подотображение g = f |Z :Z ® Y является связным тогда итолько тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f :X→Y замкнутое, T Í Yпроизвольное множество. Подотображение  g = f |/> :f –1(T) ® Tявляется связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойствабудут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построенияпримеров связных и несвязных отображений.

2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случаеотображение f :X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда итолько тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слоинад пространством Y совпадают со всемпространством Х.

Этот факт позволяет строитьмногочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточновзять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечныемножества.

Пример. Рассмотримотображение f : [-1;1] ® R, длякоторого f (х) = 0 прилюбом х Î [-1;1].Отображение f связно тогда и только тогда, когдаслой  f –1(y)над точкой y = 0 связен.Но f –1(0) = [-1;1] – связноемножество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение fявляется связным и послойно связным.

Если отображение f : [-1;1] /> [2;3] ® R задано условием  f (х) = 0для любого х Î [-1;1] /> [2;3], то ононесвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0в силу несвязности трубки (слоя) f –1(0) = [-1;1] /> /> [2;3].

В рассмотренных примерахпространство Y является связным. Это условие иусловие связности отображения f оказалисьнеобходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Болеетого, имеет место

Теорема 2.4.Пустьсюръективное отображение f :X→Y непрерывно и связно.Пространство  X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.

Доказательство.Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если  f : Х→Yнепрерывное отображение,  f (X) = Y и  Х связно, то Yсвязно.

Достаточность. Пустьпространство Y связно. Предположим, чтопространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустыедизъюнктные открытые множества О1 и О2, чтоО1 /> О2 = Х.Допустим, что найдётся точка y Î />. Тогда в любой окрестностислоя f –1(y)содержаться как точки множества О1, так и точки множества О2.С другой стороны,  f –1(y) Ì f –1(U), где трубка f –1(U) является связным множеством (в силу связностиотображения f над точкой y)и должна содержаться либо в О1, либо в О2(по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,

/> = Æ,

т.е. />  и /> – непустые дизъюнктныезамкнутые множества. Но f (О1) /> f (О2) = Y, значит,

/> = f (О1)     и   /> = f (О2),

т.е. эти множестваоткрыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.

Таким образом, предположение о несвязноститопологического пространства Х неверно, а верно то, что требуетсядоказать. €

Другой связи между связностьюпространств и связностью отображений может и не быть.

/>/>

Рис. 2.

  />/>

Рис. 1.

  />/>/>/> /> /> /> /> /> <td/> />
Примеры. Пусть отображение f :X→Y непрерывно. Еслипространство Х связно, то и его образ f (X) связен, но отображение f не обязано быть связным. А именно, пусть f : R ®[0; + ¥], и f (х) = х 2для любого х Î R (рис. 1).Расмотрим произвольную точку y Î (0; + ¥). Пусть окрестностью точки y является любой интервал U = (a; b) Í (0;+ ¥), содержащий эту точку.Тогда трубка

/>f –1(U) = />

распадаетсяна два непустых непересекающихся открытых в Rмножества, т.е. f –1(U) – несвязноемножество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.

Можно привести ещё примертакого рода. Пусть Oxy –прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω сцентром в начале координат и радиусами r = a, R = b (рис. 2). Пусть prX : ω → [– b; b] – проекцияэтого кольца на ось Ox, где prX (x; y) = х Î [– b; b] для любой точки (x; y) Î ω.Возьмём произвольную точку х Î (– a; a) Ì [– b; b]. Для любой окрестности       U Ì (– a; a)  точки х трубка /> являетсянесвязной, т.к. состоит из двух частей A и B (рис. 2). Таким образом, проекция prX  –  является несвязным отображением.

Рис. 4.

  />/>/>/>/>

Рис. 3.

    />/>/>/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Может быть и наоборот, отображение f связное, апространства X и Y– несвязные.

Пусть, например, отображение f : R \ {0} ® R \ {0} задано формулой  f (х) = /> длялюбого х ÎR \ {0} (рис. 3). Возьмём произвольную точку y Î R \ {0}. Для любой окрестности Oy ÌR \ {0} точки y найдётся связная окрестность U Í (0; + ¥) (или U Í (– ¥; 0)), трубка     f –1(U)  над которой связна (т.к.f –1(U) содержит часть ветви гиперболы или всю ветвь, котораясвязна и даже линейно связна).

Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1] /> [2;3]. Рассмотрим проекцию />: X ´ Y ® Y (рис. 4), где prY (x; y) = y Î Yдля любой точки (x; y) Î X ´ Y. Множества X ´ Y  и Y являютсянесвязными, но проекция />  –связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).

Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные снепрерывными числовыми функциями.

Теорема 2.6. Непрерывная функция f :[a; b] → R является связной тогда и только тогда, когда онамонотонна, т.е. когда для любых точек х, х¢ Î [a; b], где х £ х¢,выполняется только одно из двух свойств: f (x) £ f (x¢ )либо f (x) ³ f (x¢ ).

Доказательство.Необходимость. Функция f являетсяотображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому оназамкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция  f  является послойно связной.

Предположим, что f – немонотонна. Тогда найдутся такие точки х1, х2,х3 Î [a; b] и х1 <  х2 <  х3,для которых выполняется система неревенств:

/>

/> <td/> />
/>/>/>/>
/>              />.

/>/>/>/>Положим f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 и y3 ³ y1(или y1 ³ y3).Тогда слой f –1(y3) является связным замкнутым подмножествомпрямой y = y3(рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции,существует точка х¢ Î [x1; x2) и f (x¢ ) = y3. В силу связности слоя f –1(y3), отрезок [А ; В](см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f –1(y3). Но точка (x2; y2), где x¢ < x2 < x3, не принадлежит прямой y = y3,поэтому слой f –1(y3) распадается на два непустыхнепересекающихся замкнутых в f –1(y3)  множества. Это противоречит послойнойсвязности функции  f. Следовательно,  f – монотонна.

Достаточность.Предположим, что функция f не является связной.Следовательно,  f  не является послойносвязной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y¢ Î R,что слой  f –1(y¢)– несвязен, т.е.  f –1(y¢) = О1 /> О2,где О1 и О2 – непустые дизъюнктные замкнутыев f –1(y¢) множества (рис. 6).Следовательно, найдутся такие точки x1 Î О1, x2 Î О2 и  точка х, где x1 <x < x2и x Ï О1,x Ï О2,что

/>              />.

Но этопротиворечит условию монотонности функции f.Значит, функция  f  является связной. ÿ

Данная теорема утверждает,что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либонеубывающие функции.

Этот факт обобщается наслучай интервала (a;b).Если связная функция f определенана R с конечным числом точек разрыва, то еёмонотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить наконечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.

2.4. Произведения пространств и проекции

Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями tХ  иtY соответственно. Топологическим произведением этихпространств называется множество X ´ Yс топологией  tХ ´ Y,образованной семейством всех множеств вида

U ´ V = />,

и их всевозможных объединений,где U Î tХ, V Î tY  и/>:X ´ Y ® Х, />:X ´ Y ® Y – это проекции, причём />(x; y) = xи />(x; y) = y. Множества вида U ´ V = />называются элементарными(или базисными) открытыми множествами.

Определение 18. Отображение f :X→Yназывается открытым,если для каждого открытого множества О Í Х образ f (О) является открытым множеством в Y.

Лемма 2.2. Проекции />:X ´ Y ®Х и  />: X ´ Y ® Y являются непрерывными открытымиотображениями.

Доказательство.Возьмём произвольное открытое в Х множество G.Прообраз этого множества /> = G ´ Y по определению топологиипроизведения открыт в X ´ Y.Тогда проекции /> и /> будут непрерывнымиотображениями.

/> Пустьточка z Î X ´ Y;  Oz – её произвольнаяокрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность

/>/>/>/>/>

Рис. 7.

  />

Рис. 7.

  точки z, где U– окрестность точки />, V – окрестность точки />. Точка />является внутренней точкоймножества U, а значит и множества />. Аналогично, точка /> – внутренняя точкамножества />. Следовательно,множества /> и /> открытые, и проекции /> и  /> – открытые отображения. ÿ

Лемма 2.3. Пусть пространство Х является компактным.Тогда проекция />: X ´ Y ® Y является замкнутым отображением.

Доказательство.Возьмём произвольную точку y Î Yи рассмотрим слой /> = {(x; y): x Î X} = X ´ {y}. Он гомеоморфен множеству Х,поэтому является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестностьслоя />. Рассмотрим произвольнуюточку z = (x; y) слоя /> Ì X ´ Y и её элементарнуюокрестность

G />,

где Ox– окрестность точки x в X,Oy –  окрестность точки yв Y. Так как точка zпроизвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество />. Пусть  /> – это открытое покрытиемножества />. Тогда можновыделить конечное открытое подпокрытие  />,причём /> Ì О, которое будемрассматривать как некоторую окрестность слоя />. Пусть

U = />,

где Оi j = />(Gi j). Тогда

/> Í /> Ì О,

т.е. проекция/> являетсязамкнутым над точкой у, и, следовательно, замкнутым отображением. €

Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическоепространство. Тогда проекция /> :X ´ Y ® Yявляется связным отображением.

Доказательство. Пустьх – произвольная фиксированная точка пространства Х. Рассмотримслой /> == Y ´ {x}.Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтомуслой />также связен.Предположим, что отображение /> несвязное над точкой х, т.е. существует такаяокресность Ох точки х, что трубка /> являетсянесвязной для всякой окрестности U Í Oxточки x. Зафиксируем некоторую такую связнуюокрестность U. Для неёнайдутся непустыеоткрытые в /> множества О1и О2, что  О1 ∩ О2 = Æ  и  О1 /> О2 = />. Слой /> связен и />, отсюда, по теореме 2.3, />содержится либо в О1,либо в О2.

Рассмотрим произвольную точку w1Î О1. Образэтой точки  />= х1 Ì U.Слой />Ì О1 /> О2 = />, и точка w1 принадлежит множеству О1и слою />, поэтому />Ì О1 (т.к. О1 ∩ О2 = Æ). Поскольку w1 – произвольная точка множества О1,то />. Аналогично, />.

Множества  О1  и О2 дизъюнктные открытые в />  и  />  – открытое отображение.Следовательно, />(O1)  и  />(O2)– непустые дизъюнктные открытые в U множества и />(O1) /> />(O2) = U. Отсюда окрестность Uнесвязная, что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, отображение /> связноенад точкой х и точка х произвольная, поэтому проекция /> являетсясвязным отображением. €

Следствие 2.5. Если пространства Х и Yсвязные, то и их произведение X ´ Yявляется связным множеством.

Доказательство. Предположим обратное. Пустьмножество X ´ Y несвязное, т.е. X ´ Y = О1 /> О2, где О1и О2 – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y множества.

Возьмём произвольную точку z Î О1. Образэтой точки />(z) = x. Слой /> Ì О1 /> О2 связен,и точка х Î О1, следовательно, /> Ì О1 (так как О1 /> О2 = Æ). В силу того, что точка z–  произвольная, получим />. Аналогично, />. Множества О1 и О2– непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y, и отображение /> – открытое, следовательно,множества /> и /> – непустые дизъюнктные открытые в Y и />/>/> = Y. Это противоречит связности Y.

Доказательство можно получить проще.Так как пространство Х связное, то проекция /> : X ´ Y ® Yявляется связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2).Пространство Y связное.Тогда, по теореме 2.4,  X ´ Y – связное множество. 

Определение 19. Отображение f: X ® Y называется (замкнуто, открыто)параллельно пространству F,если существует такое топологическое вложение i : X ® Y ´ F пространства Х в топологическое произведениеY ´ F, что (множество i(X)соответственно замкнуто, открыто в Y ´ Fи)

f = prY /> i,

где prY : Y ´ F® Y – проекция на сомножитель Y.

Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Yпослойно связное и параллельнопространству F.Тогда отображение f  связное.

Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда fможно отождествить с подотображением проекции prY: Y ´ F® Y. Пусть  y Î Y –фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связнойокрестности U Í Oy точки у трубка  f –1(U) несвязна. Положим  f –1(U) = О1 /> О2,где О1,О2 – непустые дизъюнктные открытыев f –1(U) множества и U Í Oy – некоторая фиксированная связнаяокрестность точки y.

Пусть х Î f –1(y).Тогда х Î О1илих Î О2.Допустим х Î О1.Найдётся такое открытое в Y ´ FмножествоG1, что О1 = G1 /> X.По определению топологии, в Y ´ Fнайдутся окрестностьVx Í Uточки y и открытое в Fмножество W такие, что

х Î/> = Vx ´ W Í G1.

Так как множество f –1(y) –связное по условию, то х Î f –1(y) Í О1.

Пусть х¢– произвольная точка из (Vx ´ W) /> Х. Тогда х¢ Î О1 и

f –1(f (x¢ )) Í О1.

Следовательно, О1содержит всякий слой f –1(y¢ ),где y¢ Î Vx (в силу послойной связности f ).

Таким образом, для каждой точки х Î О1 найдётсяокрестность Vx Í Uточки f (x), что х Î f –1(Vx<sub/>) Í О1.Поэтому

/>.

Следовательно, множество /> являетсяокрестностью точки y и O1 = f –1(V1).Аналогично устанавливается, что O2 = f –1(V2),где V2 непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V1 /> V2, что противоречит связности U. Значит, отображение f связное над точкой y. €

/>/>Пример. Если отображение f : X ® Yсвязное над точкой y, то слой   f –1(y)необязательно является связным множеством. Например, пусть f = prY : X ´ Y ® Y –проекция на Y, где Х = Y = [0; 1](рис. 8). Рассмотрим точку y = /> Î Yи слой f –1(y)над точкой y. Пусть точка z = (x; y) Î X ´ Y,где х = />, y = />. Тогдаслой                f –1(y) \ {z} –несвязное множество. Отображение f = prYпри этом останетсясвязным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f –1(U) –линейно связна, следовательно, трубка f –1(U)  – связна.

2.5. Послойное произведение отображений

Определение 20. Пусть f :X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ´ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где

/>

и

/>.

Из данного определения вытекает смысл названия такогоопределения:

/>

для любой точки y Î Y.

Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевиднойследующая теорема:

Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и  g :Z ® Yпослойно связные. Тогда произведение h = f ´ gтакже является послойно связным отображением.

Лемма 2.4.Пусть f, g : X ® Yнепрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y.Тогда множество Т = {x Î X: f (x) = g(x)}является замкнутым в Х.

Доказательство.Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x Î X найдётся такая окрестность Ох точки х,что Ох Ì Х \ Т.

Возьмём произвольную точку x Î X \ Т. Тогда f (x) = y1 Î Y,  g(x) = y2 Î Y. Так как пространство Yхаусдорфово, то существуют окрестности Оy1точки y1 иОy2 точки y2такие, что

Оy1 /> Оy2 = Æ.             {*}

Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества  f –1(Oy1),  g–1(Oy2) – открытые в Y и  x Îf –1(Oy1),  x Î g–1(Oy2). Рассмотрим окрестность Ох = f –1(Oy1) /> g–1(Oy2) точки х. Предположим, что  Ох /> Т ≠ Æ, т.е.существует такая точка х1 Î Ох,что f (x1) = g (x1) = y. Но точка yдолжна принадлежать как окрестности Oy1,так и окрестности Oy2, что противоречитусловию {*}. ÿ

Лемма 2.5. Если пространства Х и Yкомпактные, то и их произведение X ´ Yявляется компактным множеством.

Доказательство. Пусть х – произвольнаяфиксированная точка пространства Х, и пусть Ω = /> – открытое покрытиепространства X ´ Y. Рассмотрим слой

/> = Y ´ {x}.

Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому /> – компактное множество. Тогда изоткрытого покрытия

Ω(х) = /> Í Ω,

(где Ua(x) множество, содержащее некоторые точки слоя надточкой x) слоя /> можно выбрать конечное открытоеподпокрытие ω(х) = />.Объединение

U(x) = />(x)                               (**)

есть открытое множество, содержащее слой />, и prX– замкнутое отображение (в силукомпактности пространства Yи леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х,что /> Í U(x). Семейство {Оx: x Î X} образует открытое покрытиепространства X. В силукомпактности X, найдетсяконечное подпокрытие {Oxi : i = 1,.., k}. Тогда семейство ω = /> образует конечное подпокрытиепространства  X ´ Y. ÿ

Теорема 2.10. Пусть  f :X ® Y  и  g : Z ® Y – связныеотображения компактных пространств X  и  Z в хаусдорфово пространство  Y.Тогда произведение h = f ´ gтакже является связным отображениемкомпактного пространства Т.

Доказательство.По определению послойного произведения, /> (/>, /> – непрерывные отображенияв хаусдорфово пространство Y )и />. Тогда, по лемме 2.4,множество Т является замкнутым в пространстве Х ´ Z, которое, по лемме 2.5, является компактным.Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T)  при непрерывномотображении  h замкнут в Y(в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение hявляется замкнутым.

Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ´ gявляется связным. €

Следующая теорема указывает, в каком случае отображениямогут быть параллельными пространству Х. Для её доказательствапонадобится

Лемма 2.6. Если пространства Х и Yхаусдорфовы, то и их произведение X ´ Yявляется хаусдорфовым множеством.

Доказательство. Пусть z1 и z2 – произвольные фиксированные точкипространства X ´ Y.  Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств Xи Y соответственно. Точки z1 и z2 различны, следовательно, x1 ¹ x2 или y1 ¹ y2. Пусть y1 ¹ y2. Тогда, по определению хаусдорфовапространства, в Yсуществуют такие окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1 /> Oy2 = Æ. Проекция prY является непрерывным отображением,поэтому множества /> и /> – открытые в X ´ Y и непересекающиеся. Причём, z1 Î /> иz2 Î />.Следовательно, пространство X ´ Y – хаусдорфово по определению. 

Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Yкомпактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.

Доказательство.Рассмотрим послойное произведение h == f ´ i :T ® Y  отображений  f :X ® Y  и  i: Y ® Y, где i –тождественное отображение и множество Т = {(x; y): f/>prX = i/>prY = prY}. По лемме 2.4, множество Тзамкнуто в X ´ Y.Пусть (x1; y1) Î T – произвольная фиксированная точка. Тогда prY (x1; y1) = y1 = f/>prX (x1; y1). Отсюда, для точек (x1; y1), (x2; y2) Î Твыполняется неравенство  prX (x1; y1) ¹ prX (x2; y2)при х1 ¹ х2.Следовательно, непрерывное отображение  prX: Т ® Хбиективно. Но пространство T компактнокак замкнутое подможество компактного пространства X ´ f (X) Í X ´ Y(в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтомуотображение g = prX :T ® X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е.Т /> Х,и  f = prY/>/>. Тогда в качестветопологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g–1: X ® T.Таким образом, множество d(Х) = Тзамкнуто в  X ´ Y,и f = prY/>d.Отождествим множества Т и Х с помощью d..Тогда отображение f замкнуто параллельнопространству Х по определению. 

Литература.

 

1.  АлександровП.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.

2.  АлександровП.С. Геометрия.

3.  ВернерА.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.:«Просвещение», 1985.

4.  МусаевД.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологическихпространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академиинаук республики Узбекистан, 1994.

5.  РубановИ.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. –Киров, 1990.