Реферат: Теория случайных функций

Московский Государственный ИнститутЭлектроники и Математики

(Технический Университет)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по теме “Теория случайных функций“

Студент: Айдаров Д.А.

Вариант: 2.4.5.б

Преподаватель: Попка А.И.

Шымкент 2009

Дано: Восстанавливаемая,резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУравна b.

Время невыхода из строя(т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально спараметром a.

Время восстановлениявышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.

Тип резервирования — ненагруженный.

Для описания состояниясистемы введем двумерный случайный процесс n(t) = (x(t), d(t)) с координатами, описывающими:

— функционированиеэлементов

x(t) Î {0, 1, 2} — число неисправныхэлементов;

— функционирование КПУ

d(t) Î {0,1} — 1 — 1, если исправен, 0 — если нет.

Так как временабезотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то всилу свойств экспоненциального распределения, получим, что x(t) — однородный Марковский процесс.

Определим состояниеотказа системы:

Система отказывает либоесли переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестверезервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса x(t) (т.е. отказ какого-либо элементаи отказ КПУ).

Таким образом, можнопостроить граф состояний системы:

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>П

0 — состояние, прикотором 0 неисправных элементов, т.е. состояние n(t) = (0, d(t))

1 — состояние, прикотором 1 неисправный элемент, т.е. состояние n(t) = (1, 1)

П — состояние, прикотором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент инеисправный КПУ, т.е. композиция состояний n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) — поглощающее состояние.

Найдем интенсивностипереходов.

Так как выход из строякаждого из элементов — события независимые, то получим:

вероятность выхода изстроя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)

вероятностьвосстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)

Þ />

Пусть />

Получим системудифференциальных уравнений Колмогорова:

Пусть />,

т.е. применимпреобразование Лапласа к />.

Т.к. />, то, подставляязначения интенсивностей, получаем:

Þ />

(/> — корни />=0)