Реферат: Методы коллокаций и Галеркина

Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функцию, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

(2.50)

и линейными краевыми условиями

, (2.51)

причем

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

(2.52)

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция удовлетворяет неоднородным краевым условиям

(2.53)

а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

. (2.54)

Если краевые условия (2.51) однородны (A = B = 0), то можно положить и рассматривать лишь систему функций .

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

. (2.55)

Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

и аналогично

Составим функцию . Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь

.(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов ci выполнено равенство

при

то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция обращалась в нуль в заданной системе точек из интервала [a ,b ], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

. (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты , после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

Пример.Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу

(2.58)

1. Метод коллокаций.

В качестве базисных функций выберем полиномы

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем функцию

(2.59)

В точках коллокации получим

Подставляя сюда (2.59), найдем

(2.60)

Решив эту систему, определимкоэффициенты :

= 0.957, = − 0.022.

Следовательно, приближенное решение будет иметь вид

Например, при x = 0получим y (0)= 0.957.

2. Метод сеток.

Для грубого решения выбираем шаг h = 1/2 (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток

Полагая , ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:

(2.61)

Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y и . Полагая x = 0и пользуясь симметричными формулами для производных

получим:

Аналогично, при x = 1/2, то есть при i = 1, получаем

Учитывая теперь (2.61), найдем систему

Решая эту систему, отыщем y = 0.967,y 1 = 0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y = 0.957, а метод сеток y = 0.967.

Метод Галеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

, (2.62)

(2.63)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

(2.64)

где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям

(2.65)

и, кроме того функции при образуют в классе функций c 2 [a ,b ], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G класс функций y ( x ), принадлежащих c 2 [a ,b ](то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a ,b ]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций полна в классе G , если для любого и любой функции можно указать такое n и такие параметры , что имеет место неравенство

где

Это означает, что для любой допустимой функции найдется такая функция , которая на [a ,b ]будет сколь угодно точно приближать функцию y ( x ) вместе с ее производными и .

Докажем, что если для некоторой функции F ( x ) и полной системы функций выполняется соотношение ортогональности

(2.66)

то функция . Для этого из полной системы последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему

причем иначе были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F ( x ), найдем

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству

(2.67)

Вычислим последний интеграл:

так как

Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид

Полагая здесь k = 1, получим , и так как , то . Полагая k = 2, получим , и так далее. Следовательно, все коэффициенты в разложении функции F ( x ) равны нулю и поэтому F ( x ) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y ( x ), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы было ортогонально при любых , то это означало бы, что , и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при , то в разложении по системе входят и более старшие коэффициенты, то есть

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности к функциям полной системы для , то есть

(2.68)где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a k . Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому можно выбрать в виде

и коэффициенты найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции . Выберем, например, полную систему в виде многочленов последовательных степеней:

Коэффициенты найдем из однородных краевых условий (2.65)

(2.65а )

при всех .

Так, для и условия (2.65а ) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных: и . Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, . Аналогично отыскивают коэффициенты для .

Для простых условий вида то есть функции можно вычислять по правилу

или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами ak уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L .

Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения

с условиями

В качестве системы базисных функций выберем

Ограничимся четырьмя функциями , то есть k = 0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде

Найдем функцию .

Так как

, а , ,

то получим

Потребует теперь ортогональности функции F ( x ) к функциям . Это приводит к системе

Подставляя сюда вместо выражение этой функции и производя интегрирования, найдем

Решение этой системы:

Следовательно,